1、机械振动机械振动一、什么是振动一、什么是振动从狭义上说，从狭义上说，通常把具有时间通常把具有时间周期性的运动称为振动。周期性的运动称为振动。从广义上说，从广义上说，任何一个物理量任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动。都称为振动。二、什么是机械振动二、什么是机械振动机械振动机械振动是物体在一定位置附近所作的周期性往是物体在一定位置附近所作的周期性往复的运动复的运动。三、研究机械振动的意义三、研究机械振动的意义不同类型的振动虽然有本质的区别，但振动量随时间不同类型的振动虽然有本质的区别，但振动量随时间的变化关系遵循相同的数学规律，从而不同的振动有的变
2、化关系遵循相同的数学规律，从而不同的振动有相同的描述方法。相同的描述方法。研究机械振动的规律是学习和研究其它形式的振动以研究机械振动的规律是学习和研究其它形式的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。及波动、无线电技术、波动光学的基础。研究简谐运动的意义研究简谐运动的意义在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成一）、简谐运动一）、简谐运动1、弹簧振子、弹簧振子2、弹簧振子运、弹簧振子运动的动的定性分析定性分析BO：弹性力向右，加速度向右，加速；：弹性力向
3、右，加速度向右，加速；OC：向左，向左，向左，减速；向左，减速；CO：向左，向左，向左，加速；向左，加速；OB：向右，向右，向右，减速。向右，减速。物体在物体在B、C之间来回往复运动之间来回往复运动3、物体作简谐运动的条件、物体作简谐运动的条件物体的惯性物体的惯性 阻止系统停留在平衡位置阻止系统停留在平衡位置作用在物体上的弹性力作用在物体上的弹性力驱使系统回复到平衡位置驱使系统回复到平衡位置一、一、简谐运动方程简谐运动方程4、弹簧振子的动力学特征、弹簧振子的动力学特征取平衡位置取平衡位置O点为坐标原点，点为坐标原点，水平向右为水平向右为x轴的正方向。轴的正方向。xkxf 力的方向与位移的方向相
4、反，始终指向平衡位置的，称为力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置的，称为回复力回复力。maf xmkmfa mk2 0222xdtxd xa2 简谐运动简谐运动微分方程微分方程5、简谐运动的运动学特征简谐运动的运动学特征)t cos()t sin()cos(2 22 AdtxdaAdtdxvtAx说明：说明：物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性周期性变变化的化的简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数或它们的组合才具
5、有这种性质，这里我们采用余弦余弦函数函数。二）、简谐运动的特点二）、简谐运动的特点1、从受力角度来看、从受力角度来看动力学特征动力学特征kxf 2、从加速度角度来看、从加速度角度来看运动学特征运动学特征xa2 3、从位移角度来看、从位移角度来看运动学特征运动学特征)cos(tAx说明：说明：要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体
6、所受的合外力满足回复力的关系。得到物体所受的合外力满足回复力的关系。例例1、一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。因此因此,此振动为简谐振动。此振动为简谐振动。m0lk0 xxxo以平衡位置以平衡位置O为原点为原点弹簧原长弹簧原长挂挂m后伸长后伸长某时刻某时刻m位置位置f伸伸 长长受弹力受弹力平衡位置平衡位置解：解：求平衡位置求平衡位置mgkx 0kmgx 0kxkxkxmgxxkmgF 00)(一）、振幅一）、振幅反映振动幅度的大小反
7、映振动幅度的大小1、定义、定义A作简谐运动的物体作简谐运动的物体离开平衡位置的最离开平衡位置的最大位移的大位移的绝对值绝对值。2、说明、说明振幅恒为正值，单位为米振幅恒为正值，单位为米(m);振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定始条件确定。二、描述二、描述 简谐运动的物理量简谐运动的物理量二）、周期与频率二）、周期与频率反映振动的快慢反映振动的快慢1、周期、周期定义：物体作一次完全振动所需的时间，用定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位表示，单位为秒为秒(s)(cos)cos(TtAtAx 2T 2 T2、频率、频率定义：单
