1、T1T2a（m2m1）Rm1m2m轮轴无摩擦轮轴无摩擦轻绳不伸长轻绳不伸长轮绳不打滑轮绳不打滑T2T1G1G2T2T1a a(T2 T1)R=I a=R T1 m1 g=m1aI=m R 22m2 g T2=m2a转动转动平动平动线线-角角联立解得联立解得T1=T1T2=T2匀质匀质圆盘圆盘转动惯量转动惯量gmmmmmmT2/)2/2(21211 gmmmmmmT2/)2/2(21122 P84-例例5.3gmmmmma2/2112 解题步骤解题步骤1.隔离物体受力分析；隔离物体受力分析；2.列运动方程列运动方程:转动和平动转动和平动 转动物体转动物体转动定律转动定律 平动物体平动物体牛顿定律
2、牛顿定律3.解方程；解方程；注意注意：1.力矩与转动惯量必须对力矩与转动惯量必须对同同一转轴一转轴而言的；而言的；2.要选定转轴的正方向，以要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；角速度的正负；T1T2a（m2m1）Rm1m2m轮轴无摩擦轮轴无摩擦轻绳不伸长轻绳不伸长轮绳不打滑轮绳不打滑匀质匀质圆盘圆盘T2T1G1G2T2T1a a T1=T1T2=T2P84-例例5.3滑轮角加速度滑轮角加速度 b b细绳线加速度细绳线加速度 a（A）（B）Rm1m细绳缠绕轮缘细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力恒力FR=0.5mm=32kg F=49Nm1g=49
3、N=6.125 rads-2m1gTTmRFmRFRIM22/2 b bmFRa/2 b bgmmmRasradRmmgmmRITRRmamTgm)2/1(67.4)2/1(21112112111 b bb bb bb bb bvmrprL 方向方向:大小大小:sinrmvL 12 smkgxyzOr m L单位单位：v:2mrrmvL 质点质点m m的的O Ov0L rmv21L vmrPrL 2)质点作质点作圆周运动圆周运动时对圆心的角动量：时对圆心的角动量：大小大小：方向方向rvmLvO O6/rr则则:质点质点的角动量定理的角动量定理(微分微分):):)vmr(dtddtLd dt)v
4、m(ddtpdF MFrdtLd dt)vm(drFrM 角动量对时间的变化率等于质点所受的合外力矩。角动量对时间的变化率等于质点所受的合外力矩。2.2.质点的角动量定理质点的角动量定理dtLdM vmrPrL 导致角动量导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？随时间变化的根本原因是什么？思路：思路：分析分析与什么有关与什么有关?质点平动质点平动-动量定理：动量定理：dtpdF vmrLM0恒矢量恒矢量0 F。Fo180/0 sinFrdFM 思考：思考：合外力不为合外力不为0，角动量一定不守恒？，角动量一定不守恒？质点的角动量定理质点的角动量定理(积分积分):):ttLLLLLddtM000
5、质点角动量的增量等于它在一段时间内所获得的质点角动量的增量等于它在一段时间内所获得的冲量矩冲量矩。盘盘 状状 星星 系系球形原始气云具有初始角动量球形原始气云具有初始角动量L，L在垂直于在垂直于L方向，方向，引力使气云收缩，引力使气云收缩，但在与但在与L平行的方向无此限制，所平行的方向无此限制，所以形成了以形成了旋转盘状结构。旋转盘状结构。角动量守恒，粒子的旋转速度角动量守恒，粒子的旋转速度，惯性离心力惯性离心力，离心力与引力达到平衡，离心力与引力达到平衡，维持一维持一定的半径。定的半径。1.1.质点系的角动量质点系的角动量 iiiiivmrLL2.2.刚体的角动量刚体的角动量Z Zo oir
6、im iv iL IrmLLiiiii )(2 iiiiiimrvmrL 2刚体对刚体对z 轴轴的角动量的角动量:vr 3.3.质点系的角动量定理质点系的角动量定理 iiiiivmrLL对时间求导：对时间求导：iiiiiiiiiiivmdtrd)vm(dtdr)vmr(dtdLdtddtLd iiiiiiiFrdtpdrvmrdtddtLd )(质点系的角动量质点系的角动量随时间的变化率等于质点系所随时间的变化率等于质点系所受受外力矩外力矩的矢量和。的矢量和。iiiiiiiFrdtpdrvmrdtddtLd )(外外内内外外内内（iiiiiiMM)FrFrMMdtLdi 外外0Mi 内内21M
