1、2021新高考数学二轮总复习课件：专题六-6内容索引必备必备知识知识 精要精要梳理梳理关键关键能力能力 学学案突破案突破核心素养微专题核心素养微专题(七七)必备必备知识知识 精要精要梳理梳理离散型随机变量的期望与方差(1)E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为X的均值或数学期望.(2)D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xi-E(X)2pi+(xn-E(X)2pn叫做随机变量X的方差.(3)均值与方差的性质:E(aX+b)=aE(X)+b;E(+)=E()+E();D(aX+b)=a2D(X).关键关键能力能力 学学案突破案突破热点一热点一离散型随机变量的期
2、望与方差离散型随机变量的期望与方差【例1】(2020山西临汾高三适应性训练,19)今年情况特殊,小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究.A、B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和Y.根据市场分析,X和Y的分布列分别为:X5%10%P0.80.2Y2%8%12%P0.20.50.3(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,和分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(),D();(2)若在A,B两个项目上共投资200万元,那么如何分配,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少?注:D(aX+b)=a2D(X)解(1)由题知,的分布列分别为:5
3、10P0.80.22812P0.20.50.3所以E()=50.8+100.2=6,D()=(5-6)20.8+(10-6)20.2=4.E()=20.2+80.5+120.3=8,D()=(2-8)20.2+(8-8)20.5+(12-8)20.3=12.(2)设在A,B两个项目上分别投资x万元,(200-x)万元,利润的方差之和为f(x).可见,当x=150时,f(x)的最小值为12.所以在A,B两个项目分别投资150万元,50万元时,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和最小,最小值是12.解题心得期望与方差的一般计算步骤(1)理解离散型随机变量的意义,写出变量X的所
4、有可能取的值;(2)求X取各个值时的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.若变量X服从二项分布等特殊分布时,期望与方差可直接利用公式求解.【对点训练1】(2020四川宜宾高三诊断,19)某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,nN)的函数解析式;(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:日需求量n141516171819频数102016161513若烘焙店一天加工16
5、个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列与数学期望及方差;若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个?请说明理由.解(1)由题意,当n0,16)时,利润y=120n-960;当n16,+)时,利润y=(120-60)16=960;综上,当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为(2)由(1)可得,当n=14时,利润X=12014-960=720;当n=15时,利润X=12015-960=840;当n16时,利润X=960;所以X的分布列为:X720840960P0.10.20.7所以E(X)=7200.1+8400.2+9600
6、.7=912;D(X)=(720-912)20.1+(840-912)20.2+(960-912)20.7=6 336;由题意,设加工17个蛋糕时,当天的利润为Y(单位:元).当n=14时,利润Y=12014-6017=660;当n=15时,利润Y=12015-6017=780;当n=16时,利润Y=12016-6017=900;当n17时,利润Y=6017=1 020;Y的分布列如下:Y6607809001 020P0.10.20.160.54则E(Y)=6600.1+7800.2+9000.16+1 0200.54=916.8912.从数学期望来看,每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16
7、个蛋糕的利润,应加工17个.热点二热点二统计数据及概率在现实决策问题中的应用统计数据及概率在现实决策问题中的应用【例2】(2020山西太原5月模拟,20)为实现2020年全面建设小康社会,某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判,准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件,目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的该核心部件中随机抽取400个,对其尺寸x进行统计后整理的频率分布直方图.根据行业质量标准规定,该核心部件尺寸x满足:|x-12|1为一级品,12为三级品.(1)现根据频率分布直方图中的分组,用分层抽样的方法先从这400个部件中抽取40个,再从所抽取的40个部件中
8、,抽取出所有尺寸x12,15的部件,再从所有尺寸x12,15的部件中抽取2件,记为这2个部件中尺寸x14,15的个数,求的分布列和数学期望;(2)将甲设备生产的部件成箱包装出售时,需要进行检验.已知每箱有100个部件,每个部件的检验费用为50元.检验规定:若检验出三级品需更换为一级或二级品;若不检验,让三级品进入买家,厂家需向买家每个支付200元补偿.现从一箱部件中随机抽检了10个,结果发现有1个三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家支付费用作为决策依据,问是否对该箱中剩余部件进行一一检验?请说明理由;(3)为加大生产力度,厂家需增购设备.已知这种部件的利润如下:一级品的利润为50