8、位时间内物体所作的完全振动的次数，用定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用表表示，单位为赫兹示，单位为赫兹(Hz)。21 T3、圆频率、圆频率定义：物体在定义：物体在2秒时间内所作的完全振动的次数，用秒时间内所作的完全振动的次数，用表表示，单位为弧度示，单位为弧度/秒秒(rad.s-1或或s-1)。T 22 说明说明简谐运动的基本特性是它的周期性简谐运动的基本特性是它的周期性周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为称之为固有周期、固有频率或固有圆频率固有周期、固有频率或固有圆频率。对于弹簧振子。对于弹簧振子kmTmkmk
9、2,21,简谐运动的表达式可以表示为简谐运动的表达式可以表示为)2cos()2cos()cos(tAtTAtAx1、相位、相位 t 2、初相位、初相位 3、相位差、相位差定义：定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。同时刻的相位之差。对于同频率简谐运动、同时刻的相位差对于同频率简谐运动、同时刻的相位差10201020)t ()t (说明说明 0 质点质点2的振动超前质点的振动超前质点1的振动的振动 0 质点质点2的振动落后质点的振动落后质点1的振动的振动=2k，k=0,1,2,，同相（步调相同）同相（步调相同）=(2k+1)，
10、k=0,1,2,，反相（步调相反），反相（步调相反）对于一个简谐运动，若振幅、对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写周期和初相位已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做把振幅、周期和初相位叫做描描述简谐运动的三个特征量述简谐运动的三个特征量。三三)、相、初相、相差、相、初相、相差四）、常数四）、常数A和和 的确定的确定 sincos00AvAx 002020 xvtgvxA )t sin()cos(AdtdxvtAx说明：说明：(1)一般来说一般来说 的取值在的取值在和和(或或0
11、和和2)之间；之间；(2)在应用上面的式子求在应用上面的式子求 时，时，一般来说有两个值，还要由初一般来说有两个值，还要由初始条件来判断应该取哪个值；始条件来判断应该取哪个值；(3)常用方法：由常用方法：由2020 vxA求求A，然后由，然后由x0=Acos v0=-Asin 两者的共同部分求两者的共同部分求 。例例1：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m，物，物体的质量为体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到0.04m处释放，求振动方程。处释放，求振动方程。解：要确定弹簧振子系统的振动方程，
12、只要确定解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、和即可。和即可。由题可知，由题可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v00，代入公式可得代入公式可得1602.072.0 sradmk mvxA04.06004.022222020 又因为又因为x0为正，初速度为正，初速度v00，可得，可得0 因而简谐振动的方程为：因而简谐振动的方程为：(m)6cos(04.0tx xyo)cos(tAxxAoxytxA一、旋转矢量图示法一、旋转矢量图示法二、旋转矢量与简谐运动二、旋转矢量与简谐运动的关系的关系A 振幅振幅 圆频率圆频率 初相位初相位 t 相位相位三、三、旋转
13、矢量旋转矢量三、旋转矢量的应用三、旋转矢量的应用1、作振动图作振动图2、求初相位、求初相位3、可以用来求速度和加速度、可以用来求速度和加速度4、振动的合成、振动的合成例题：一个质点沿例题：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期，周期T=2s，初，初始时刻质点位于始时刻质点位于x0=0.03m处且向处且向x轴正方向运动。求：（轴正方向运动。求：（1）初相）初相位；（位；（2）在）在x=-0.03m处且向处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位置轴负方向运动时物体回到平衡位置所需要的最短时间。所需要的最短时间。解：（解：（1）用旋转矢量法，则初相位在第四象限）用旋转矢量法
