1、大学物理-11-1简谐振动共振共振振动振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动(简谐振动）简谐振动）无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动振动的分类振动的分类:12-1 简谐振动简谐振动简谐振动是简谐振动是最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动.简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解振动的理论建立在振动的理论建立在简谐振动简谐振动的基础上。的基础上。一、简谐振动方程一、简谐振动方程 将弹簧振子水平放置，将弹簧振子水平放置，取物体的平衡位置取物体的平衡位置为坐标原点，物体的运动轨迹为为坐标原点，物体的运动轨
2、迹为x轴。轴。3.受力分析受力分析弹性力弹性力kxf1.平衡位置平衡位置2.建立坐标建立坐标)cos(0tAx解微分方程可得解微分方程可得简谐振动动力学方程简谐振动动力学方程0dd222xtx令令2mk整理得整理得简谐振动运动学方程简谐振动运动学方程22txmmakxdd4.牛顿运动方程牛顿运动方程二、简谐振动的三个特征量二、简谐振动的三个特征量1.振幅振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A，由初始条件决定，描述振动的空间范围。由初始条件决定，描述振动的空间范围。2.周期周期 振动状态重复一次所需要的时间振动状态重复一次所需要的时间,描述振描述振动的快慢
3、动的快慢.)cos()(cos00tATtA2T2TT1物体在单位时间内发生完全振动的次物体在单位时间内发生完全振动的次数，称数，称振动的频率振动的频率.反映了系统的固有特性，分别称为谐振子系统反映了系统的固有特性，分别称为谐振子系统的固有圆频率、固有周期和固有频率的固有圆频率、固有周期和固有频率.mk2称称圆频率（角频率）圆频率（角频率）.mk21kmT23.相位相位 当当A和和已知时，已知时，可以可以决定决定t 时刻时刻物物体的位移、速度和加速度，即确定物体的振动状态体的位移、速度和加速度，即确定物体的振动状态.0t0t称称t 时刻物体的振动相位时刻物体的振动相位.比较比较a、b两点：位移
4、相同，速度不同，相位不同两点：位移相同，速度不同，相位不同.比较比较a、c两点：位移相同，速度相同，相位不同两点：位移相同，速度相同，相位不同.结论：结论：用相位描述物体振动，能反映出时间上的用相位描述物体振动，能反映出时间上的周期性，而（周期性，而（x，v）则不能。）则不能。tabcxOT00 反映反映t t=0=0时刻的振动状态，称时刻的振动状态，称初相位初相位.0三、三、相位差相位差1.1.对于同一简谐运动对于同一简谐运动)()(0102tt)cos(0tAx12ttt02t01t对于简谐运动对于简谐运动t1时刻相位时刻相位t2时刻相位时刻相位相位差相位差相位差可以给出两运动状态间变化所
5、需的时间相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间2.2.对不同一简谐运动对不同一简谐运动)cos(1011tAx)cos(2022tAx)()(1020tt1020设两个同频率的简谐振动设两个同频率的简谐振动相位差相位差1）同相位和反相位）同相位和反相位两振动步调完全一致，称两个振动两振动步调完全一致，称两个振动同相位同相位。2k),2 1 0(，k)12(k)2,1 0(，k00第二个简谐振动比第一个第二个简谐振动比第一个超前超前第二个简谐振动比第一个第二个简谐振动比第一个落后落后两振动步调完全相反，称两个振动两振动步调完全相反，称两个振动反相位反相位。2）超前和落后）超前和落后两个振动在相
6、位上相差两个振动在相位上相差 时，相对应的时间上时，相对应的时间上相差为相差为t2Tt 以以来判断。来判断。四、四、简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法0sintAtxddv2cos0tAv0costAx1.解析法解析法物体作简谐振动时的物体作简谐振动时的速度速度xtAta202cosddvcos02tAa物体作简谐振动时的物体作简谐振动时的加速度加速度 (2)振幅关系：振幅关系：Amv2Aam(3)相位关系：相位关系：v比比x超前超前/2,a比比v超前超前/2。均是作均是作谐振动谐振动的物理量的物理量,有有ax,v(1)频率关系：频率关系：频率相同频率相同,均为均为0costAx2cos0t
