1、一、弧微分一、弧微分NRTA0 xMxxx .),()(内具有连续导数内具有连续导数在区间在区间设函数设函数baxfxyo),(:00yxA基基点点,),(为任意一点为任意一点yxM;)1(增大的方向一致增大的方向一致曲线的正向与曲线的正向与x,)2(sAM .,取负号取负号相反时相反时取正号取正号一致时一致时的方向与曲线正向的方向与曲线正向当当ssAM 规定规定12)(xss 单调增函数单调增函数.),(yyxxM 设设如图，如图，,xx 的的增增量量设设对对应应于于,s sMM 0 MM0MM 于是于是 2xs2 xMM 2)(x 2MM|MM 2|MM 2 MM|MM 222)()()(
2、xyx 2 MM|MM 21xy弧弧 s的增量为的增量为那末那末xyOsxM0 x0Mxx M s x y 3 xs2 xs2 MM|MM 21xy0 x令令取极限取极限,MM 221|xyMMMM|limMMMMMM 即即1 又又yxyx 0lim得得 xsdd.d1d2xys 故故弧微分公式弧微分公式21y )(xss 为单调增函数为单调增函数,xyOsxM0 x0Mxx M s x y 4如将如将.)d()d(d22yxs 则则如如曲曲线线),(yxx ,d)(dttx .d)()(d22ttts .d1d2yxs sin)(cos)(yx代入公式代入公式,得得.d)()(d22 sxy
3、sd1d2 弧微分公式弧微分公式,d)(dtty ),(),(tytx )(可化为参数方程形式可化为参数方程形式如曲线以极坐标方程给出如曲线以极坐标方程给出如曲线为参数方程如曲线为参数方程xd写到根式内写到根式内,得得二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度越大弧段弯曲程度越大,转角越大转角越大转角相同，转角相同，弧段越短，弯曲程度越大弧段越短，弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义1 )5)S S).M.MC0Myxo.sKMM 的平均曲率为的平均
4、曲率为弧段弧段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点M,sMM （.切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdK 6例例1 1(1)直线的曲率直线的曲率(2)圆上各点处的曲率圆上各点处的曲率 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;ss 0limdsdK ss 0lim0，0 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数.ss 0limdsdK rsrs1lim0 ，r1 圆的半径越小曲率越大圆的半径越小曲率越大.72.曲率的计算公式曲率的计算公式,)(二阶可导二阶可
5、导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds ,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 8(1)(2),ddsK 例例2 2?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当abx .最最大大k,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .抛物线在顶点处的曲率最大9322.(1)yky公式：例例 3
6、的曲率最小？的曲率最小？t为何值时为何值时,曲线曲线)2,0(),cos1();sin(ttayttax 求出最小曲率求出最小曲率,写出该点的曲率半径写出该点的曲率半径.解解 232)(1|)(yytK 要使要使K(t)最小最小,等价于等价于 最大最大,故当故当 即即 t曲率最小曲率最小,且且,41minaK.41aKR ,|2sin|41ta,1|2sin|t|2sin|t 摆线摆线三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一
7、侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半径曲率半径 xyo111.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲
8、线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).曲率圆曲率圆y=y(x)与曲线与曲线y=f(x)的关系的关系:过同一点过同一点有公切线有公切线圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同12 例例3 3 设工件表面的截线为抛物线设工件表面的截线为抛物线y 0.4x2.现在要现在要用砂轮磨削其内表面用砂轮磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适？问用直径多大的砂轮才比较合适？解解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径.抛物线顶点处的曲率半径为抛物线顶点处的曲率半径为 K 1 1.25.
