1、第11章 线性离散控制系统数学描述与分析 吉林大学仪器科学与电气工程学院 随阳轶连续与离散控制系统连续与离散控制系统主要内容主要内容 脉冲传递函数脉冲传递函数 离散状态空间描述离散状态空间描述 连续系统状态方程的离散化连续系统状态方程的离散化 线性定常离散系统的稳定性分析线性定常离散系统的稳定性分析 离散控制系统的稳态误差分析离散控制系统的稳态误差分析11.1脉冲传递函数脉冲传递函数11.1.1求脉冲传递函数求脉冲传递函数离散系统脉冲传递函数的定义为离散系统脉冲传递函数的定义为:当当初始条件初始条件为零时为零时，系统的输出的，系统的输出的Z变换与输入的变换与输入的Z变换变换之比叫脉冲传递函数之
2、比叫脉冲传递函数(也叫也叫Z传递函数传递函数)。脉冲传递函数仅取决于系统本身的特性，与脉冲传递函数仅取决于系统本身的特性，与输入序列无关。输入序列无关。(1)由由离散离散系统的系统的差分差分方程，求方程，求脉冲脉冲传递函数传递函数)()1()()()2()1()(1021mkuakuakuankybkybkybkymn求脉冲传递函数（求脉冲传递函数（Z变换法）变换法）对上式两端取对上式两端取Z变换，利用变换，利用Z变换实数平移定变换实数平移定理，并考虑初始条件为零。理，并考虑初始条件为零。)()()()()()()(1102211zUzazUzazUazYzbzYzbzYzbzYmmnn脉冲传
3、递函数写为脉冲传递函数写为：niiimiiinnmmzbzazbzbzbzazaazUzYzG10221111011)()()(例例11.1已知差分方程如下，求脉冲传递函数已知差分方程如下，求脉冲传递函数)1()1(21)(kukyky解：解：11211)()(zzzUzY求脉冲传递函数（其它方法）求脉冲传递函数（其它方法）(2)已知离散系统的单位脉冲响应已知离散系统的单位脉冲响应h(k)，脉冲，脉冲传递函数传递函数G(z)=Zh(k)(3)已知连续系统的传递函数已知连续系统的传递函数G(s)，求脉冲传求脉冲传递函数，按如下三步进行：递函数，按如下三步进行：g(t)=L-1 G(s)将将g(t
4、)按采样周期按采样周期T离散化，求出离散化，求出g(0)，g(1)，等的值；等的值；由由Z变换的定义求离散的变换的定义求离散的Z传递函数即传递函数即0()()kkG zg k zG(s)求脉冲传递函数举例求脉冲传递函数举例 例例11.2已知连续系统的传递函数已知连续系统的传递函数 ，求对应的离散系统的脉冲传递函数求对应的离散系统的脉冲传递函数。)2(1)(sssG解：解：22/12/1)2(1)(sssssG)(1()1(21)(1()1(21)(2121121)(22222TTTTTezzezezzzzezzezzzzzG11.1.2开闭环求脉冲传递函数开闭环求脉冲传递函数 1.采样信号的采
5、样信号的拉氏变换拉氏变换02*)()2()()0()()()()()()0()()(kTsTskTsekTxeTxeTxxkTtLkTxTtLTxtLxtxLsX)()()()()()0()()()(0*kTtkTxTtTxtxkTtkTxtxk1ln0*()()kszkTXsx kT z时域采样的拉氏变换就是时域采样的拉氏变换就是Z变换变换采样信号的拉氏变换的周期性采样信号的拉氏变换的周期性若若)()(*sXtxL)()(*sXjksXs则则证明：采样后信号的谱是原信号的谱以采证明：采样后信号的谱是原信号的谱以采样频率为周期延拓并乘以样频率为周期延拓并乘以1/T倍，即倍，即1*()()snX
6、sX sjnT令令n+k=n则有则有11*()()()sssssnnXsjkXsjkjnX sjkjnTT11*()()()*()sssnnXsjkX sjnX sjnXsTT星号的运算星号的运算)()()()()()()(*sXsGsXsGsXsGsY证明：证明：Y(s)=G(s)X*(s)拉氏变换之积可写成卷积拉氏变换之积可写成卷积 000000ddd)(kkttktkTxkTtgkTxtgkTxtgxtgty因为因为z变换可视为星号拉氏变换的缩略表示符，变换可视为星号拉氏变换的缩略表示符，故得证。此式在推导脉冲传递函数和简化离散故得证。此式在推导脉冲传递函数和简化离散时间控制系统框图的过