7、Avcos02tAaxtT/2ToA-AtvoA-Atoa2A-2A2.曲线法曲线法用用振动曲线振动曲线描述简谐振动描述简谐振动003.旋转矢量法旋转矢量法 匀速圆周运动在任意直径方向的分运动为匀速圆周运动在任意直径方向的分运动为简谐振动，简谐振动，采用几何的方法描述简谐振动。采用几何的方法描述简谐振动。)cos(0tAx（1）矢量端点在矢量端点在x轴上的投影为简谐振动轴上的投影为简谐振动圆周运动与简谐振动的关系：圆周运动与简谐振动的关系：（2）t=0时刻，矢量与时刻，矢量与x轴的夹角轴的夹角 0 0为初相位为初相位（3）在任意在任意t时刻，矢量与时刻，矢量与x轴的夹角轴的夹角t+0为为t时时
8、刻的相位刻的相位（1）相位显示直观）相位显示直观旋转矢量用图代替了文字的叙述。旋转矢量用图代替了文字的叙述。旋转矢量法表示的优点：旋转矢量法表示的优点：xo0t)cos(0tAx0At=0时刻时刻tt 时刻时刻由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2（2）比较相位方便比较相位方便AAA2cos2coscos0200tAatAtAxv(3)计算时间简便：计算时间简便：用熟悉的圆周运动代替三角用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算。函数的运算。例例1 质量为质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k的弹簧组成的弹簧组成的弹簧谐振子，的弹簧谐振子，t=0时，质点过平
9、衡位置且向正时，质点过平衡位置且向正方向运动。求物体运动到负二分之一振幅处所用方向运动。求物体运动到负二分之一振幅处所用的最短时间。的最短时间。解：解：设设 t 时刻到达末态，由已知条件画出时刻到达末态，由已知条件画出t=0 时时刻和刻和t时刻的旋转矢量图。时刻的旋转矢量图。0t振动状态振动状态0000vxt时刻振动状态时刻振动状态未知0v2/0Ax0t振动状态振动状态0000vx0t20用时最短用时最短32两个状态的相位差两个状态的相位差67)2(32t67mkt时刻振动状态时刻振动状态未知0v2/0Axxo32x例例2 利用旋转矢量法确定质点在不同运动状态利用旋转矢量法确定质点在不同运动状
10、态时的相位。时的相位。由旋转矢量图可以得出，旋转矢量与由旋转矢量图可以得出，旋转矢量与x轴的夹角为轴的夹角为零，故得零，故得12（2）质点经二分之一）质点经二分之一振幅处向负方向运动振幅处向负方向运动（1）t 时刻质点时刻质点在正最大位移处在正最大位移处30tA2Ax 0vxo00tA(3)当质点过平衡位置向负方向运动当质点过平衡位置向负方向运动20t30tAx0t同样同样4320v质点向负方向运动质点向负方向运动2Ax0v注意到：注意到：0 x0vAA534x1xoAA2A（4）质点向正方向运动）质点向正方向运动2Ax v 00 xv 02Ax v 0oxxAAA8,7,60v 向正向运动向
11、正向运动0t3220t30t6 7 82)振动方程振动方程0222xtxdd0costAx3）微分方程）微分方程 简谐振动的三个判据简谐振动的三个判据1)1)受力特征受力特征kxfk 劲度系数劲度系数f 恢复力恢复力 以上以上1）、）、2）、）、3）中任一条成立即可判定中任一条成立即可判定为为简谐振动。简谐振动。旋转矢量法：旋转矢量法：)cos(0tAx解析法：解析法：曲线法：曲线法：xt 曲线曲线旋转矢量旋转矢量A角速度角速度圆频率圆频率 长度振幅长度振幅A初始角初始角初相初相 0 0旋转矢量图与简谐运动的旋转矢量图与简谐运动的x-t图的对应关系图的对应关系简谐振动的三个特征量简谐振动的三个