14、，则初相位在第四象限 3 （2）从从x=-0.03m处且向向处且向向x轴负方向运动到平衡位置，意轴负方向运动到平衡位置，意味着旋转矢量从味着旋转矢量从M1点转到点转到M2点，因而所需要的最短时间满点，因而所需要的最短时间满足足 653223 tst83.06565 以水平的弹簧振子为例以水平的弹簧振子为例 简谐振动的势能：简谐振动的势能：)(sin210022tkA 简谐振动的动能：简谐振动的动能：),cos()(tAtxmk/xoA221mvEk2)sin(21tAm)(sin21222tmA221kxEp)(cos2122tkAotkEpEEk 最大时，最大时，Ep最小，最小，Ek、Ep交
15、替变交替变化。化。四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量)(cos)(sin21222ttkApkEEE 简谐振动的总能量简谐振动的总能量：弹性力是保守力总机械能守弹性力是保守力总机械能守恒，即总能量不随时间变化。恒，即总能量不随时间变化。221kAotkEpEE谐振能量与振幅的平方成正比。谐振能量与振幅的平方成正比。动能的时间平均值动能的时间平均值:TkdttkATE022)(sin211241kA势能的时间平均值势能的时间平均值:TPdttkATE022)(cos211241kA弹簧振子的弹簧振子的动能和势能动能和势能的平均值相的平均值相等，且等于等，且等于总机械能的总机械能的一半。一半。结
16、论：例例.有一水平弹簧振子，有一水平弹簧振子，k=24N/mk=24N/m，重物的质量，重物的质量m=6kgm=6kg，静止在平衡位置上，设以一水平恒力静止在平衡位置上，设以一水平恒力F=10NF=10N作用于物作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动了体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动了0.05m0.05m，此时撤去力此时撤去力F F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求运动方程。求运动方程。解：解：2215.0kAJFSE)(204.0mA)/(2sradmk依题意，有：依题意，有：0,00vAxxo弹F Fx x)(2cos(204.0SI
17、tx选取坐标如图，选取坐标如图，一、两个同方向同频率简谐运动的合成一、两个同方向同频率简谐运动的合成某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动 222111 cos cos tAxtAx合振动合振动21xxx 1、应用解析法、应用解析法 tAAtAAtAtAxxx sinsinsin coscoscos cos cos 22112211221121 22112211coscoscossinsinsin AAAAAA tAtAtAx cos sinsin coscos)cos(212212221 AAAAA22112211coscossi
18、nsin AAAAtg 令令五、简谐振动的合成五、简谐振动的合成2、应用旋转矢量法、应用旋转矢量法2AA1A21xy11cosA22cosA11sinA22sinA)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAtg 合成振动合成振动是简谐运动是简谐运动 tAx cos演示演示3、讨论、讨论,2,1,0 212 kk 21AAA 合振幅最大合振幅最大2AA1A情况情况1当当 称为干涉相长称为干涉相长21AA 12AA 2AA1A1A2AA|2121AAAAA k 12情况情况2,3,2,1 )12(12 kk 21AAA 合振幅最小合振幅最小当当 称为
19、干涉相称为干涉相消消21AA 0 A情况情况3：一般情况一般情况小小 结结简谐运动简谐运动简谐运动简谐运动 简谐运动的特点简谐运动的特点简谐运动的振幅、周期、频率和相位简谐运动的振幅、周期、频率和相位振幅振幅 周期与频率周期与频率相位相位 常数常数A和和 的确定的确定旋转矢量旋转矢量作业作业P33 3，5，基本概念与平面简谐波基本概念与平面简谐波机械波的几个概念机械波的几个概念平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数第二节波动第二节波动第二节第二节 波动波动振动在空间的传播过程称为振动在空间的传播过程称为波动波动机械振动在弹性介质中的传播称为机械振动在弹性介质中的传播称为机械波机械波如声波、水波、