9、因此因此,选用砂轮的半径不得超过选用砂轮的半径不得超过1.25单位长单位长 即直径即直径不得超过不得超过2.50单位长单位长.y 0.8x y0.8 y|x 0 0 y|x 0 0.8.把它们代入曲率公式把它们代入曲率公式 得得232)1(|yyK 0.8.13四、小结四、小结运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性质的数学分支质的数学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念:弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).14图形描绘的步骤图形描绘的步骤作图举例作图举例渐
10、近线渐近线(asymptotic line)3.6 函数图形的描绘函数图形的描绘15 现在我们还不能很好地现在我们还不能很好地作出函数的图形作出函数的图形,因为还不因为还不知道如何求曲线的渐近线知道如何求曲线的渐近线.中学就会求中学就会求了了.若动点若动点 P 沿着曲线沿着曲线 y=f(x)的某一方向无的某一方向无限远离坐标原点时限远离坐标原点时,动点动点 P 到一直线到一直线 L 的距离的距离趋于零趋于零,则称此直线则称此直线 L 为曲线为曲线 y=f(x)的一条的一条渐近线渐近线.一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线曲线的渐近线曲线的渐近线水平渐近线水平渐近线垂直渐近线垂直渐近线1.铅直渐近线
11、铅直渐近线如果如果那么那么 0 xx0 xx 的一条的一条就是就是)(xfy 铅直渐近线铅直渐近线.)(limxf 或或)(limxf 0 xx(垂直于垂直于x轴的轴的渐近线渐近线)192.水平渐近线水平渐近线如果如果那么那么)(limxfby 的一条的一条就是就是)(xfy 水平渐近线水平渐近线.xxb或或b(b为常数为常数)(平行于平行于x轴的轴的渐近线渐近线)(limxf两种渐近线的定义两种渐近线的定义Oxyxy1,01limxx .0 y水平渐近线,1lim0 xx .0 x垂直渐近线.sin 的渐近线求曲线xxy,0sinlim xxx.sin 0 的水平渐近线是曲线xxyyOxyx
12、xysin0y 曲线可以穿过曲线可以穿过其渐近线其渐近线.解解例例1.ln 的渐近线求曲线xy 的定义域：ln xy),0(x,lnlim 0 xx是曲线 0 x.ln的垂直渐近线xy Oxyxyln1解解例例2例例3.求曲线求曲线211xy的渐近线的渐近线.解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线为垂直渐近线.21利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.确定函数的定义域、值域、间断点确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性函数是否有奇偶性、周期性.判定判定和拐点和拐点,讨论函数的单调性和极值讨论函数的单调
13、性和极值,曲线的凹凸性曲线的凹凸性渐近线渐近线.适当计算曲线上一些点的坐标适当计算曲线上一些点的坐标,是否与坐标轴是否有交点是否与坐标轴是否有交点.特别注意特别注意函数图形的描绘函数图形的描绘二、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤2425例例4 4.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解,0:xD非奇非偶函数非奇非偶函数,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf ,0)(xf令令,2 x得驻点得驻点,0)(xf令令.3 x得得2)1(4lim)(lim2 xxxfxx,2 ;2 y水水平平渐渐近近线线三、作图举例三、作图举例函数图形的描绘函数图形的描绘2)1(4lim)(
14、lim200 xxxfxx,.0 x铅铅直直渐渐近近线线x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极小极小值值间间断断点点3)926,3(无斜渐近线无斜渐近线.3)2(4)(xxxf 4)3(8)(xxxf 函数图形的描绘函数图形的描绘2)1(4)(2 xxxf列表确定函数单调区间列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:26),0,31(),2,1(),6,1().1,2(作图作图2)1(4)(2 xxxf拐点拐点)926,3(极小值极小值3)2(f补充点补充点),0,31(x)(xf )(xf)(xf )3
15、,(),0()2,3(3)0,2(2 0 0 不存在不存在 0 拐点拐点极小极小值值间间断断点点,2 y.0 x水平渐近线水平渐近线:垂直渐近线垂直渐近线:xyO3 1 6 2 2 1 1 2 3函数图形的描绘函数图形的描绘27.)1()1(23的图形作出函数xxy :函数的定义域.),1()1,(x,)1()5()1(32xxxy,)1()1(244 xxy ,5 ,1 ,0 xxy得驻点令 ,1 ,0 xy得拐点可疑点令解解xyy y)5,(5)1,5(1)1 ,1(1),1(000极大极大拐点拐点例例5,5:x极大点,5.13)5(:f极大值.)0 ,1(拐点为 ,)1()1(lim23
16、xxx曲线无水平渐近线曲线无水平渐近线.,)1()1(lim231xxx.1为垂直渐近线x1)1()1(lim)(lim23xxxxxfxx1a5)1(125lim)(lim22xxxxaxfxx5b .5 xy曲线有斜渐近线.)1 ,0(,轴相交于点曲线与此外yOxy15 xy523)1()1(xxy5.130)(1,31xyO四、小结四、小结 利用一阶、二阶导数的符号确定函数的升降、利用一阶、二阶导数的符号确定函数的升降、最大最大值值最小最小值值凹凹的的凸凸的的单单增增单单减减)(xfy ab极大极大值值拐拐点点极小极小值值非极非极值值1x不可不可导导2x极大极大值值地描绘图形的基础地描绘
17、图形的基础.凹凸以及极值点和拐点是掌握函数的性态、较准确凹凸以及极值点和拐点是掌握函数的性态、较准确思考与练习 1.曲线曲线)(1122xxeey(A)没有渐近线；没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线.拐点为拐点为 ,凸区间是凸区间是 ,2.曲线21xey的凹区间是的凹区间是 ,渐近线渐近线 .33解答提示 1.曲线曲线)(1122xxeey(A)没有渐近线；没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:;111lim22xxxee2211lim0 xxxeeD拐点为拐点为 ,凸区间是凸区间是 ,),(21)1,(2121e2.曲线21xey的凹区间是的凹区间是 ,提示提示:)21(222xeyx),(2121),(21及及渐近线渐近线 .1yyox1)1,(2121e)1,(2121e34
