1、5.3 有限字长运算对数字滤波器的影响有限字长运算对数字滤波器的影响 DF的实现，涉及到两种运算：相乘、求和。定点制运算中，每一次乘法运算之后都要作一次舍入（截尾）处理，因此引入了非线性，采用统计分析的方法，将舍入误差作为独立噪声e(n)迭加在信号上，因而仍可用线性流图表示定点相乘。定点相乘运算统计分析的流图表示 对舍入噪声对舍入噪声e(n)作如下的假设：作如下的假设：1.e(n)为平稳随机噪声序列；2.e(n)与输入序列 x(n)不相关，各噪声之间也互不相关。3.e(n)为白色噪声；4.在量化间隔上均匀分布（即每个噪声都是均匀等概率分布）。有了这些条件，整个系统就可作为线性系统处理。每一个噪
2、声可用第一章所讲的线性离散系统的理论求出其输出噪声，所有输出噪声经线性迭加得到总的噪声输出。下面分析三种情况下的有限字长效应：IIR滤波器 FIR滤波器 FFT计算计算输出的量化噪声方差 5.3.1 IIR 的有限字长效应的有限字长效应 以一阶IIR滤波器为例，其输入与输出关系可用差分方程表示为：乘积项将引入一个舍入噪声，如图 上述一阶系统的单位脉冲响应为 系统函数为 由于 是迭加在输入端的，故由 造成的输出误差为：)()1()(nxnayny1,0an)()(nuanhnazzzH)()(ne)(ne)(*)()(*)(nuanenhneenf1 输出噪声方差 或 由上两式均可求得 可见字长
3、 越大，输出噪声越小，同样的方法可分析其它高阶DF的输出噪声。0022222)(mmmeefamhcefzdzzHzHj)()(2122)1(122)1(1212222222aaqabefb例4：一个二阶IIR低通数字滤波器，系统函数为 采用定点制算法，尾数作舍入处理，分别计算其直接型、级联型、并联型三种结构的舍入误差。解：直接型 )8.01)(9.01(04.0)(11zzzH)(04.072.07.1104.0)(21zBzzzH直接型结构流图如图)(0ne)(nx)()(nenyf)(2ne)(1ne1z1z04.07.172.01211111()1 1.70.72(10.9)(10.8
4、)B zzzzz 图中 、分别为系数0.04、1.7、-0.72相乘后引入的舍入噪声。采用线性迭加的方法，从图上可看出输出噪声 这三个舍入噪声通过网络 形成的，如图5.28b，因此 是H0(z)的单位脉冲响应,输出噪声的方差为：)(0ne)(1ne)(2ne)(1)(0zBzH)(*)()()()(0210nhnenenenef)(0nh)(nefcefzdzzBzBj)()(1213122输出噪声的方差为：将 代入，利用留数定理得：1222qe2111132(10.9)(10.8)(10.9)(10.8)ecdzjzzzzz 220.90.82223(0.8)(1 0.9)(1 0.8)(0
5、.9)(1 0.9)(1 0.8)42.27619.8422.4fezzzzzzzzzzqqq 级联型 将H(z)分解 结构流图为 图5.29 IIR级联型的舍入噪声分析)(1)(04.08.0119.0104.0)(2111zBzBzzzH)(0ne)(nx)()(nenyf)(2ne)(1ne1z1z9.08.004.0由图中可见，噪声 、通过 网络，噪声 只通过网络 ，即 )(0ne)(1ne)(1zH101211()()()()()HzHzBz BzB z)(2ne)(2zH)(1)(22zBzH)(*)()(*)()()(22110nhnenhnenenef)(1nh)(2nh和 分
6、别是H1(z)和H2(z)的单位脉冲响应,因此：将 代入，得：（思考：如果将H1(z)和H2(z)次序颠倒，结果会怎样）cecefzdzzBzBjzdzzBzBzBzBj)()(12)()()()(12212221211212212,8.01)(,9.01)(221211qzzBzzBe2222222.40.2315.23fqqq因此：将 代入，得：221112122111212()()()()12()()efcecdzjB z B z B zB zzdzjB z B zz12,8.01)(,9.01)(221211qzzBzzBe22215.3715.2fqq2222222.40.4415.