20、地震波等如声波、水波、地震波等交变电磁场在空间的传播称为交变电磁场在空间的传播称为电磁波电磁波如无线电波、光波等如无线电波、光波等 波动的特征波动的特征具有一定的传播速度；具有一定的传播速度；伴随着能量的传播；伴随着能量的传播；能产生反射、折射、干涉和衍射等现象；能产生反射、折射、干涉和衍射等现象；有相似的波动方程。有相似的波动方程。一）、机械波的产生一）、机械波的产生1、波动的产生、波动的产生铙钹等乐器振铙钹等乐器振动时，在空气动时，在空气中形成声波中形成声波音叉振动音叉振动时，形成时，形成声波声波小球点击水小球点击水面，会形成面，会形成水波水波介质中一个质点的振动会引起邻近质介质中一个质点
21、的振动会引起邻近质点的振动，而邻近质点的振动又会引点的振动，而邻近质点的振动又会引起较远质点的振动。这样，振动就以起较远质点的振动。这样，振动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去，形成传播出去，形成波动波动。一、一、波的产生和传播波的产生和传播xyo2、产生机械波的条件、产生机械波的条件波源：波源：产生机械振动的振源；产生机械振动的振源；弹性介质：弹性介质：传播机械振动。传播机械振动。3、需要注意的问题、需要注意的问题波动是波源的振动状态或波动能波动是波源的振动状态或波动能量在介质中的传播量在介质中的传播介质中的质点并不随波前进，只介质中的质点并不随波前
22、进，只是在各自的平衡位置附近往复运动。是在各自的平衡位置附近往复运动。横波与纵波横波与纵波uab波的传播方向波的传播方向向右向右波的传播方向波的传播方向向右向右质点振动方向质点振动方向水平水平xyo质点质点 振动方向振动方向向上向上a分类标准分类标准介质质点的振动方向与介质质点的振动方向与波动的传播方向的关系波动的传播方向的关系1、横波横波质点的振动方向与波的质点的振动方向与波的传播方向垂直。传播方向垂直。波峰波峰波形凸起部分波形凸起部分波谷波谷波形凹下部分波形凹下部分2、纵波纵波质点的振动方向与波的质点的振动方向与波的传播方向平行。传播方向平行。纵波的传播表现为纵波的传播表现为疏密疏密状态沿
23、波传播方向移动。状态沿波传播方向移动。二）、波长、波的周期和频率、波速二）、波长、波的周期和频率、波速1、波长、波长反映波动的空间周期性反映波动的空间周期性定义：定义：同一波线上两个相邻的、相位差为同一波线上两个相邻的、相位差为2 的振动质点之间的距离，的振动质点之间的距离，或或沿波的传播方向，相邻的两个同相质点之间的距离叫沿波的传播方向，相邻的两个同相质点之间的距离叫波长波长。说明：说明：波长可形象地想象为一个完整的波长可形象地想象为一个完整的“波波”的长度；的长度；横波：横波：相邻两个波峰或波谷之间的距离相邻两个波峰或波谷之间的距离纵波：纵波：相邻两个密部或疏部之间的距离相邻两个密部或疏部
24、之间的距离xyo2、周期和频率、周期和频率反映波动的时间周期性反映波动的时间周期性定义：定义：周期：周期：波传播一个波长所需要时间，叫周期，用波传播一个波长所需要时间，叫周期，用T表示。表示。频率：频率：周期的倒数叫做频率，用周期的倒数叫做频率，用 表示表示T/1 说明：说明：由于波源作一次完全的振动，波就前进一个波长的由于波源作一次完全的振动，波就前进一个波长的距离距离波的周期等于波源振动的周期；波的周期等于波源振动的周期；波的周期只与振源有关，而与传播介质无关。波的周期只与振源有关，而与传播介质无关。3、波速、波速u描述振动状态传播快慢程度的物理量描述振动状态传播快慢程度的物理量定义：定义
25、：在波动过程中，某一振动状态在单位时间内所传播在波动过程中，某一振动状态在单位时间内所传播的距离。的距离。说明：说明：由于振动状态的传播也就是相位的传播，因而这里的由于振动状态的传播也就是相位的传播，因而这里的波速也称为波速也称为相速。相速。4、三者关系式、三者关系式 Tu在一个周期中，波前进一个波长，故在一个周期中，波前进一个波长，故小结：小结：频率、周期：频率、周期：决定于波源决定于波源波速：波速：决定于传输介质决定于传输介质波长：波长：由波源和传输介质共同确定由波源和传输介质共同确定三）、波线、波面、波前三）、波线、波面、波前1、概念、概念波线：波线：沿波的传播方向画一些沿波的传播方向画
