1、第10章 考虑材料塑性的极限分析 构件受外荷载而变形构件受外荷载而变形,当外荷载卸除而恢复的那当外荷载卸除而恢复的那部分变形称为部分变形称为弹性变形弹性变形,当外载卸除而不能恢复的那当外载卸除而不能恢复的那部分变形称为部分变形称为塑性变形塑性变形。10.1 10.1 塑性变形塑性变形 塑性极限分析的假设塑性极限分析的假设(4)(4)通常所指的塑性变形通常所指的塑性变形,忽忽略了时间因素的影响略了时间因素的影响(常温、常温、低应变率）。低应变率）。塑性变形的特征塑性变形的特征:(1)(1)变形的不可恢复性是塑性的基本特征。变形的不可恢复性是塑性的基本特征。(2)(2)应力超过弹性范围后应力超过弹
2、性范围后,应力应力-应变呈非线性关系应变呈非线性关系,叠加原理叠加原理不再适用。不再适用。(3)(3)塑性变形与加载历程有关塑性变形与加载历程有关,应应力与应变之间不再是单值关系。力与应变之间不再是单值关系。sOe1ssssseepe 在超过屈服荷载以后在超过屈服荷载以后,物体内出现了部分塑性变物体内出现了部分塑性变形。这部分塑性变形改变了物体内的应力分配形。这部分塑性变形改变了物体内的应力分配,使物使物体的其它部分更多地参加到承担外载中去，从而提高体的其它部分更多地参加到承担外载中去，从而提高了整个物体的承载能力。因此，需要进行了整个物体的承载能力。因此，需要进行塑性极限分塑性极限分析析。塑
3、性极限分析塑性极限分析 受力物体中受力物体中,在一般情况下应力分布是不均匀的在一般情况下应力分布是不均匀的,如果单凭弹性分析来进行设计如果单凭弹性分析来进行设计,材料的利用率可能较材料的利用率可能较低。低。4.4.材料应力应变关系材料应力应变关系为刚性理想塑性或为刚性理想塑性或弹性理想塑性弹性理想塑性 为简化计算，通常对塑性极限分析作如下假设：为简化计算，通常对塑性极限分析作如下假设：1.1.简单加载简单加载2.2.小变形小变形3.3.结构几何形状不变结构几何形状不变ss(a)soe(b)ssseo 当结构由于较大塑性变形而成为几何可变结构当结构由于较大塑性变形而成为几何可变结构时，结构达到了
4、极限状态，计算结构极限状态下的时，结构达到了极限状态，计算结构极限状态下的荷载（极限荷载）称为荷载（极限荷载）称为塑性极限分析塑性极限分析。10.2 10.2 拉压杆系的极限荷载拉压杆系的极限荷载 使结构处于极限状态的荷载，称为使结构处于极限状态的荷载，称为极限荷载极限荷载，记，记为为 Fu。静定拉压杆系，其中一杆内应力达到材料屈服静定拉压杆系，其中一杆内应力达到材料屈服极限，结构即达极限状态。极限，结构即达极限状态。超静定拉压杆系，其中多杆应力达到材料屈服超静定拉压杆系，其中多杆应力达到材料屈服极限，结构才达极限状态。极限，结构才达极限状态。结构内开始出现塑性变形时的荷载，称为结构内开始出现
5、塑性变形时的荷载，称为屈服荷屈服荷载载，记为记为 Fs 。例题例题：超静定桁架如图，三杆的材料相同，弹超静定桁架如图，三杆的材料相同，弹性模量为性模量为E。三杆的横截面面积均为。三杆的横截面面积均为A，承受铅垂荷载，承受铅垂荷载F作用。试求结构的屈服荷载作用。试求结构的屈服荷载 Fs 和极限荷载和极限荷载 Fu。BCDA231F图图 a图图b bssseo 几何相容方程几何相容方程ee231cos(3)物理关系物理关系E11seE33se(4)解解：当：当F不大时，三杆均处于弹性状态。设三杆不大时，三杆均处于弹性状态。设三杆的轴力分别为的轴力分别为 FN1 ，FN2 和和 FN3（图（图c c
