1、Economics departmentYBU2022-12-161第二章第二章 完全信息静态博弈完全信息静态博弈Economics departmentYBU2022-12-162本章介绍完全信息静态博弈。完全信息静态博弈即本章介绍完全信息静态博弈。完全信息静态博弈即各博弈方同时决策，且所有博弈方对各方得益都了解各博弈方同时决策，且所有博弈方对各方得益都了解的博弈。囚徒的困境、齐威王田忌赛马、猜硬币、石的博弈。囚徒的困境、齐威王田忌赛马、猜硬币、石头剪子布、古诺产量决策都属于这种博弈。完全信息头剪子布、古诺产量决策都属于这种博弈。完全信息静态博弈属于非合作博弈最基本的类型。静态博弈属于非合作
2、博弈最基本的类型。本章介绍完全信息静态博弈的一般分析方法、纳什本章介绍完全信息静态博弈的一般分析方法、纳什均衡概念、各种经典模型及其应用等。均衡概念、各种经典模型及其应用等。Economics departmentYBU2022-12-163一、上策均衡一、上策均衡不管其它博弈方选择什么策略，不管其它博弈方选择什么策略，一博弈方的某个策略给他带来的得益始终高于其它的策一博弈方的某个策略给他带来的得益始终高于其它的策略，至少不低于其他策略的策略略，至少不低于其他策略的策略ui(Si*,S-i)ui(Si,S-i)一个博弈的一个博弈的某个策略组合某个策略组合中的所有策略都是中的所有策略都是各个博弈
3、方的上策，则称为上策均衡。各个博弈方的上策，则称为上策均衡。*上策均衡必然是该博弈比较稳定的结果上策均衡必然是该博弈比较稳定的结果n上策均衡不是普遍存在的上策均衡不是普遍存在的Economics departmentYBU2022-12-164-5，-50，-8-8，0-1，-1坦白坦白不坦白不坦白坦白坦白不坦白不坦白妻（妻（囚徒囚徒 2）夫夫（囚徒囚徒1）Economics departmentYBU2022-12-165二、下策均衡二、下策均衡不管其它博弈方的策略不管其它博弈方的策略如何变化，给一个博弈方带来的收益总是比另一种如何变化，给一个博弈方带来的收益总是比另一种策略给他带来的收益小
4、的策略策略给他带来的收益小的策略,nui(Si,S-i),ui(Si*,S-i),分别称为弱下策、严格下分别称为弱下策、严格下策策1，01，30，40，2LMUDPlayer 2Player 10，12，0REconomics departmentYBU2022-12-1661，01，30，10，40，22，0-5，-50，-8-8，0-1，-1囚囚徒徒困困境境-1，11，-11，-1-1，1猜猜硬硬币币2，10，00，01，3夫夫妻妻之之争争Economics departmentYBU2022-12-1671，01，30，10，40，22，0-5，-50，-8-8，0-1，-1囚囚徒徒困困
5、境境-1，11，-11，-1-1，1猜猜硬硬币币2，10，00，01，3夫夫妻妻之之争争Economics departmentYBU2022-12-168n 博弈方：博弈方：1,n；表示有；表示有n个博弈方个博弈方n 策略空间：策略空间：S1,.,Si,Sn,博弈方博弈方 i 的第的第 j 个策略个策略 Sij Sin 博弈方博弈方 i 的得益：的得益：uin 博弈：博弈：G=S1,.Sn;u1,.un n 纳什均衡纳什均衡：在博弈：在博弈 G=S1,.Sn;u1,.un中，如果由各个中，如果由各个博弈方的各一个策略组成的某个策略组合博弈方的各一个策略组成的某个策略组合 S1*,.Sn*中，
6、中，任一博弈方任一博弈方 i 的策略的策略 Si*,都是对其余博弈方策略的组合都是对其余博弈方策略的组合 S1*,.Si-1*,Si+1*,Sn*的的最佳对策最佳对策，也即对任意，也即对任意 ui(S1*,.Si-1*,Si*,Si+1*,.Sn*)ui(S1,.Si-1*,Sij,Si+1*,Sn*)都成立，则称都成立，则称 S1*,.Sn*为为G的一个纳什均衡的一个纳什均衡Economics departmentYBU2022-12-169Cont.二、纳什均衡的一致预测性质二、纳什均衡的一致预测性质n一致预测一致预测：如果所有博弈方都预测一个特定博弈结果会：如果所有博弈方都预测一个特定博