9、0元/个;二级品的利润为400元/个;三级品的利润为200元/个.乙种设备生产的该部件中一、二、三级品的概率分别是 .若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家的利润作为决策依据,则应选购哪种设备?请说明理由.解(1)抽取的40个部件中,尺寸x12,15的个数为40(0.2+0.175+0.075)1=18,其中x14,15的个数为40(0.0751)=3,的可能取值为0,1,2.的分布列为:(2)三级品的概率为(0.1+0.075)1=0.175,若对剩余部件逐一检验,则厂家共需支付费用50100=5 000(元);若对剩余部件不检验,则厂家需支付费用5010+200900.175=3 65
10、0(元),5 0003 650,不对剩余部件进行逐一检验.(3)设甲设备生产一个部件的利润为y1,乙设备生产一个部件的利润为y2,则E(y1)=500(0.3+0.2)+400(0.150+0.175)+2000.175=415,E(y2)E(y1)E(y2),应选购乙设备.解题心得利用均值和方差进行决策的方法利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策.其中随机变量的均值的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.(1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求
11、随机变量1,2的均值.当E(1)=E(2)时,不应误认为它们一样好.需要用D(1),D(2)来比较这两个随机变量的偏离程度.(2)若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.【对点训练2】(2020广东惠州一模,20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入
12、流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40X8080X120发电机最多可运行台数12若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故1台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000.安装2台发电机的情形.依题意,当40X80时,1台发电机运行,此时Y=5 000-800=4
13、200,因此P(Y=4 200)=P(40X80)=p1=0.2;当X80时,2台发电机运行,此时Y=5 0002=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X80)=p2+p3=0.8;由此得Y的分布列如下:Y4 20010 000P0.20.8所以,E(Y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840.安装3台发电机的情形.依题意,当40X80时,1台发电机运行,此时Y=5 000-1 600=3 400,因此P(Y=3 400)=P(40X120时,3台发电机运行,此时Y=5 0003=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下
14、Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以,E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.热点三热点三统计与概率和函数、导数的综合统计与概率和函数、导数的综合【例3】(2020山东威海一模,22)新药在进入临床实验之前,需要先通过动物进行有效性和安全性的实验.现对某种新药进行5 000次动物实验,一次实验方案如下:选取3只白鼠对药效进行检验,当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”,即确定“实验成功”;若有且只有1只“效果明显”,则再取2只白鼠进行二次检验,当2只白鼠均使用“效果明显”
15、,即确定“实验成功”,其余情况则确定“实验失败”.设对每只白鼠的实验相互独立,且使用“效果明显”的概率均为p(0p1).(1)若p=,设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为p0,求p0的值;(2)若动物实验预算经费700万元,对每只白鼠进行实验需要300元,其他费用总计为100万元,问该动物实验总费用是否会超出预算,并说明理由.(2)设一次实验方案需要用到的经费为X元,则X的可能取值为900,1 500.解题心得解决统计与概率和函数、导数的综合问题,关键是读懂题意,将与概率有关的问题(尤其是最值问题)转化为函数问题,再利用函数或导数知识解决.在转化过程中,对已知条件进行适当的变形、整理,
16、使之与求解的结论建立联系,从而解决问题.【对点训练3】(2020东北师大附中模拟,20)随着现代电子技术的迅猛发展,关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科可靠性理论.在可靠性理论中,一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性.元件组成系统,系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.现有n(nN*,n2)种电子元件,每种2个,每个元件的可靠性均为p(0p1xn-1,从而f(x)0,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增;所以当p(0,1)时,f(p)f(1)=0,即2-pn-(2-p)n0.所以P1P2,故按方案建立的电路系统更稳定可靠.所以随机变量X的分布列为 热点四热点四统计与概率和数列