6、）,节点节点A的的静力平衡方程静力平衡方程1NF2NFN3FAF图图 c,0 xF2N1NFF(1),0yF)cos2(13ss AF(2)将（将（4 4）代入（）代入（3 3），并与（），并与（2 2）联立求解，即得）联立求解，即得 )cos21(cos3221ssAF (5)cos21(33sAF (6)cos21(3sssAF杆杆3 3内的应力大于两侧斜杆的应力。若增大荷载内的应力大于两侧斜杆的应力。若增大荷载F，则中间杆的应力首先达到材料的屈服极限则中间杆的应力首先达到材料的屈服极限s ss，开始，开始产生塑性变形。这时，结构的荷载为屈服荷载产生塑性变形。这时，结构的荷载为屈服荷载Fs
7、 ，由式（由式（5 5）可得到）可得到：若继续增大荷载，则中间杆的应力保持为若继续增大荷载，则中间杆的应力保持为s ss ，两侧斜杆的应力继续增长。两侧斜杆的应力继续增长。当荷载大于屈服荷载但小于极限荷载当荷载大于屈服荷载但小于极限荷载(FsFFu)时，时，结构处于弹性塑性状态。这时，由静定平衡条件结构处于弹性塑性状态。这时，由静定平衡条件 (7)ssscos2)/(s21AFs3ss继续增大荷载，当两侧斜杆内的应力达到屈服极限继续增大荷载，当两侧斜杆内的应力达到屈服极限 s ss 时，整个结构进入完全塑性状态而达到极限状态。时，整个结构进入完全塑性状态而达到极限状态。由静力平衡方程，即得到极
8、限荷载为由静力平衡方程，即得到极限荷载为)cos21(susAF(8)若以若以表示三杆铰接点表示三杆铰接点A的铅垂位移，则的铅垂位移，则F与与之间之间的关系如图的关系如图d所示。所示。3sucos21cos21FF由式（由式（7 7）和（）和（8 8），uuFssFFO图图d41.1/suFF若若 ，则，则4510.3 10.3 等直圆杆扭转时的极限扭矩等直圆杆扭转时的极限扭矩s3sps16dWT 此时的扭矩称为此时的扭矩称为屈服扭矩屈服扭矩 Ts ，其值为，其值为 等直圆杆在扭转时，可以看成是由半径从等直圆杆在扭转时，可以看成是由半径从0 的无数薄壁圆筒相套并在两端焊死的一个超静定系的无数薄
9、壁圆筒相套并在两端焊死的一个超静定系统。若其横截面上最大切应力达到了统。若其横截面上最大切应力达到了 s ，则横截面，则横截面任一直径上切应力的变化如图。任一直径上切应力的变化如图。s(a)若继续增大扭矩，则随着切应变增大，此直径上若继续增大扭矩，则随着切应变增大，此直径上各点处的切应力将从周围向中心逐渐增大到各点处的切应力将从周围向中心逐渐增大到 s。s(b)当截面上各点处的切应力均达到当截面上各点处的切应力均达到 s,整个截面进整个截面进入完全塑性状态。这时不需要再增大外力偶矩，圆杆入完全塑性状态。这时不需要再增大外力偶矩，圆杆将继续扭转变形，即扭杆达到极限状态。对应的极限将继续扭转变形，
10、即扭杆达到极限状态。对应的极限扭矩为：扭矩为：s32/02ssu12d2ddATdA由由33.11216s3s3suddTT可见，考虑了材料的塑性，可见，考虑了材料的塑性，同一圆杆所对应的扭矩极限值可以增大同一圆杆所对应的扭矩极限值可以增大33%33%。如果这时卸载，即荷载从如果这时卸载，即荷载从Tu 变为变为0 0，就相当于反，就相当于反向施加外力偶矩向施加外力偶矩 Me=Tu ，则可得横截面上的残余，则可得横截面上的残余应力如图。应力如图。sueTM 0eMs31sueTMs34s 解解：当达到极限扭矩时当达到极限扭矩时 Tu，轴横截面每一点处，轴横截面每一点处的切应力都达到的切应力都达到