7、弈结果会出现，所有博弈方都不会利用该预测或者这种预测能力出现，所有博弈方都不会利用该预测或者这种预测能力选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有偏选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因此预测结果会成为博弈的最离这个预测结果的愿望，因此预测结果会成为博弈的最终结果终结果只有纳什均衡才具有一致预测的性质只有纳什均衡才具有一致预测的性质一致预测性是纳什均衡的本质属性一致预测性是纳什均衡的本质属性一致预测并不意味着一定能准确预测，因为有多重均衡，一致预测并不意味着一定能准确预测，因为有多重均衡，预测不一致的可能预测不一致的可能Economics departme
8、ntYBU2022-12-1610纳什均衡与严格下策反复消去法纳什均衡与严格下策反复消去法n 上策均衡肯定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是上策均衡上策均衡肯定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是上策均衡n 命题命题1：在：在n个博弈方的博弈个博弈方的博弈 G=S1,.Sn;u1,.un中，如中，如果严格下策反复消去法排除了除果严格下策反复消去法排除了除 S1*,.Sn*之外的所有策之外的所有策略组合，那么略组合，那么 S1*,.Sn*一定是该博弈的唯一的纳什均衡一定是该博弈的唯一的纳什均衡n 命题命题2：在：在n个博弈方的博弈中个博弈方的博弈中 G=S1,.Sn;u1,.un中，中，如果如果 S1*,
9、.Sn*是是G的一个纳什均衡，那么严格下策反复消的一个纳什均衡，那么严格下策反复消去法一定不会将它消去去法一定不会将它消去Economics departmentYBU2022-12-1611纳什均衡与严格下策反复消去法纳什均衡与严格下策反复消去法(反证法反证法)n 命题命题1：如果：如果 消去所有后余下的消去所有后余下的Si*,S-i*不是纳什均衡不是纳什均衡 不是纳什均衡，一定存在那么不是纳什均衡，一定存在那么Si,S-i*，使得使得Si*,S-i*Si,S-i Si*,S-i*inSi*,S-i,Si,S-i*in Si,S-i 所以，所以，Si*,S-i*Si,S-i*n 命题命题2：
10、如果纳什均衡如果纳什均衡Si*,S-i*被严格下策反复消去被严格下策反复消去;那么必然存在一个那么必然存在一个Si,使得使得Si,S-i Si*,S-i进而，进而，Si,S-i*Si*,S-i*与纳什均衡的定义，矛盾与纳什均衡的定义，矛盾Economics departmentYBU2022-12-1612n古诺的寡头模型古诺的寡头模型nPlayer：厂商厂商1，2nStrategy：q1,q2nPayoff:P=8-(q1+q2),c1=c2=2;u1=6q1-q1q2-q12,u2=6q2-q1q2-q22,nHow to find the equilibrium?)6()()6()()6
11、max(max1211222212112121111qqRqqqRqqqqquq(3,0)(6,0)(0,3)(0,6)R1(q2)Economics departmentYBU2022-12-1613n伯特兰德寡头模型模型伯特兰德寡头模型模型nPlayer：厂商厂商1，2nStrategy：0,p1max,0,p2maxnPayoff:q1(p1,p2)=28-p1-0.5p2,nq2(p1,p2)=28-p2-0.5p1,c1=c2=2;u1=(p1-2)(28-p1-0.5p2);u2=(p2-2)(28-p2-0.5p1);nHowe to find the equilibrium?m