7、373fqqq220.810.4412(10.9)zqqz1z1z0.80.904.0 并联型 将H(z)分解为部分分式 其结构如图：0.36 0.9 -0.32 0.8图 IIR并联型的舍入噪声分析 )(32.0)(36.08.0132.09.0136.0)(2111zBzBzzzH)(0ne)(nx)()(nenyf)(2ne)(1ne1z1z)(3ne 并联型结构有4个系数，有4个舍入噪声，其中 只通过 网络，通过 网络。输出噪声方差为：代入B1(z)和B2(z)及 的值，得：cecefzdzzBzBjzdzzBzBj)()(122)()(1221222111222e2222(0.440
8、.23)1.34fqq)()(10nene)(11zB)()(32nene)(12ZB比较三种结构的误差大小，可知 直接型 级联型 并联型原因：原因：l直接型结构的所有舍入误差都经过全部网络的反馈环节，反馈过程中误差积累，输出误差很大。l级联型结构，每个舍入误差只通过其后面的反馈环节，而不通过它前面的反馈环节，误差小于直接型。l并联型：每个并联网络的舍入误差只通过本身的反馈环节，与其它并联网络无关，积累作用最小，误差最小。该结论对IIR DF有普遍意义。因此，从有限字长效应看，直接型（、型）结构最差，运算误差最大，高阶时避免采用。级联型结构较好。并联型结构最好，运算误差最小。结论：IIR滤波器
9、的有限字长效应与它的结构有关。滤波器的有限字长效应与它的结构有关。5.3.2 FIR的有限字长效应的有限字长效应 IIR的分析方法同样适用于FIR滤波器，FIR滤波器无反馈环节（频率采样型结构除外），不会造成舍入误差的积累，舍入误差的影响比同阶IIR滤波器小，不会产生非线性振荡。以横截型结构为例分析FIR的有限字长效应。舍入噪声舍入噪声 N 阶FIR的系统函数为：无限精度下，直接型结构的差分方程为：有限精度运算时，10)()(NmmzmhzH10)()()(Nmmnxmhny10)()()()()(NmRfmnxmhnenyny每一次相乘后产生一个舍入噪声 故 输出噪声为：如图。)()()()
10、()(nemnxmhmnxmhmR1010)()()()()(NmNmmfnemnxmhneny10)()(Nmmfnene图中可见，所有舍入噪声都直接加在输出端，因此输出噪声是这些噪声的简单和。于是，输出噪声方差与字长有关，与阶数有关，N越高，运算误差越大，或者，在运算精度相同的情况下，阶数越高的滤波器需要的字长越长。12222NqNef例：FIR滤波器，N=10，b=17时N=1024时，因此，滤波器输出中，小数点后只有4位数字是有效的。)103(1085.41234210121122dbNqf)83(1097.412342102412922dbNqf-410*0.705f 动态范围：动态
11、范围：定点运算时，动态范围的限制，常导致FIR的输出结果发生溢出。利用比例因子，压缩信号的动态范围，可避免溢出。FIR输出：10max10)()()()()(NmNmmhxnymnxmhny定点数不产生溢出的条件：为使结果不溢出，对 采用标度因子A，使由此确定A。1)(ny)(nx10max10max)(11)(NmNmmhxAmhAx对于窄带信号略显保守5.3.3 FFT计算中的有限字长效应计算中的有限字长效应 按时间抽取的按时间抽取的8点点FFTM级、N/2个蝶形结1、输出噪声的方差：)()()()()()(1111nxWmxnxnxWmxmxlpNlllpNllxl-1(m)e(l,n)
12、xl(m)xl-1(n)PNW蝶形运算的量化误差-1xl(n),()()(ImReIm)(ReIm)(ImRe)(Re)(1413121111nleWnxenxWeWnxjeWnxeWnxWnxpNllpNpNlpNlpNlRpNl 相乘所引入的舍入误差源是复数，每个复乘包括4个实乘，每个定点实乘产生一个舍入误差源，因此产生四个误差源e1，e2，e3和e4，即)()(),(4321eejeenle2223EBqnle），（当误差源e(l,n)通过后级蝶形结时，加、减运算是不会影响方差的，而通过乘系数 后，对方差的影响为：pNW2222),(E),(E),(EnlenleWWnlepNpN e(