11、 s（图（图b b），此时），此时(1)s332/2/2ssu12)1(d2dDATDdA 例题例题：试求空心圆截面轴极限扭矩试求空心圆截面轴极限扭矩 Tu 与屈服与屈服扭矩扭矩 Ts 的比值。的比值。DOd(a)AdAdsO(b)式中式中,。Dd空心圆截面轴的空心圆截面轴的s43s16)1(DT(2)43su1134TT(3)作业:2-2;2-510.4 10.4 梁的极限弯矩梁的极限弯矩 塑性铰塑性铰 矩形截面梁受纯弯曲时，可以看成是无数在梁两矩形截面梁受纯弯曲时，可以看成是无数在梁两端焊死的纵向纤维组成的一个超静定系统。若其横截端焊死的纵向纤维组成的一个超静定系统。若其横截面上最大正应力
12、达到了面上最大正应力达到了 s ss ，则横截面上正应力的变，则横截面上正应力的变化如图。化如图。s2ss6ssbhWM 此时的弯矩称为此时的弯矩称为屈服弯矩屈服弯矩 Ms ，其值为其值为(a)ssss 当横截面上各处的正应力均达到当横截面上各处的正应力均达到s ss 时，整个时，整个截面进入完全塑性状态。截面进入完全塑性状态。若继续增大弯矩，则随着线应变的增大，横截若继续增大弯矩，则随着线应变的增大，横截面上各处正应力将从上下边缘向中性轴逐渐增大到面上各处正应力将从上下边缘向中性轴逐渐增大到s ss。ssss(b)(c)ssss 将横截面上受拉部分的面积记为将横截面上受拉部分的面积记为At,
13、受压部分的受压部分的面积记为面积记为Ac。由静力学关系，可得由静力学关系，可得ctAA 令令At 对中性轴的静矩为对中性轴的静矩为tdtAAyS Ac对中性轴的静矩为对中性轴的静矩为cdcAAyS这时不需要再增大荷载，梁将继续弯曲变形，即梁达这时不需要再增大荷载，梁将继续弯曲变形，即梁达到了极限状态。到了极限状态。对于具有水平对称轴的横截面，对于具有水平对称轴的横截面，82ctbhSSAyAyMAAd)(dctssuss)(ctsSS s梁的极限弯矩为梁的极限弯矩为则极限弯矩为则极限弯矩为s2u4sbhM由由5.164s2s2sussbhbhMM可见，考虑了材料塑性，可见，考虑了材料塑性，矩形
14、截面梁对应的弯矩极限值可以增大矩形截面梁对应的弯矩极限值可以增大5050。几种常用截面的几种常用截面的 Mu/Ms 比值见下表。比值见下表。表表 1 1 几种常用截面的几种常用截面的 Mu/Ms 比值比值截面形状截面形状su/MM1.15-1.171.271.51.70 如果这时卸载，即荷载从如果这时卸载，即荷载从 Mu变为变为0 0，就相当于反，就相当于反向施加外力偶矩向施加外力偶矩 Me=Mu，则可得到横截面上的残余，则可得到横截面上的残余应力如图。应力如图。ssuMM s23suMMs21s0Mss 例题例题：试求圆截面梁的极限弯矩及比值试求圆截面梁的极限弯矩及比值Ws/W。解解：圆截面