7、M 给定参给定参考点考点质点系所受的质点系所受的冲量矩冲量矩：当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。守恒。若0M 或则0LL 恒矢量 LMMdtLdi 外外角动量守恒定律：角动量守恒定律：ttLLLLLddtM0004.4.刚体的刚体的角动量定理角动量定理dtdIIM b b LIIMdt 0tt0 )(IdMdt 刚体的刚体的角动量守恒定律角动量守恒定律刚体刚体角动量守恒定律角动量守恒定律:当刚体所受的合外力矩为零时当刚体所受的合外力矩为零时,刚体的角动量保持不变。刚体的角动量保持不变。0M IL 常量常量角动量守恒指各部分相对角动量守恒指各部分相
8、对同一转轴同一转轴的角动量的角动量dtdLM IL dtIddtdLM)()(b b IdtdI 质点质点 质点系质点系 刚体刚体vmrL IL dtLdM ttLLdtM00 vmrLM0恒矢量恒矢量 iiLLdtLdMMi 外外 ttLLdtM00 LM0恒矢量恒矢量dtIddtdLM)(0tt0 IIMdt 0 M IL 常量常量与质点平动对比：与质点平动对比：ttPPdtF00dtPdF 恒恒矢矢量量 PF0角动量守恒的现象角动量守恒的现象(一一)-直升机螺旋桨的设置直升机螺旋桨的设置角动量守恒的现象（二）角动量守恒的现象（二）变小则变小则变大，变大，乘积乘积保持不变保持不变，变大则变
9、大则变小。变小。收臂收臂大大小小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂张臂大大小小 IL 角动量守恒的现象（三）角动量守恒的现象（三）-花样滑冰花样滑冰 跳水跳水角动量守恒的现象（四）角动量守恒的现象（四）A、B两轮共轴，其转动惯量分两轮共轴，其转动惯量分别为别为IA=10 kg.m2，IB=20 kg.m2，开始时，开始时，A轮转速为轮转速为A=600 r.min-1，B轮静止。轮静止。分析：分析：以以A A、B B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，系统受合外力矩为零，角动量守恒角动量守恒。初态角动量初态角动量
10、末态角动量末态角动量得得两轮啮合后两轮啮合后一起作惯性转动一起作惯性转动的角速度的角速度 AB11srad9.20srad2010)60/2600(10 IIIBAAA ABBAAAIII )(0 )/(BAAAABIII 例：长为例：长为l 质量为质量为M的杆可绕支点的杆可绕支点O自由转动自由转动.质质量为量为m速率为速率为的子弹射入距支点的子弹射入距支点O为为a的棒内的棒内,若若杆的最大偏转角为杆的最大偏转角为 ,求子弹的初速率为多少求子弹的初速率为多少?o30以弹、杆为系统以弹、杆为系统击入阶段击入阶段子弹击入木杆瞬间子弹击入木杆瞬间，系统在系统在铅直位置，受铅直位置，受合外力矩为零合外
11、力矩为零，角动量守恒角动量守恒。该瞬间之始该瞬间之始该瞬间之末该瞬间之末弹弹杆杆弹弹杆杆alm mM M3030o o上摆阶段上摆阶段弹嵌入杆内与杆一起上摆，弹嵌入杆内与杆一起上摆，只有重力做功，系统只有重力做功，系统机械能守恒机械能守恒。上摆势能上摆势能上摆瞬间转动动能上摆瞬间转动动能弹弹杆杆弹弹杆杆联立解得联立解得P93-5.7)31(022maMlmva )30cos1(2)30cos1()31(21222 lMgmgamaMl)3)(2)(32(6122maMlmaMlgmav 一、力矩的功一、力矩的功 sinFrM -力矩的功力矩的功 dMW 21 MddWrdsinFds)sinF
12、(dsFdW 合外力矩合外力矩)2cos(FdsrdFdW rdsinF(ds)rdds 力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算二、力矩的功率二、力矩的功率dtdWtWPt lim0功对时间的变化率功对时间的变化率 MP MdtMddtdWP 1.1.刚体的转动动能刚体的转动动能 miri 设转动角速度为设转动角速度为，第第i i个个质元质元m mi i 的速度为的速度为:iirv 2222121 iiiirmvm 其动能为其动能为:2122122121)(2121 IrmrmEENiiiNiiiNikik 整个刚体的动能为整个刚体的动能为:回忆质点的动能定理