13、l,n)通过所有蝶形结时，加、减和乘的运算对方差均无影响。这样，计算FFT的最后输出误差，只需知道输出结点共连接多少个蝶形结即可。N=8时连接到X(0)的各蝶形结08W08W08W08W08W08W08W0Xx(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)-1-1-1-1-1-1-1连接到X(k)末端的误差源总数为 112222112NMM222)1(BkkNeEX(k)上叠加的输出噪声 的均方值(即为方差，因均值为零)为:ke3222NqNBk蝶形结输出的最大模值小于等于输入最大模值的两倍)(,)(max2)(,)(max)(,)(max1111nxmxnxmxnxmxlll
14、lll因此，FFT最后输出最大值有可能等于输入值的 倍，即NM2)(max)(max2)(maxnxNnxkXM因而要求 10,1)(NnNnx2、输出的信噪比这意味着为了防止溢出，可以在输入端一次性乘上比例因子1/N。如果假设x(n)在区间内 是均匀等概分布的，因而x(n)的方差为 NN1,122231)(NnxExNNWnxEkXExnkNNn31)()(221022而 因而 22222213)(E)SNR(qNNkXBk从而得到在这种防止溢出方法下输出的信噪比。第二种方法：引入了1/2的比例因子避免输出信噪比过小问题 加比例因子的蝶形运算WNp/21/2e(l,m)xl-1(m)e(l,
15、n)xl(m)xl-1(n)xl(n)-1一个蝶形结乘1/2后所形成的总的误差方差为 22222),(),(BBnleEmleE但每往前一级，其引入误差的方差要降低到1/4倍。参照图蝶形结的联接，则可求出总的输出噪声方差为 2222122122221112424441142241312MkBBBBMMBBBq)3/(1)(2NkXE22221412)(E)SNR(NqNkXBk考虑到输出信号的方差仍为则可得到 蝶形结个数此时信噪比值不再和N平方成反比，而是和N成反比，信噪比大大提高，这显然比把1/N的比例因子全放在输入端的情况要好得多。还有一种防止溢出的方法是采用成组浮点运算。基本思想是对FF
16、T蝶形运算的每一级输出的N个数共用一个阶码。计算按定点运算进行，开始时对于所有的输入定点数x(n)，n=0,1,2,N-1，共用的阶码c=0。一级级做蝶形运算，一旦某个蝶形结计算中出现溢出，则将整个这一级的序列（运算过的和未运算过的）全部乘1/2，并在阶码c上加1，然后运算从发生溢出的蝶形结继续下去。当以后某级蝶形运算又出现溢出时，再对该级的序列乘上1/2衰减因子，并在阶码c上加1，直到M级计算完为止。这种办法要增加检验溢出的判断步骤，目前许多信号处理硬件均具有溢出检测功能，在做加减运算的同时一旦发生溢出就自动将溢出标志位置位。最后FFT结果的比例因子即为 1/2c此法可以提高FFT的信噪比
17、11醉翁亭记 1反复朗读并背诵课文，培养文言语感。2结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。3把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。4体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下岳阳楼记，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于岳阳楼记的千古名篇醉翁亭记。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把
18、握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(10071072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一
19、张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。醉翁亭记就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1初读文章，结合工具书梳理文章字词。2朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/
20、翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师
21、可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，
22、或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做
