1、 函数的极限与连续性第一节 函数的极限与性质的极限时一)(,.xfx的极限时二)(,.0 xfxx 三.极限定义及定理小结四.函数极限的基本性质的极限时一)(,.xfx 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.1 :nxxnn从数列),0(1 xxy与函数的图形可以看出:.01lim ,01limxnxnOxy123 n nxn1xy1 1 :极限的定义：回忆数列nxxnn有时使当若 ,0 ,0NnN|axn记为为极限以时当则称数列成立 ,anxn.limaxnn.)(:Znnfxn数列是一种特殊的函数故可以从形式
2、进行相当与而 ,)(lim lim axfaxxnn :,),(,XNxnxfxn替换为替换为替换为将推广有时使当若 ,0 ,0XxX|)(|axf记为为极限以时当则称函数成立 ,)(,axxf.)(limaxfx有时使当若 ,0 ,0XxX ,)(,极限存在时当则称函数成立xxf ,)(limaxfx|)(|axf的极限函数时)(,.1xfx .)()(xaxf或记为记为为其极限值常数 ,a想想：如何从几何的角度来表示该定义？)(|)(|axfaaxf的几何意义 )(limaxfxOxyay ay ayX)(xfy ,)(,即函数的图时当axfaXx .之间和形夹在两条平行线ayayOxya
3、y ay ayXX)(xfy .,函数的极限时我们将得到x有时使当若 ,0 ,0XxX ,)(,极限存在时当则称函数成立xxf ,)(limaxfx|)(|axf的极限函数时)(,.2xfx .)()(xaxf或记为记为为其极限值常数 ,a .)(lim )(lim的情形类似的几何意义与axfaxfxxOxyay ay ayXX)(xfy 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 ,你有什么想法你有什么想法?0|XxXxXx或Oxyay ay ayXX)(xfy 你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理.0|XxXxXx或 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 ,你
4、有什么想法你有什么想法?有时使当若 ,|,0 ,0XxX ,)(,极限存在时当则称函数成立xxf ,)(limaxfx|)(|axf的极限函数时)(,.3xfx .)()(xaxf或记为记为为其极限值常数 ,a由于|x|X 0 x X 或 x X,所以,x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x+,.)(lim)(lim )(limaxfxfaxfxxx及极限的三个定义即可证明该定理.0)(|XXxXxXx或由绝对值关系式:.2121lim 33xxx证明：证证 ,0 ,2121 33xx要 ,|21 3x即要 ,21|3x即 ,|,21 3有时则当故取XxX 2121 33x
5、x成立.由极限的定义可知:.2121lim 33xxx例例1 1.11)(2时的极限当讨论函数xxxf解2211 ,1 ,|xxx此时也无限增大无限增大时当无限缩小,可以小于任意小的正数.因而应该有 .011lim2xx下面证明我们的猜想:要由极限的定义 ,0 ,11 11 011 222xxx ,11 2x即要 .11 ,0 ,1 2显然成立则时当xx.11 ,11|,1 2成立时时当xx证 明 过 程怎么写？例例2 2则当取不妨设 ,11 ,)10 (0X有时 ,|Xx ,11 11 011 222xxx .011lim :2xx故由极限的定义可知 这里想得通吗？,)(0 的接近程度的与是
6、用来描述由于axf .,某个正数它小于设故可以在一开始时就假小且它的值可以取得任意 .arctan lim 不存在证明xx22yxyarctanx由图容易看出：分析 ,2arctanlimxx ,2arctanlimxx .arctan lim 不存在由定理可知：xx 需要证明之处 请同学们 自己先证一下.例例3 3证 .2arctanlim )1(xx证明：,|2arctan|,0即要要x .2arctan2x ,2arctan2 所以只需证明由于x .arctan2x.2arctan 0 ,2 xx就有时当,tan 2arctan ,20 的单调性及由时当xx .02tanx ,0 ,2t