12、特征量圆频率圆频率mk由系统决定，与初始条件无关由系统决定，与初始条件无关振幅振幅 反映振动的强弱，反映振动的强弱，由初始条件决定由初始条件决定.00cosAx t=0时时00sinAv00sincostAtAxv由由可得可得22020vxA初相位初相位0已知初始振动状态，用旋转矢量确定已知初始振动状态，用旋转矢量确定oxx0=0v00 x0=Av0=0 x0=-Av 0=0 x00v00 x00v00 x00 x00v00例例3 3 一轻弹簧的右端连着一物体一轻弹簧的右端连着一物体,弹簧的劲度系数弹簧的劲度系数 k=0.72N/m,物体的质量物体的质量m=20g.求：求：(1)把物体从平衡位
13、置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m 处停下后再处停下后再释放释放,求简谐运动方程求简谐运动方程;解解（1）先求三个特征量：圆频率先求三个特征量：圆频率 、振幅振幅A、初相位初相位 0rad/s0.602.072.0mkm05.0022020 xxAv(2)求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速率处时的速率;解解（2）x=A/2时，速度方向为时，速度方向为x轴负方向轴负方向os/m26.0)23cos(05.00.6)2/cos(tAv由旋转矢量图知由旋转矢量图知3t相位相位At=0时刻时刻ox由旋转矢量图知由旋转矢量图知 0=0所以运动方程为：
14、所以运动方程为：)SI()6cos(05.0tx AAA/2t时刻时刻3/例例5 5 两个两个同频率同频率简谐振动曲线如图所示，比较它简谐振动曲线如图所示，比较它们的位相差关系。们的位相差关系。A1x2Txto oA2-A2-A1x1 选选正最大位移，正最大位移，x2 比比x1 较早达到正最大位移较早达到正最大位移x2 比比x1时间超前时间超前T/4,相位超前相位超前/2.解：解：选定某一运动状态，谁先到达谁超前选定某一运动状态，谁先到达谁超前.例例6 6 某简谐振动的振动曲线如图，写出振动方程。某简谐振动的振动曲线如图，写出振动方程。x(cm)t(s)-1-1-2-2O O1 1解：解：设振
15、动方程为设振动方程为)cos(0tAx则由振动曲线：则由振动曲线：A=2 cmt=0时刻时刻2Ax00v又又 v00，故，故3/20t=1s=1s时时 于是于是cm)3/23/4cos(2txrad/s34322/的旋矢图：的旋矢图：2AxAxv=0201x-A/2t=1st=032五、简谐振动的能量五、简谐振动的能量以弹簧原长为势能零点以弹簧原长为势能零点C212122kxmvkm2222121kxmv221kA考虑一水平弹簧振子考虑一水平弹簧振子221vmEk221kxEp)(sin210222tAmEk)(cos21022tkAEpx0 xmkmtEo4T2T23TT221kAEEEpk
16、tkAE22cos21ptkAE22sin21kxtoT动能和势能的变动能和势能的变化频率是位移振化频率是位移振动频率的动频率的2倍倍222212121kAkxmv1)2AE 2)时间平均值时间平均值PKEE241kA3)由简谐振动能量求振由简谐振动能量求振幅幅具有普遍适用性具有普遍适用性讨论讨论kEA2简谐振动的各特征量的性质简谐振动的各特征量的性质 振幅振幅A 由系统的由系统的振动能量振动能量决定；决定；角频率角频率 由系统的由系统的内在性质内在性质决定；决定；初相初相 0 由由时间零点时间零点的选取决定。的选取决定。例例9 9 弹簧振子总能量为弹簧振子总能量为E1 1，若其振幅增为原来，
17、若其振幅增为原来的两倍，重物质量增为原来的四倍，则振子总的两倍，重物质量增为原来的四倍，则振子总能量为原来的几倍？能量为原来的几倍？解：解：2221AmE221kA14EE 振子总能量为原来的振子总能量为原来的4 4倍倍.例例1010 系统作谐振动，周期为系统作谐振动，周期为T T，以余弦函数表，以余弦函数表达振动时，初相为零，则在达振动时，初相为零，则在0 t T/2范围内，范围内，系统在什么时刻动能和势能相等。系统在什么时刻动能和势能相等。解：解：按题意按题意tAxcos22Ax时时当当kpEE EEEpk21224121kAkx 所以所以动能和势能相等的位置在动能和势能相等的位置在4/34/或或 t因此因此4/1t24T8T4/32t243T83T3/4/4x旋矢图：旋矢图：