23、必要引导。全文直译内容见我的积累本。目标导学四：解读文段，把握文本内容1赏析第一段，说说本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集中到最佳处。再写琅琊山“蔚然而深秀”，点山“秀”，照应上文的“美”。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”来。作者利用空间变幻的手法，移步换景，由远及近
24、，为我们描绘了一幅幅山水特写。2第二段主要写了什么？它和第一段有什么联系？明确：第二段利用时间推移，抓住朝暮及四季特点，描绘了对比鲜明的晦明变化图及四季风光图，写出了其中的“乐亦无穷”。第二段是第一段“山水之乐”的具体化。3第三段同样是写“乐”，但却是写的游人之乐，作者是如何写游人之乐的？明确：“滁人游”，前呼后应，扶老携幼，自由自在，热闹非凡；“太守宴”，溪深鱼肥，泉香酒洌，美味佳肴，应有尽有；“众宾欢”，投壶下棋，觥筹交错，说说笑笑，无拘无束。如此勾画了游人之乐。4作者为什么要在第三段写游人之乐？明确：写滁人之游，描绘出一幅太平祥和的百姓游乐图。游乐场景映在太守的眼里，便多了一层政治清明的
25、意味。太守在游人之乐中酒酣而醉，此醉是为山水之乐而醉，更是为能与百姓同乐而醉。体现太守与百姓关系融洽，“政通人和”才能有这样的乐。5第四段主要写了什么？明确：写宴会散、众人归的情景。目标导学五：深入解读，把握作者思想感情思考探究：作者以一个“乐”字贯穿全篇，却有两个句子别出深意，不单单是在写乐，而是另有所指，表达出另外一种情绪，请你找出这两个句子，说说这种情绪是什么。明确：醉翁之意不在酒，在乎山水之间也。醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。这种情绪是作者遭贬谪后的抑郁，作者并未在文中袒露胸怀，只含蓄地说：“醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。”此句与醉翁亭的名称、“醉翁之意不在酒，在乎山水之间也”
26、前后呼应，并与“滁人游”“太守宴”“众宾欢”“太守醉”连成一条抒情的线索，曲折地表达了作者内心复杂的思想感情。目标导学六：赏析文本，感受文本艺术特色1在把握作者复杂感情的基础上朗读文本。2反复朗读，请同学说说本文读来有哪些特点，为什么会有这些特点。(1)句法上大量运用骈偶句，并夹有散句，既整齐又富有变化，使文章越发显得音调铿锵，形成一种骈散结合的独特风格。如“野芳发而幽香，佳木秀而繁阴”“朝而往，暮而归，四时之景不同，而乐亦无穷也”。(2)文章多用判断句，层次极其分明，抒情淋漓尽致，“也”“而”的反复运用，形成回环往复的韵律，使读者在诵读中获得美的享受。(3)文章写景优美，又多韵律，使人读来不
27、仅能感受到绘画美，也能感受到韵律美。目标导学七：探索文本虚词，把握文言现象虚词“而”的用法用法文本举例表并列1.蔚然而深秀者；2.溪深而鱼肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧哗者表递进1.而年又最高；2.得之心而寓之酒也表承接1.渐闻水声潺潺，而泻出于两峰之间者；2.若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝；3.野芳发而幽香，佳木秀而繁阴；4.水落而石出者；5.临溪而渔；6.太守归而宾客从也；7.人知从太守游而乐表修饰1.朝而往，暮而归；2.杂然而前陈者表转折1.而不知人之乐；2.而不知太守之乐其乐也虚词“之”的用法用法文本举例表助词“的”1.泻出于两峰之间者；2.醉翁之意不在酒；3.山水之乐；4.山间之朝
28、暮也；5.宴酣之乐位于主谓之间，取消句子独立性而不知太守之乐其乐也表代词1.望之蔚然而深秀者；2.名之者谁(指醉翁亭)；3.得之心而寓之酒也(指山水之乐)【教学提示】更多文言现象请参见我的积累本。三、板书设计路线：环滁琅琊山酿泉醉翁亭风景：朝暮之景四时之景山水之乐(醉景)风俗：滁人游太守宴众宾欢 太守醉宴游之乐(醉人)心情：禽鸟乐人之乐乐其乐与民同乐(醉情)可取之处重视朗读，有利于培养学生的文言语感，并通过节奏划分引导学生理解文意，突破了仅按注释疏通文义的桎梏，有利于引导学生自主思考；不单纯关注“直译”原则，同时培养学生的“意译”能力，引导学生关注文言文的美感，在一定程度上有助于培养学生的核心素养。不足之处文章难度相对较高，基础能力低的学生难以适应该教学。会员免费下载