13、回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理由由 力矩的元功力矩的元功转动定律转动定律则则合外力矩的功合外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量称为称为2.2.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 202212100 IIdIdMdWW 2022121mvmvW MddW b bIM b bddtdIdIdW dIddtdI 外力矩作的总功外力矩作的总功从水平摆至垂直从水平摆至垂直由由代入得代入得利用利用的关系的关系还可算出此时杆上各点的线速度还可算出此时杆上各点的线速度水平位置静止释放水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的摆至垂直位置时杆的匀直细杆匀直细杆一端为轴一端为轴2/co
14、s220mgLdLmgW 2022121 IIW 231mLI Lg/3 rv 可视为分立质点结构的刚体可视为分立质点结构的刚体 2222112rmrmrmIiiidmrI 2若质量连续分布若质量连续分布dldm dsdm dVdm 质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布 为质量的线密为质量的线密度度 为质量的体密度为质量的体密度 为质量的面密度为质量的面密度一、刚体的转动惯量一、刚体的转动惯量转轴转轴2222112lmlmrmIiii 1l2l2m1mLm匀质细直棒匀质细直棒Rm匀质薄圆盘匀质薄圆盘转轴通过中心垂直盘面转轴通过中心垂直盘面22I=m R123
15、I=m L1转轴通过端点与棒垂直转轴通过端点与棒垂直mL12I=m L12转轴通过中心与棒垂直转轴通过中心与棒垂直P83总总 结结可可见见:I与刚体质量分布与刚体质量分布,形状形状,大小大小,密度密度,转轴位置有关。转轴位置有关。R Ro om m匀质细圆环匀质细圆环转轴过圆心与环面垂直转轴过圆心与环面垂直2I=m R三、转动定律：三、转动定律：MI（m2m1）Rm1m2m匀质匀质圆盘圆盘(T2 T1)R=I a=R T1 m1 g=m1aI=m R 22m2 g T2=m2a转动转动平动平动线线-角角T2T1G1G2T2T1a a 转动惯量转动惯量二、力矩：二、力矩：sinFrdFM 大大小
16、小：FrM 用用正负号正负号表示力矩的方向表示力矩的方向 质点质点 质点系质点系 刚体刚体 IL dtLdM ttLLdtM00 vmrLM0恒矢量恒矢量 iiLLdtLdMMi 外外 ttLLdtM00 LM0恒矢量恒矢量 IdtIddtdLM )(0tt0 IIMdt 0 M IL 常量常量四、角动量四、角动量 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律vmrL alm mM M3030o o以弹、杆为系统以弹、杆为系统击入阶段击入阶段子弹击入木杆瞬间子弹击入木杆瞬间，系统在系统在铅直位置，受铅直位置，受合外力矩为零合外力矩为零，角动量守恒，角动量守恒。该瞬间之始该瞬间之始该瞬间之
17、末该瞬间之末弹弹杆杆弹弹杆杆初态角动量初态角动量末态角动量末态角动量ABBAAAIII )(0 五、力矩的功：五、力矩的功：dMW 21 MdtMdP 六、力矩的功率：六、力矩的功率：七、刚体的转动动能：七、刚体的转动动能：221 IEk 合外力矩的功合外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理 202212100 IIdIdMdWW 质点（平动）质点（平动）v ab b)(212IIEk )(212mmvEk amF b bIM FrM vmP IL vmrL ttPPdtF000tt0 IIMdt b b IdtIddtdLM )(dtPdF 0 M IL 常量常量0 F vmP常量常量 bardFW dMW 21刚体（转动）刚体（转动）)(F)(M质点（平动）与刚体（转动）物理量对比质点（平动）与刚体（转动）物理量对比
