1、xyo)(xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxx 平面图形面积平面图形面积xyo)(1xfy )(2xfy ab图形区域为：图形区域为：,bxa ).()(21xyx 情形1：21ba(x)(x)dx X型型:垂直于垂直于x轴的直线穿过区域，与边界最轴的直线穿过区域，与边界最多交两点，上下交点始终在固定曲线上多交两点，上下交点始终在固定曲线上,且区域被夹且区域被夹在两直线中间在两直线中间.)(2xy abD)(1xy 则面积则面积图形区域为：图形区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型:穿过区域且平行
2、于穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相轴的直线与区域边界相交不多于两个交点，左右交点始终在固定曲线上，且区交不多于两个交点，左右交点始终在固定曲线上，且区域被夹在两直线中间域被夹在两直线中间.)(2yx )(1yx Dcd情形2：21()().dcyy dy 则面积则面积若图形区域如图，既不是若图形区域如图，既不是X-型，又不是型，又不是Y-型型3D2D1D利用面积可加性利用面积可加性123DDDDAAAA则必须分割则必须分割.情形3：例例1 计算由计算由xy 2和和2xy 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.2xy 2yx xy22 4 xy例例3 计算由曲线计算由曲线xxy63 和和2
3、xy 所围成的所围成的图形的面积图形的面积.切线所围成图形的面积切线所围成图形的面积 和点(3,0)处的和点(3,0)处的 与其在点与其在点 求抛物线求抛物线)(0,xxyxyo3 3l1l2例例4参数方程情形参数方程情形如果曲边梯形的曲边表达为参数方程如果曲边梯形的曲边表达为参数方程:)()(:tytxL 其中其中,在在,21tt),(12tt或或上上)(tx 具有连续导数具有连续导数,)(ty 连续连续.则曲边梯形的面积可表达为则曲边梯形的面积可表达为A baydx,)()(21 ttdttt 其中其中1t2t和和对应曲线起点与终点的参数值对应曲线起点与终点的参数值.例例5 求椭圆求椭圆1
4、2222 byax的面积的面积.xa圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。介绍：介绍：旋轮线（摆线）旋轮线（摆线）一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，2a2 a0yx ax=a(t sint)y=a(1 cost)t t 的几何意义如图示的几何意义如图示ta当当 t 从从 0 2，x从从 0 2 a即曲线走了一拱即曲线走了一拱a.0 xyx+y+a=0)(00333 aaxyyx曲线关于曲线关于 y=x 对称对称 1313323 tatytatx曲线有渐近线曲线有渐近线 x+y+a=0.卡儿卡儿形形线线xyoa4a a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，
5、动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。介绍：介绍：星形线星形线xyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。来看动点的慢动作来看动点的慢动作.星形线星形线xyo323232ayx 33sincosayaxa a0 2 或或.P.一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.星形线星形线()d o +d r=()1 1 取极角取极角 为积分变量，为积分变量，其变化区间为其变化区间为 ,d)(d S以圆扇形面积
6、近似小以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到曲边扇形面积，得到面积元素：面积元素：,d)(S dSS3 作定积分作定积分r 极坐标系情形极坐标系情形xyoaa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。介绍：介绍：心形线心形线xyoa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.心形线心形线axyoaa2a一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.心形线心形线xyo2
7、ar=a(1+cos )0 2 0 r 2aP r一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.心形线心形线0 xya2P,2 aFF )0,(aF )0,(aF FF 与到)(2a r 2cos222ar 02cos )2,47()45,43()4,0(.)(2)(222222yxayx 距离之积为距离之积为a2的点的轨迹的点的轨迹直角系方程直角系方程 双双线线0rr=a 曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等
8、速转动从极点射出半射线从极点射出半射线 阿基米德螺线阿基米德螺线0r曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线.阿基米德螺线阿基米德螺线r=a 0r曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线请问：动点的轨迹什么样？请问：动点的轨迹什么样？.阿基米德螺线阿基米德螺线r=a r这里这里 从从 0+8r=a 02 a每两
9、个螺形卷间沿射线的距离是定数每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.阿基米德螺线阿基米德螺线0r8当当 从从 0 r=a.阿基米德螺线阿基米德螺线 ar r0.这里这里 从从 0+8a0lim r 极极点点是是曲曲线线的的渐渐近近点点 sinry sin aay 0lim是是曲曲线线的的渐渐近近线线ay .双曲螺线双曲螺线 ar r0.当当 从从 0 8a.双曲螺线双曲螺线例例6 求双纽线求双纽线 2cos22a 所围平面图形的面积所围平面图形的面积.2cos22a xy 1A例例7 求心形线求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积所围平面图形的面积).0(axyo2 =1+cos 3r =3co
10、s 部部分分的的面面积积 共共 分分别别所所围围成成的的图图形形的的公公 及及 求求曲曲线线rr coscos 3例例8.1 部部分分的的面面积积 共共 分分别别所所围围成成的的图图形形的的公公 及及 求求曲曲线线rr cossin2 0 xy.6 .4 例例9求由求由双纽线双纽线0 xya a6 )()(2 2 所围而且在圆周所围而且在圆周 2 2ayxyxayx 内部的面积。内部的面积。4 例例10 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1 1 旋转体的
11、体积旋转体的体积空间立体的体积空间立体的体积xf(x)ab 曲边梯形：曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x轴旋转轴旋转求旋转体体积求旋转体体积xf(x)abx.dV 2()fx dx baxxf)d(.曲边梯形：曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转 求旋转体体积求旋转体体积V=x+dx例例1 连接坐标原点连接坐标原点o及点及点)(rhp,的直线、的直线、直线直线hx 及及x轴围成一个轴围成一个直角三角形直角三角形.将它绕将它绕x轴旋转构成轴旋转构成一个半径为一个半径为,r高为高为h的的圆锥体圆锥体,计算圆锥体的计算圆锥体的体积体积.rhPx