17、的综合统计与概率和数列的综合【例4】(2020山东青岛二模,22)中国女排,曾经十度成为世界冠军,铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为:扎扎实实,勤学苦练,无所畏惧,顽强拼搏,同甘共苦,团结战斗,刻苦钻研,勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用,给予全国人民巨大的鼓舞.(1)看过中国女排的纪录片后,某大学掀起“学习女排精神,塑造健康体魄”的年度主题活动,一段时间后,学生的身体素质明显提高,将该大学近5个月体重超重的人数进行统计,得到如下表格:月份x1234体重超重的人数y640540420300若该大学体重超重人数y与月份变量x(月份变量x依次为1,2,3,4
18、,5)具有线性相关关系,请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下?当y=-112x+75610(xN*)时,x7,所以可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.解题心得数列与统计概率的综合题是新高考概率与统计解答题的热点,难度较大.其本质仍然是常规的概率与统计问题,只是在其中穿插了数列问题的应用,实质是考查数列知识在概率情境中的迁移应用能力,一般要转化为等差、等比数列的定义、通项公式或者数列求和问题.【对点训练4】(2020河北张家口二模,20)某学校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率,随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩,得到如图所示的频率分布直
19、方图:(3)该高一年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习,提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性,特意在微信上设计了一个每日作业小程序,每当学生提交的作业获得优秀时,就有机会参与一次小程序中“玩游戏,得奖励积分”的活动,开学后可根据获得积分的多少领取老师相应的小奖品.小程序页面上有一列方格,共15格,刚开始有只小兔子在第1格,每点一下游戏的开始按钮,小兔子就沿着方格跳一下,每次跳1格或跳2格,概率均为 ,依次点击游戏的开始按钮,直到小兔子跳到第14格(奖励0分)或第15格(奖励5分)时,游戏结束,每天的积分自动累加,设小兔子跳到第n(1n14)格的概率为Pn,试证明Pn+1-Pn是等
20、比数列,并求获胜的概率P15的值.解(1)=(0.0155+0.0265+0.04575+0.0285+0.00595)10=74.(2)=74,=10,XN(74,102).P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4,核心素养微专题核心素养微专题(七七)统计案例中的数据分析和数学运算素养【例题】(2020山东师大附中高三月考,22)从2019年底开始,非洲东部的肯尼亚等国家爆发了一场严重的蝗虫灾害.目前,蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚,并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大,主要危害禾本科植物,能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7
21、组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度x/212325272932平均产卵数y/个711212466115(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=cedx(其中e=2.718为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程?(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程.(结果精确到小数点后第三位)(2)根据以往统计,该地每年平均温度达到28 以上时蝗虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28 以上的概率为p(0p1).记该地今后n(n3,nN*)年中,恰好需要2次人工防治的概率为f(p)
22、,求f(p)取得最大值时相应的概率p0;根据中的结论,当f(p)取最大值时,记该地今后6年中,需要人工防治的次数为X,求X的数学期望和方差.解(1)由散点图可以判断,y=cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程,对y=cedx两边取自然对数得ln y=ln c+dx,令z=ln y,a=ln c,b=d,则z=a+bx.核心素养分析统计案例主要包括回归分析和独立性检验两类问题,此类题目一般题干较长,以我们身边发生的时事、科技、民生等热点为情境,常与统计图表(频数分布表、频率分布直方图、茎叶图、散点图等)结合.在阅读理解题意的过程中,考生需要对条件中以不同形式给出的众多数据进行分析
23、、处理和应用,需要有较好的数据分析核心素养.而求解线性回归方程,或者对事件进行独立性检验的过程中,又对数学运算核心素养作了较好的考查.【跟踪训练】为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到北方某地2020年6月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表:时间星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六车流量x/万辆123456PM2.5的浓度y/(微克/立方米)283035414956(1)由散点图知y与x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;(2)利用(1)所求的回归方程,预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度;规定:当一天内PM2.5的浓度平均值在(0,50内,空气质量等级为优;当一天内PM2.5的浓度平均值在(50,100内,空气质量等级为良.为使该市某日空气质量为优或良,则应控制当天车流量在多少万辆以内?(结果以万辆为单位,保留整数.)(2)当车流量为8万辆,即x=8时,=68+19=67.故当车流量为8万辆时,PM2.5的浓度为67微克/立方米.根据题意得6x+19100,即x13.5,故要使该市某日空气质量为优或良,应控制当天车流量在13万辆以内.本本 课课 结结 束束