7、an max ,时则当取综上所述XxX .2arctanlim ,|2arctan|xxx即证 .2arctanlim )2(xx证明：,|2arctan|,0即要要x .2arctan2x ,2arctan2 所以只需证明由于x .2arctanx.2arctan 0 ,2 xx就有时当得的单调性及由时当 ,tan 2arctan ,20 xx .2tan2tanx ,0 ,2tan max ,时则当取综上所述XxX .2arctanlim ,|2arctan|xxx即 .lim 不存在证明xxxxxeeee ,111limlim 22xxxxxxxxeeeeee ,111limlim 22
8、xxxxxxxxeeeeee ,limlim xxxxxxxxxxeeeeeeee由于 .lim 不存在故xxxxxeeee例例4 4证证的极限时二)(,.0 xfxx x x0 时函数的极限,是描述当 x 无限接近 x0 时,函数 f(x)的变化趋势.112)(,0 xxfx时当 f(x)在点 x0=0 处有定义.11)(,1 3xxxfx时当 函数 f(x)在点 x0=1 处没有定义.312 xx例例5 5无限只考虑有无定义在必考虑 ,)(0 xxxxf的变化函数时即接近)(,),(U ,00 xfxxx是否成立。趋势，即不等式|)(|axf我们不这类极限过程时在讨论 ,0 xx Oxya
9、y ay ay0 x()(xfy xy(),(U0 xx),U(ay0 x0 x的几何解释 )(lim0axfxxP的极限函数时)(,.10 xfxx ,|0 ,0 ,00时当若xx|)(|axf ,)(,0时的极限当为函数则称成立xxxfa .)()()(lim 00 xxaxfaxfxx或记为 :,需要考察的是就是说 ,0去心邻域时的落在点当轴上在xxx )(,是否落在点对应点轴上在xfyyy .邻域内的a注意注意的的含含义义是是什什麽麽？00 xx邻邻域域内内的的空空心心落落入入点点 0 xx为什麽要考虑空心邻域？为什麽要考虑空心邻域？考虑空心邻域，是什麽意思？考虑空心邻域，是什麽意思？
10、考虑函数在一点的极限时，不考虑函数考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。但是，在附近必须要有定义。反例反例 0,10,1sin)(xxxxxf .lim 00 xxxx证明证证 ,|0 ,00时则当取xx|0 xx .lim ,00 xxxx故成立例例6 6 .82)4(2lim 22xxx证明证 ,0 ,)8(2)4(2 2xx要|)2(|2|2|2|8)2(2|xxx只要 ,|)2(|0 ,2 有时则当故取x ,)8(2)4(2 2xx .82)4(2lim 22xxx即2x例例7 7证 .311
11、lim 31xxx证明 ,0 ,311 3xx要 ,|1|2|2|31|22xxxxxx只要？如何处理它例例8 8 这里|x+2|没有直接的有界性可利用,但又必须设法去掉它.因为 x 1,所以,从某时候开始 x 应充分地接近 1.()0 x211 11+14|2|x1 1取分析分析结论1|1|0 x证 .311lim 31xxx证明 ,0 ,311 3xx要 ,|1|2|2|31|22xxxxxx只要 ,|1|4|1|2|311 3xxxxx于是 ,|1|0 ,4 ,1 min 有时则当取x .311 3xx证毕 ,)1 ,1 (U ,1 ,1 1此时必有时当令xx ,4|2|x例例8 8?1
12、1lim21 xxx2111lim21 xxx观察知观察知证证 )1(212111,02xxxx欲使欲使 1021112xxx)1)1(2(1)1(21 xxxx只要只要0,1 xx不不妨妨设设因因为为1)1(21 xxx 故取故取 12111,10:,02xxxxx有有使使于于是是证毕证毕例例1)与 和 x0 有关,即 =(,x0).一般说来,值越小,相应的 值也越小.2)不等式|f(x)a|0,同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3)函数 f(x)以 a 为极限,但函数 f(x)本身可以 不取其极限值 a.y=a y=a y=axOyx0 x0 x0+)(xfy 曲线只能从该矩形