26、一些带箭头的线，称为波线；带箭头的线，称为波线；波面：波面：不同波线上相位相同的不同波线上相位相同的点所连成的曲面，叫做波面或点所连成的曲面，叫做波面或同相面、波阵面；同相面、波阵面；波前：波前：在某一时刻，由波源最在某一时刻，由波源最初振动状态传到的各点所连成初振动状态传到的各点所连成的曲面，叫波前。的曲面，叫波前。2、特点、特点波线的指向表示波的传播方向波线的指向表示波的传播方向同一波面上各点的相位是相同的同一波面上各点的相位是相同的在各向同性介质中，波线恒与波面垂直。在各向同性介质中，波线恒与波面垂直。3、分类、分类平面波：平面波：波前为平面；波前为平面；柱面波：柱面波：波前为柱面，由线
27、状波源产生；波前为柱面，由线状波源产生；球面波：球面波：波前为球面，由点波源产生；波前为球面，由点波源产生；*波动的分类波动的分类按介质质点的运动方向与波动传播方向来分按介质质点的运动方向与波动传播方向来分横波和纵波横波和纵波 按波的波前来分按波的波前来分平面波、球面波、柱面波平面波、球面波、柱面波 按波动的传播来分按波动的传播来分行波和驻波行波和驻波 按波动的明显的物理性质来分按波动的明显的物理性质来分光波、声波、水波等光波、声波、水波等 按传播波动的质点的行为来分按传播波动的质点的行为来分脉冲波、周期波等。脉冲波、周期波等。例例1：在室温下，已知空气中的声速为：在室温下，已知空气中的声速为
28、u1=340ms-1，水中的声速水中的声速为为u2=1450ms-1，求频率为求频率为200Hz的声波在空气和水中的波长。的声波在空气和水中的波长。解：由解：由 u 得得 空气中空气中 mu7.120034011 水中水中 mu25.7200145022 结论：结论：同一频率的声波，在水中的波长要比在空气中的波长要长。同一频率的声波，在水中的波长要比在空气中的波长要长。原因：原因：波速决定于介质，频率决定与振源，所以同一波源发出的波速决定于介质，频率决定与振源，所以同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，但波速不同，因一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，但波速不同，因而波
29、长也不同。而波长也不同。二、二、波动方程波动方程一）、平面简谐波的波函数一）、平面简谐波的波函数1、平面简谐波的概念、平面简谐波的概念波源作简谐振动，波动所到波源作简谐振动，波动所到之处的各个质点也在作简谐之处的各个质点也在作简谐振动，相应的波称为振动，相应的波称为平面平面简谐波简谐波，或称为简谐波。，或称为简谐波。2、波动方程、波动方程uxtAy cos0 波源波源X轴上任一点轴上任一点P(x)，时间上要落，时间上要落后后=x/u/u，P处振动的相位要比处振动的相位要比O处的相位落后处的相位落后 uxtAtAyP coscos演示演示平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 uxtAy co
30、s xTtAy2cos xtAy2cos若考虑若考虑O处质点的振动初相位处质点的振动初相位 uxtAycos kxtAy cos /2 k波数波数3、波动中质点振动的速度和加速度、波动中质点振动的速度和加速度 uxtAtyauxtAtyv cos sin 2224、沿、沿X轴负方向传播的平面简谐波的表达式轴负方向传播的平面简谐波的表达式 xtAyxTtAykxtAyuxtAy2cos2cos)cos(cos演示演示1.振动方程与波函数的区别振动方程与波函数的区别波函数是波程波函数是波程 x 和时间和时间 t 的函数，描写某一时刻任的函数，描写某一时刻任意位置处质点振动位移。意位置处质点振动位移
31、。)(tfx),(txfy振动方程是时间振动方程是时间 t 的函数的函数oxtoyxuxtAycos)cos(tAx2.当当dx（常数）时，（常数）时，)(tfy为距离原点为为距离原点为 d 处一点的振动方程。处一点的振动方程。3.当当ct（常数）时，（常数）时，)(xfy为某一时刻各质点的振动位移，波形的为某一时刻各质点的振动位移，波形的“拍照拍照”二）二）.波函数的物理意义波函数的物理意义例例2：平面简谐波的传播速度为：平面简谐波的传播速度为u，沿，沿X轴正方向传播。已知距原点轴正方向传播。已知距原点x0处的处的P0点点处的质点的振动规律为处的质点的振动规律为 y=Acost求波动表达式。
32、求波动表达式。解：在解：在X轴上任取一点轴上任取一点P，其坐标为，其坐标为x，振动由，振动由P0点传到点传到P点所点所需的时间为需的时间为 =(x-x0)/u因而因而P处质点振动的相位比处质点振动的相位比P0处质点振动的相位要落后处质点振动的相位要落后 所以波动的表达式为所以波动的表达式为 uxxtAy0cos 例例3：一平面简谐波的波动表达式为：一平面简谐波的波动表达式为 1010cos01.0 xty 求：求：（1）该波的波速、波长、周期和振幅；）该波的波速、波长、周期和振幅；（2）x=10m处质点的振动方程及该质点处质点的振动方程及该质点在在t=2s时的振动速度；时的振动速度；（3）x=