12、axu1=max(p1-2)(28-p1-0.5p2);maxu2=max(p2-2)(28-p2-0.5p1);p1p2p1*=0.5(30-0.5p2*);p2*=0.5(30-0.5p1*);p1*=p2*=20Economics departmentYBU2022-12-1614n公共草地养羊问题公共草地养羊问题nPlayer：3个农户个农户nStrategy：0,q1,max,0,qn,max,Q=q1+q2+q3nPayoff:ui=qi100-(q1+q2+q3);-qic;nHowe to find the equilibrium?maxu1=maxq1100-(q1+q2+q
13、3);q1c;maxu2=maxq2100-(q1+q2+q3);q2c;maxu3=maxq3100-(q1+q2+q3);q3c;q1q2 q3q1*=q2*=q3*=24,u1*=u2*=u3*=576如果总体来看，如果总体来看，maxQ100-Q Qc;Q*=48,u=2304公共资源的悲剧！公共资源的悲剧！Economics departmentYBU2022-12-1615Cont.n反应函数的问题和局限性反应函数的问题和局限性n有此博弈中，博弈方的策略是有限且非连续时，有此博弈中，博弈方的策略是有限且非连续时，其得益函数不是连续可导函数，无法求得反应其得益函数不是连续可导函数，无
14、法求得反应函数，从而不能通过解方程组的方法求得纳什函数，从而不能通过解方程组的方法求得纳什均衡。均衡。n即使得益函数可以求导，也可能各博弈方的得即使得益函数可以求导，也可能各博弈方的得益函数比较复杂，因此各自的反应函数也比较益函数比较复杂，因此各自的反应函数也比较复杂，并不总能保证各博弈方的反应函数有交复杂，并不总能保证各博弈方的反应函数有交点，特别不能保证有唯一的交点。点，特别不能保证有唯一的交点。Economics departmentYBU2022-12-16162.4 2.4 混合策略和混合策略纳什均衡混合策略和混合策略纳什均衡n一、猜硬币博弈一、猜硬币博弈（1）不存在前面定义的纳什均
15、衡策略组合）不存在前面定义的纳什均衡策略组合（2）关键是不能让对方猜到自己策略）关键是不能让对方猜到自己策略这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念-1，11，-11，-1-1，1正面正面反面反面正面正面反面反面猜硬币方猜硬币方盖硬币方盖硬币方Economics departmentYBU2022-12-1617二、二、混合策略、混合策略博弈和混合策略纳什均衡混合策略、混合策略博弈和混合策略纳什均衡n ：在博弈：在博弈 G=S1,.Sn;u1,.un 中，博弈方中，博弈方 i 的策略空间的策略空间 Si1,.Sik，则博弈方，则博弈方 i 以概率分布以概率分
16、布pi1,.pik随机在其随机在其k个可选策略中选择的个可选策略中选择的“策略策略”，称为一个，称为一个“混合混合策略策略”，其中，其中0 pij 1,对对 1 j k,都成立，都成立，pi1+.pik=1：博弈方在混合策略的策略空间（概率：博弈方在混合策略的策略空间（概率分布空间）的选择看作一个博弈，就是原博弈的分布空间）的选择看作一个博弈，就是原博弈的“混合策略混合策略扩展博弈）。扩展博弈）。n ：包含混合策略的策略组合，构成纳什：包含混合策略的策略组合，构成纳什均衡。均衡。Economics departmentYBU2022-12-1618三、三、一个例子一个例子n 该博弈无纯策略纳什
17、均衡，可用混合策略纳什均衡分析该博弈无纯策略纳什均衡，可用混合策略纳什均衡分析2，35，23，11，5C(q)D(1-)Player 2Player 1p=0.8，q=0.8u 1=2.6，u 2=2.6Economics departmentYBU2022-12-1619Cont.n博弈方博弈方2选选C的收益的收益(p混混)n3p+1(1-p)=1+2pn博弈方博弈方2选选D的收益的收益(p混混)n2p+5(1-p)=5-3pn博弈方博弈方1选选A的收益的收益(q混混)n2q+5(1-q)=5-3qn博弈方博弈方1选选B的收益的收益(q混混)：3q+1(1-q)=1+2q2，35，23，11