15、对称于中性轴，故圆截面对称于中性轴，故 St=Sc 。由于半。由于半 圆形的形心到其直径边的距离为圆形的形心到其直径边的距离为 2d/3 ，所以，所以632)4(21 232ctsdddSSW极限弯矩为极限弯矩为s3ssu6ssdWM圆截面的弯曲截面系数圆截面的弯曲截面系数 W=d3/32 ，所以，所以70.163232/6/33sddWW)mm250(mm50)mm50(mm50mm160mm50yy解得解得mm70)mm160mm50mm250(21y 解解：因因T T形截面无水平对形截面无水平对称轴，为了求称轴，为了求 St 和和 Sc ，必，必须先确定中性轴的位置。现以须先确定中性轴的
16、位置。现以y y表示翼缘边到中性轴的距离，表示翼缘边到中性轴的距离，由由 At=Ac ，可得，可得 例题例题：图示图示T T形截面梁的屈服极限形截面梁的屈服极限s ss=235MPa 试求该梁的极限弯矩。试求该梁的极限弯矩。y1605050z2003534cm1081mm1081mm90mm50mm180S从而从而35ctsm10118SSW)m10118)(Pa10235(356ssuWMsmkN3.277mN2773003534m1037mm1037mm10mm20mm50mm45mm50mm160tS则则塑性铰塑性铰 在横力弯曲时，梁各横截面上的弯矩是不同的，在横力弯曲时，梁各横截面上的
17、弯矩是不同的，最大弯矩所在截面将首先屈服。最大弯矩所在截面将首先屈服。hblF4maxFlMusFFFsssy(a)(b)sMsM 设一矩形截面的简支梁在跨长设一矩形截面的简支梁在跨长 l 的中点处承受的中点处承受集中荷载集中荷载 F。当力当力 F 增大到某个临界值增大到某个临界值 Fu 时，跨中截面完全时，跨中截面完全屈服，其邻近的横截面局部屈服，这时屈服，其邻近的横截面局部屈服，这时 F 不需继续增不需继续增加而跨中截面两侧的两段梁可以绕跨中截面的中性轴加而跨中截面两侧的两段梁可以绕跨中截面的中性轴相对旋转，犹如在该截面处安置了一个铰链，通常称相对旋转，犹如在该截面处安置了一个铰链，通常称
18、为为塑性铰塑性铰。其最大弯矩其最大弯矩 Mmax=Fl/4 ，位于跨中截面。，位于跨中截面。(c)ssuFsl当梁卸载时，塑性铰效应也随之消失。当梁卸载时，塑性铰效应也随之消失。得得s2uslbhF 44us2ulFbhMs由由 根据塑性极限分析求得极限荷载，再乘以安全系根据塑性极限分析求得极限荷载，再乘以安全系数得到许用荷载的强度设计方法称为数得到许用荷载的强度设计方法称为极限荷载法极限荷载法。而。而前述弹性极限分析的强度计算方法，称为前述弹性极限分析的强度计算方法，称为容许应力法容许应力法。例题例题：承受均布荷载作用的矩形截面外伸梁如承受均布荷载作用的矩形截面外伸梁如图图a a所示。已知梁
19、的尺寸为所示。已知梁的尺寸为l=3m,b=60mm,h=120mm,屈服极限屈服极限s ss=235235MPa。试求梁的极限荷载。试求梁的极限荷载。解解：先按弹性分先按弹性分析的方法作出梁析的方法作出梁的弯矩图的弯矩图（图（图c）8182maxqlMAB(a)C3lql94lql8128ql182(c)bh(b)得出最大弯矩为得出最大弯矩为于是得于是得22su88141lbhqs226u)m3(8481)m12.0)(m06.0)(Pa10235(qkN/m1.57N/m101.57348182sss2uubhWlqMss即即 当梁达到极限状态时，其最大弯矩等于极限弯矩，当梁达到极限状态时，其最大弯矩等于极限弯矩，梁上的荷载达到极限值。梁上的荷载达到极限值。