33、20m,60m两处质点振动的相位两处质点振动的相位差。差。解：（解：（1）将波动表达式写成标准形式）将波动表达式写成标准形式 2052cos01.0 xty 因而因而 振幅振幅 A=0.01m 波长波长 =20m 周期周期 T=1/5=0.2s 波速波速 u=/T=20/0.2=100ms-1（2）将）将x=10m代入波代入波动表示，则有动表示，则有 ty10cos01.0该式对时间求导，得该式对时间求导，得 tv10sin1.0将将t=2s代入得振动速度代入得振动速度 v=0（3）x=20m,60m两处两处质点振动的相位差为质点振动的相位差为 4206020221212 xx 1.写出某个已
34、知点的振动方程；写出某个已知点的振动方程；2.以刚得到的已知点的振动方程为出发点，根据波以刚得到的已知点的振动方程为出发点，根据波速的方向和大小写出任一个点的振动方程，即得到速的方向和大小写出任一个点的振动方程，即得到波动方程。波动方程。关于波动方程的题型主要有两种：（关于波动方程的题型主要有两种：（1 1）已知波）已知波函数求各物理量；（函数求各物理量；（2）已知各物理量求波函数。已知各物理量求波函数。4.4.波动方程的求解步骤波动方程的求解步骤例例4：已知波函数已知波函数 m )20400cos(1023xty求：求：A、u。解：解：由由 m 20400cos1023xtyuxtAy2co
35、s,4002Hz2001Ts2001200120 m/s20um1.0uTm1023A解：解：原点原点波函数波函数uxtAycos例例5：原点原点O O 振动方程为振动方程为ty800sin1062波速波速方向向右，求：方向向右，求：波函数；波函数；波长、频率；波长、频率；m5x处质点振动与原点的相位差。处质点振动与原点的相位差。m/s200u)2/800cos(1062ty2/200800cos1062xty.波长、频率波长、频率8002T8002s4001T/1Hz400400/200m5.0uT.x=5m 处相处相位位相位差相位差200580012 P 点落后反映在相位上为点落后反映在相
36、位上为 20，即原点完成即原点完成 10 个全振动后，个全振动后，P 点开始振动。点开始振动。m5x质点振动与原点的相位差。质点振动与原点的相位差。原点的相位原点的相位2/8001t2/200/58002t20)2/800cos(1062ty2/2005800cos1062ty原点原点5m处处 在波动过程中，振源的能量通过弹性介质传播出去，在波动过程中，振源的能量通过弹性介质传播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中各部分具介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。有动能，同时介质因形变而具有势能。波动的过程实际是能量传递的过程。波动的过程实际是能量
37、传递的过程。1 1.波动的能量波动的能量 弹性介质中取一体积元弹性介质中取一体积元 dV，质，质元振动速度为元振动速度为u，质量，质量 以平面余弦弹性纵波（行波）通过一根细长的棒以平面余弦弹性纵波（行波）通过一根细长的棒为例来讨论有关波动的能量问题。为例来讨论有关波动的能量问题。dVu设波函数设波函数)/(cosuxtAydVdm1 1.波动的动能波动的动能动能动能2 21vdmdEkdVu质元振动速度质元振动速度tyv)/(sinuxtA)/(sin)(21222uxtAdV由于介质发生形变而具有势能。由于介质发生形变而具有势能。势能势能)/(sin)(21222uxtAdVdEPEk、EP
38、同时达到最大同时达到最大同时达到最小同时达到最小平衡位置处平衡位置处最大位移处最大位移处2 2.波动的势能波动的势能可以证明体元内具有的势能与动能相同：可以证明体元内具有的势能与动能相同：)/(sin)(222uxtAdVPkdEdEdE在在 孤立振动系统中，孤立振动系统中，Ek、EP相互交换，系统总机械相互交换，系统总机械能守恒。能守恒。而对于波动来说，由于媒质中各部分由弹性力彼此而对于波动来说，由于媒质中各部分由弹性力彼此相联，使得振动在其中传播。任一质元总机械能随相联，使得振动在其中传播。任一质元总机械能随时间周期性的变化，时间周期性的变化，波动能量中波动能量中Ek、EP同时达到最同时达