18、，5C(q)D(1-)Player 2Player 10p=1u2(C)u2(D)0p=1q=10.80.80q=1u1(B)u1(A)0.8Economics departmentYBU2022-12-1620加重对首位的处罚：短期中的效果是使守卫真正尽职加重对首位的处罚：短期中的效果是使守卫真正尽职在长期中并不能使守卫更尽职，但会降低盗窃发生的概略在长期中并不能使守卫更尽职，但会降低盗窃发生的概略0-D-D守卫得益(睡)S=1小偷p混合下，守卫的得益睡时：-+S(1-p)不睡时：守卫睡觉时的得益守卫睡觉时的得益*守卫不睡觉守卫不睡觉时的得益时的得益V，-D-P，00，S0，0睡不睡偷不偷守
19、卫守卫小小偷偷Economics departmentYBU2022-12-16210-守卫得益(睡)=1守卫 混合下，小偷的得益偷：-P(1-q)=-P+(V+P)q不偷：偷时的得益偷时的得益*不偷的得益不偷的得益V，-D-P，00，S0，0睡睡不睡不睡偷偷不偷不偷守卫守卫小小偷偷Economics departmentYBU2022-12-1622Cont.n多重均衡博弈和混合策略多重均衡博弈和混合策略夫妻之争的混合策略纳什均衡夫妻之争的混合策略纳什均衡2，10，00，01，3时 装足 球时装足球丈丈 夫夫妻妻子子夫妻之争夫妻之争夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡
20、 策略 得益博弈方1 （3/4,1/4）0.67博弈方2 （1/3,2/3）0.75Economics departmentYBU2022-12-1623Cont.2，10，00，01，3(q)(1-)丈夫丈夫妻妻0p=1u2(球球)u2(时时)0p=1q=13/43/40q=1u1(时时)u1(球球)1/3R2R11/331Economics departmentYBU2022-12-1624Cont.n制式问题制式问题1，30，00，02，2A（q）B（1-q）A（p）B（1-p）厂商厂商1厂商厂商2payoff制式问题的混合策略纳什均衡制式问题的混合策略纳什均衡 策略 得益厂商1 （0.
21、4，0.6）0.67厂商2 （0.67，0.33）0.75Economics departmentYBU2022-12-1625Cont.三、混合策略和严格下策反复消去法三、混合策略和严格下策反复消去法n包括混合策略时，严格下策反复消去法依然成立包括混合策略时，严格下策反复消去法依然成立n（左）博弈不存在纯策略严格下策（左）博弈不存在纯策略严格下策n如果如果I使用使用p混合策略，如（混合策略，如（.5，.5，0）Economics departmentYBU2022-12-1626重新思考重新思考“夫妻之争夫妻之争”n夫妻约会：但电话断了！能遇见么n妻子根据对“丈夫”的判断，q,考虑决定：n如
22、果判断如果判断q大大，or,n妻子最好直接去时装！妻子最好直接去时装！n问题：n混合策略的得益小：双方预期得益0.67，0.75n均小于两个纳什均衡n遇不到的概率：1/3*1/4+2/3*3/4=7/122，10，00，01，3(q)(1-)丈夫丈夫妻妻Economics departmentYBU2022-12-16272.5 纳什均衡的存在性（略）纳什均衡的存在性（略）Economics departmentYBU2022-12-16282.6.1 多重纳什均衡博弈的分析多重纳什均衡博弈的分析2.6.2 共谋和防共谋均衡共谋和防共谋均衡核心是均衡的精炼问题！核心是均衡的精炼问题！Econo