12、例例2 计算则由椭圆计算则由椭圆12222 byax围成的平面图形围成的平面图形绕绕x轴旋转而成的旋转椭球体的轴旋转而成的旋转椭球体的体积体积.例例3 求星形线求星形线所围的图形所围的图形)0(323232 aayx绕绕x轴旋转而成的旋转体的轴旋转而成的旋转体的体积体积.a 2a)(xy例例4abf(x)yx0 求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴xdxxabyx0)(2xxf内表面积内表面积.dx.曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)求旋转体体积求旋转体
13、体积 柱壳法柱壳法byx0a.曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)byx0a.曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)0y0 xbxadx.曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)f(x)Yx0bdx0yz.baxxxfVd)(a.曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxx=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=
14、d 绕绕 y轴轴 求旋转体体积求旋转体体积x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕绕 y轴轴.求旋转体体积求旋转体体积x=g(y)yx0cdy dcyygVd)(.曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕绕 y轴轴例例5所围的图形所围的图形求曲线求曲线,4 xy,1 y0 x旋转而成旋转体的旋转而成旋转体的体积体积.绕绕y轴轴例例6 求由曲线求由曲线旋转而成旋转体的旋转而成旋转体的体积体积.所围的图形所围的图形24xy 0 y及及3 x绕直线绕直线xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立
15、体 baxxAVd)(.aV 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积b半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。22xRy R oxy例例7 7oyRxRR.半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。例例7 7oyRxxy22xR RRy tan (x,y),.例例7 7半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面的正圆柱体被通过其底的
16、直径并与底面成成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。oyRxRRABCD (x,y)S(y).例例7 7 半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。hRxoyR 求以半径为求以半径为R R的圆为底，平行且等于底圆直径的的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为线段为顶，高为h h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。例例8 8 hRxoxA(x).Ry.y例例8 8 求以半径为求以半径为R R的圆为底，平行且等于底圆直径的的圆为底，平行且等
17、于底圆直径的线段为顶，高为线段为顶，高为h h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。x=g(y)yx0cdyx0 x=g(y)绕绕 y 轴旋转轴旋转 求旋转体侧面积求旋转体侧面积Ax=g(y)yx0cdx=g(y)绕绕 y 轴旋转轴旋转ydA=2 g(y)ds dcyygygAd)(1)(22.(ds是曲线的弧微分是曲线的弧微分)yygsd)(d .故旋转体侧面积故旋转体侧面积 求旋转体侧面积求旋转体侧面积Adsxoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧AB上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点 BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分
18、点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段iiMM1 都都缩缩向向一一点点时时，此折线的长此折线的长|11 niiiMM的极限存在，则称此极限为的极限存在，则称此极限为曲线弧曲线弧AB的弧长的弧长.1、平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念平面曲线的弧长平面曲线的弧长定理定理 光滑曲线弧是可求长的光滑曲线弧是可求长的。简介简介 光滑曲线光滑曲线 当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。就是一条光滑曲线。就是一条光滑曲线。如
19、如2xy -2-1121234-6-4-2246-1-0.50.512xy xysin xoyabxdxx dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 就是弧长元素就是弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 2 2 直角坐标情形直角坐标情形由第三章的弧微分公式知由第三章的弧微分公式知dxyds21 例例1弧弧的长度的长度.相应于相应于x从从a到到b的一段的一段计算曲线计算曲线2332xy 上上ab例例2 两根电线杆之间两根电线杆之间的电线的电线,由于其本身的由于其本身的重量重量,垂成垂成曲线形曲线形.这样的曲线叫这样的曲线叫悬链线悬链线.适当选取坐标系适当选取坐标
20、系后后,悬链线的方程为悬链线的方程为,cxcych 其中其中c为为常数常数.悬链线上悬链线上下下计算计算bx 与与bx 之间一段弧之间一段弧的长度的长度.介于介于参数方程情形参数方程情形设曲线弧为设曲线弧为 )()(tytx )(t其中其中)(),(tt ,在在上具有连续导数上具有连续导数.)()(22dttts弧长弧长例例3求圆求圆222Ryx 的的周长周长.例例4 4 计算曲线（星形线）计算曲线（星形线）,tax3cos tay3sin 的的全长全长.例例5 求摆线求摆线)200()cos1()sin(tatayttax,一支一支的弧的弧长长.例例6 证明正弦线证明正弦线)20(sin xxay的弧长等的弧长等于于椭圆椭圆)20(sin1cos2 xtaytx的的周长周长.极坐标情形极坐标情形设曲线弧方程为设曲线弧方程为)(rr ),(其中其中)(r,在在上具有连续导数上具有连续导数.弧长弧长.)()(22 drrs例例7 求极坐标系下求极坐标系下33sin ar曲线曲线的的长长.)300(,a例例8 求心形线求心形线)cos1(ar的全的全长长.