39、到最大，同时为零，总能量随时间周期变化。系统总机大，同时为零，总能量随时间周期变化。系统总机械能不守恒。械能不守恒。波动的能量与振动能量的区别：波动的能量与振动能量的区别：3 3.波动的能量波动的能量)/(sin222uxtAdVdEw)/(sin)(222uxtAdVdE定义：定义：平均能量密度平均能量密度能量密度在一个周期内的平均值能量密度在一个周期内的平均值dAT2022 sin1其中其中 T2sin02ddtuxtATwT)(sin12202 2221A 能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的一半。一半。T平均能量密度与振幅平方、频率平
40、方和质量密度均平均能量密度与振幅平方、频率平方和质量密度均成正比。成正比。2 2.能量密能量密度度定义：单位体积内的总机械能定义：单位体积内的总机械能)(sin)(21222uxtAdVdEk)(sin)(21222uxtAdVdEp 对于某一体元，它的能量从零达到最大，这是能对于某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程，周而复始。平均讲来，该体元的能量密出的过程，周而复始。平均讲来，该体元的能量密度保持不变，度保持不变，2221Aw即媒质中并不积累能量。因而它是一个能量传递的即媒质中并不积累能量。因
41、而它是一个能量传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能量沿波速方向传播；量沿波速方向传播；因为因为波是能量传播的一种形式，下面讨论。波是能量传播的一种形式，下面讨论。3 3 能流、波的强度能流、波的强度能流能流P 单位时间内垂直通过某一截面的能量称为单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波波通过该截面的能流，或叫能通量。通过该截面的能流，或叫能通量。wStuEw为截面所在位置的能量密度为截面所在位置的能量密度所以，能流为：所以，能流为：)(sin222uxtASuwSutEPSutu显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值显然能流是随时间周
42、期性变化的。但它总为正值设波速为设波速为 u，在，在 时间内通过垂直于波速截面时间内通过垂直于波速截面 的能量的能量:St单位：焦耳单位：焦耳/秒，瓦，秒，瓦，Js-1，W在一个周期内能流的平均值称为平均能流在一个周期内能流的平均值称为平均能流PwSuP通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常称为称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度能流密度或波的强度。uAwuSPI2221换句话说，能流密度是单位时间内通过垂直于波换句话说，能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。速方向的单位截面的平均能量。uAI22
43、21声学中声强就是声学中声强就是上述定义之一例上述定义之一例 平均能流平均能流能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。单位：单位：Js1m2，W m2 惠更斯：惠更斯：(Christian Haygens，16291695)荷兰物理学家、数学家、天文学家。荷兰物理学家、数学家、天文学家。1629年出生于海牙。年出生于海牙。1655年获得法学博年获得法学博士学位。士学位。1663年成为伦敦皇家学会的第年成为伦敦皇家学会的第一位外国会员。一位外国会员。他的重要贡献有：他的重要贡献有：建立了光的波动学说，打破了当时流行的光的微粒学说，提建立了光的波动学说，打破了当
44、时流行的光的微粒学说，提出了光波面在媒体中传播的惠更斯原理。出了光波面在媒体中传播的惠更斯原理。1673年他解决了物理摆的摆动中心问题，测定了重力加速度年他解决了物理摆的摆动中心问题，测定了重力加速度之值，改进了摆钟，得出了离心力公式，还发明了测微计。之值，改进了摆钟，得出了离心力公式，还发明了测微计。他发现了双折射光束的偏振性，并用波动观点作了解释。他发现了双折射光束的偏振性，并用波动观点作了解释。在天文学方面，他供助自己设计和制造的望远镜于在天文学方面，他供助自己设计和制造的望远镜于1665年，年，发现了土星卫星发现了土星卫星-土卫六，且观察到了土星环。土卫六，且观察到了土星环。第三节波的