23、mics departmentYBU2022-12-1629n多重纳什均衡博弈的分析多重纳什均衡博弈的分析一、帕累托上策均衡（一、帕累托上策均衡（鹰鸽博弈）鹰鸽博弈）这个博弈中有两个纯策略纳什均衡，（战争，战争）这个博弈中有两个纯策略纳什均衡，（战争，战争）和（和平，和平），显然后者帕累托优于前者，所和（和平，和平），显然后者帕累托优于前者，所以，（和平，和平）是本博弈的一个帕累托上策均衡。以，（和平，和平）是本博弈的一个帕累托上策均衡。Economics departmentYBU2022-12-1630二、风险上策均衡二、风险上策均衡考虑、顾忌博弈方、其他博弈方可能发生错误等时，帕累考虑、
24、顾忌博弈方、其他博弈方可能发生错误等时，帕累托上策均衡并不一定是最优选择，需要考虑：风险上策均托上策均衡并不一定是最优选择，需要考虑：风险上策均衡。下面就是两个例子。衡。下面就是两个例子。9，98，00，87，7LR博弈方博弈方2UD博博弈弈方方1风险上策均衡（风险上策均衡（D，R）5，53，00，33，3鹿兔子猎人猎人2鹿兔子猎猎人人1猎鹿博弈风险上策均衡（兔子，兔子）风险上策均衡（兔子，兔子）4.57.54.57.52.532.53Economics departmentYBU2022-12-1631Cont.三、聚点均衡三、聚点均衡n利用博弈设定以外的信息和依据选择的均衡利用博弈设定以外
25、的信息和依据选择的均衡n文化、习惯或者其他各种特征都可能是聚点均衡的依据文化、习惯或者其他各种特征都可能是聚点均衡的依据n城市博弈（城市分组相同）、时间博弈（报出相同的时城市博弈（城市分组相同）、时间博弈（报出相同的时间）是聚点均衡的典型例子间）是聚点均衡的典型例子Economics departmentYBU2022-12-1632四、相关均衡（略）四、相关均衡（略）5，14，40，01，5LR博弈方博弈方2UD博博弈弈方方1相关均衡例子相关均衡例子三个纳什均衡三个纳什均衡：（U，L）、（D，R）和混合策略均衡（1/2，1/2），（1/2，1/2）结果都不理想，不如（D，L）。可利用聚点均衡
26、（天气，抛硬天气，抛硬币）币），但仍不理想。相关装置：1、各1/3概率A、B、C2、博弈方1看到是否A，博弈方2看到是否C3、博弈方1见A采用U，否则D；博弈方2见C采用R，否则L。相关均衡要点：1、构成纳什均衡2、有人忽略不造成问题Economics departmentYBU2022-12-1633Cont.共谋和防共谋均衡共谋和防共谋均衡一、多人博弈中的共谋问题一、多人博弈中的共谋问题本博弈的纯策略纳什均衡：（本博弈的纯策略纳什均衡：（U，L，A）、（）、（D，R，B）前者帕累托优于后者。博弈的结果会是什么呢？前者帕累托优于后者。博弈的结果会是什么呢？（U，L，A）有）有共谋共谋(Coa
27、lition)问题：博弈方问题：博弈方1和和2同时偏离。同时偏离。0,0,10-5,-5,0-5,-5,01,1,-5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3A-2,-2,0-5,-5,0-5,-5,0-1,-1,5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3BEconomics departmentYBU2022-12-1634二、防共谋均衡二、防共谋均衡 如果一个博弈的某个策略组合满足下列要求：如果一个博弈的某个策略组合满足下列要求：（1）没有任何单个博弈方的）没有任何单个博弈方的“串通串通”会改变博弈的结果，会改变博弈的结果，即单独改变策略无利可图；即单独改变策略无利可图；（2）给定选择偏离的博弈方有再次偏离的自由时，没有）给定选择偏离的博弈方有再次偏离的自由时，没有任何两个博弈方的串通会改变博弈的结果；任何两个博弈方的串通会改变博弈的结果；（3）依此类推，直到所有博弈方都参加的串通也不会改）依此类推，直到所有博弈方都参加的串通也不会改变博弈的结果。变博弈的结果。称为称为“防共谋均衡防共谋均衡”。前面例子中：（前面例子中：（D，R，B）是防共谋均衡是防共谋均衡 （U，L，A）不是防共谋均衡）不是防共谋均衡