13、的左右两边穿过极限的几何意义函数时)(,.20 xfxx 考虑两个问题.y=a y=a y=axOyx0 x0+)(xfy 函数在 x0 的左边可以无定义想想这种情形下,函数有极限吗?如何描述这种情形？想想这种情形下,函数有极限吗?y=a y=a y=axOyx0 x0 )(xfy 函数在 x0 的右边可无定义 如何描述这种情形？3.函数的左、右极限,0 ,0 ,00时当若xx|)(|axf记为右极限,时的当为则称成立 )(,0 xxxfa )(lim0axfxx.)0(0axf也可记为,)()(0 xxaxf或,0 ,0 ,00时当若xx|)(|axf记为左极限,时的当为则称成立 )(,0
14、xxxfa )(lim0axfxx.)0(0axf也可记为,)()(0 xxaxf或(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：111211)(2xxxxxxf求)(lim1xfx)(lim1xfxy=f(x)xOy1121在 x=1 处的左、右极限.1lim21xx0)1(lim1xx解例例9 9y=a y=a y=axOyx0 x0+y=a y=a y=aOyx0 x0 )(xfy 对此有什么想法没有？axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00
15、利用|x x0|x x0 0推不出极限推不出极限A0.性质性质4:（函数极限与数列极限的关系）（函数极限与数列极限的关系）.)(lim,)(lim000AxfNnxxxxAxfnnnnxx 都都有有）（的的数数列列对对每每个个收收敛敛于于点点存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是即即,)(lim0Axfxx Axfxxx)(,0:,0,00就就有有使使得得证明证明 必要性必要性 根据假设根据假设 Axfxxxnnn)(,0:,0有有特特别别 00,),(,0,limxxNnNxxnnn就就有有使使得得自自然然数数对对上上述述根根据据定定理理假假设设得得到到于于是是即即有有注注意意到到,0,0
16、0 xxxxnn 00,),(,0 xxNnNn有有使使得得自自然然数数 Axfn)(从从而而就就有有Axfnn )(lim即即0000 lim(),0,0,*,0*(*)xxfxAxxxfxA 充充 分分 性性假假 设设则则对对都都 有有尽尽 管管仍仍 有有*00*01/|0 ()nnnnnxxxxfxA 对对取取,则则使使 得得 *0*0*lim 1/0,01/lim lim()nnnnnnnnnxxnxxxfxA 因因 为为所所 以以 数数 列列满满 足足但但 是是矛矛 盾盾性质性质5lim()(),lim0;f xAf xA其中其中()0,(),()()0,()0,(),().fxAf
17、xAfxAfxAfxAfxA 证证因因时时刻刻使使以以后后恒恒有有即即记记得得 ().反推反推 0,极限为的量称为无穷小量,常用,等记.极限为的量称为无穷小量,常用,等记.5性性质质 也也可可叙叙述述为为：变变量量在在变变化化过过程程中中有有极极限限的的充充要要条条件件是是变变量量等等于于常常数数与与无无穷穷小小量量和和.极限值的正负与函数值正负的关系 ),0(0 ,)(lim 0aaaxfxx若。有)0)(0)(xfxf ),0(0 ,)(lim aaaxfx若,0 0X则,D|0时且当fxXx。有)0)(0)(xfxf 该定理也称为第一保号性定理 ,)(U 0 x则 ,)(U 0时当fDx
18、x极限值正负与函数值正负关系的推论 ),(,)(lim 0cacaaxfxx若 ,)(U 0 x则 ,)(U 0时当fDxx。有)()(cxfcxf ),(,)(lim cacaaxfx若,0 0X则,D|0时且当fxXx。有)()(cxfcxf 作辅助函数 F(x)=f(x)c 再利用定理的结论即可得证.函数值的正负与极限值正负的关系),(U ),0)(,0)(0 xxxfxf若,)(lim 0axfxx且。则必有)0(0 aa 该定理也称为第二保号性定理,0|),0)(,0)(rxxfxf若。则必有)0(0 aa,)(lim axfx且第二保号性定理成立.运用反证法,设 f(x)0 (f(x)0)时,有 a 0),则由第一保号性定理将推出 f(x)0)的矛盾,该矛盾就证明了注意:当 f(x)0 (f(x)g(x),则有 a b,在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号保持方向不变，但严格不等号一般要变为不严格不等号.令 F(x)=f(x)g(x)0,即可进行证明.