45、干涉 惠更斯原理惠更斯原理1、前提条件、前提条件2、惠更斯原理、惠更斯原理介质中波动传播到的各点都介质中波动传播到的各点都可看作是发射球面子波的波可看作是发射球面子波的波源；而在其后的任意时刻，源；而在其后的任意时刻，这些子波的包络面就是新的这些子波的包络面就是新的波面。波面。3、用惠更斯原理来解释波动的传播方向、用惠更斯原理来解释波动的传播方向平面波平面波球面波球面波R1oS1S2R2S1S2u t一、波的叠加原理一、波的叠加原理几列波在同一介质中传播时，几列波在同一介质中传播时，无论是否相遇，它们将各自保持无论是否相遇，它们将各自保持其原有的特性（频率、波长、振其原有的特性（频率、波长、振
46、动方向等）不变，并按照它们原动方向等）不变，并按照它们原来的方向继续传播下去，好象其来的方向继续传播下去，好象其它波不存在一样；它波不存在一样；在相遇区域内，任一点的振动均为各列波单独存在时在该在相遇区域内，任一点的振动均为各列波单独存在时在该点所引起的振动的合成。点所引起的振动的合成。说明：说明：此原理包含了波的此原理包含了波的独立传播性独立传播性与与可叠加性可叠加性两方面的性质；两方面的性质；只有在波的强度不太大时，描述波动过程的微分方程是线只有在波的强度不太大时，描述波动过程的微分方程是线性的，此原理才是正确的性的，此原理才是正确的 叠加原理的重要性在于可以将叠加原理的重要性在于可以将任
47、一复杂的波分解为简谐波的组任一复杂的波分解为简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个合。能分辨不同的声音正是这个原因；原因；二、二、波的干涉波的干涉1、相干波、相干波振动方向相同、频率相同、相振动方向相同、频率相同、相位相同或相位差恒定位相同或相位差恒定的两列波，的两列波，在空间相遇时，在空间相遇时，叠加的结果是叠加的结果是使空间某些点的振动始终加强，使空间某些点的振动始终加强，另外某些点的振动始终减弱，另外某些点的振动始终减弱，形成一种稳定的强弱分布，形成一种稳定的强弱分布，这这种现象称为种现象称为波的干涉现象波的干涉现象。相干波：相干波：能够产生干涉的两列波；能够产生干涉的两列波；相干波源：
48、相干波源：相干波的波源；相干波的波源；相干条件：相干条件：满足相干波的三个条件满足相干波的三个条件振动方向相同振动方向相同频率相同频率相同相位相同或相位差恒定的两列波相位相同或相位差恒定的两列波S1S2S最强最强最强最弱最弱3、相干波源的获得、相干波源的获得分波振面：分波振面：S为波源前的一为波源前的一个障碍物上的一个小孔，个障碍物上的一个小孔，S1和和S2是在波前进路程中的是在波前进路程中的另外一个障碍物上的两个另外一个障碍物上的两个小孔，且小孔，且SS1=SS2。根据惠。根据惠更斯原理，更斯原理，S、S1、S2都是都是独立的波源，独立的波源，S1和和S2发出的发出的波为相干波。波为相干波。
49、4、干涉图样的形成、干涉图样的形成考虑两相干波源，振动表达式为：考虑两相干波源，振动表达式为：)cos(111 tAy)cos(222 tAy传播到传播到 P 点引起的振动为：点引起的振动为：)2 cos(1111rtAy )2 cos(2222rtAy 在在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。点的振动为同方向同频率振动的合成。在在P P点的合成振动为：点的合成振动为：)cos(21 tAyyy cos22122212AAAAA其中：其中：)(2)(1212rr 对空间不同的位置，都有恒定的相位差，因而合强度对空间不同的位置，都有恒定的相位差，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有在空间形成
50、稳定的分布，即有干涉现象干涉现象。1r2r1S2Sp,.2,1,0 ,2 kk 21AAA ,.3,2,1 ,)12(kk|21AAA 干涉相长的条件：干涉相长的条件：干涉相消的条件：干涉相消的条件：当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：,.2,1,0 ,12 kkrr ,.3,2,1,2)12(12 kkrr 相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉例例1 1：两相干波源：两相干波源 A、B 位置如图所示，频率位置如图所示，频率=100Hz，波速波速 u=10 m/s，A A B B=，求：，求：P 点振动点振动情况。情况。解：解：um1.0100105m1