7、程中非常时间控制系统框图的过程中非常重要重要。000000)()()()(mkkmmkmknnkzXzGzkTxzmTgzkTxmTgzkTxkTnTgtyZzY串联环节的脉冲传递函数串联环节的脉冲传递函数1*2()()*()()()()U sG s XsY sG s Us取取U(s)和和Y(s)的采样形式的采样形式*11*22()()()()()()()()()()UsG s XsGs XsYsG s UsGs Us将将Y*(s)写成写成Z变换的形式，则开环脉冲传递函数：变换的形式，则开环脉冲传递函数：)()()()()(21zGzGzXzYzG(1)环节间有采样开关环节间有采样开关串联环节
8、的脉冲传递函数（续串联环节的脉冲传递函数（续1）(2)环节间环节间无无采样开关采样开关12()()()*()Y sG s G s Xs)()()()()()()(*21*21*sXsGsGsXsGsGsY121221()()()()()()Y zZ G s G sGG zG G zX z结论：环节间无采样开关的脉冲传递函数是结论：环节间无采样开关的脉冲传递函数是连续环节的传递函数乘积之后求连续环节的传递函数乘积之后求Z 变换。变换。串联环节的脉冲传递函数（续串联环节的脉冲传递函数（续2）特别强调：特别强调：)()()()()()(21122121sGsGZzGGzGGzGzG例例11.3已知环
9、节已知环节 ，环节，环节 分别分别求出环节间接入采样开关和不接入采样开关求出环节间接入采样开关和不接入采样开关时开环系统的脉冲传递函数。时开环系统的脉冲传递函数。11()G ss21()1G ss解：插解：插/未插采样开关的开环脉冲传递函数未插采样开关的开环脉冲传递函数12()11()()()()11TY zzzG zG z GzZZX zsszze12()11()()()()11TY zzzG zZ G s G sZX zs szze插入零阶保持器的脉冲传递函数插入零阶保持器的脉冲传递函数零阶保持器常与连续对象组合起来构成广义对象零阶保持器常与连续对象组合起来构成广义对象1()()()1()
10、()()()(1)TspTsPppGsGsY zeG zZGsZZeX zsssGszZs证明：证明：sGesGsesGTspTs111其中：其中：ssGsGp1考虑考虑 sGesXTs11因为因为X1(s)为两函数的拉氏变换之积，故改写为两函数的拉氏变换之积，故改写为卷积形式：为卷积形式：零阶保持器的脉冲传递函数证明零阶保持器的脉冲传递函数证明 tgtgtx0101d其中：其中：sGtgTtetg-Ts-11110LL因此：因此：TtggTttxt1011d由由 zGtgZ11可得可得 zGzTtgZ111根据根据G(s)的表达式，可求出的表达式，可求出G(z)为：为：零阶保持器的脉冲传递函
11、数证明续零阶保持器的脉冲传递函数证明续 ssGZzzGzzGzzGTtgZtgZsGesGZzGpTs111111111111上面证明：如果上面证明：如果G(s)含有因子含有因子(1-e-Ts)，则求，则求G(s)的的z变换时，可以提取公因子变换时，可以提取公因子1-e-Ts=1-z-1，这样，这样G(z)就等于就等于剩余项剩余项z变换与变换与(1-z-1)的乘积的乘积。求插入零阶保持器后对象的例子求插入零阶保持器后对象的例子例例11.4已知被控对象为已知被控对象为 ，插入零阶，插入零阶保持器保持器 与被控对象组成广义对象，与被控对象组成广义对象，试求开环系统的脉冲传递函数。试求开环系统的脉冲
12、传递函数。1()(1)pGss s01()TseG ss解：解：)()1()()(1ssGZzzXzYP TpezzzzzTzsssZssZssGZ11111111222插入零阶保持器插入零阶保持器的例子（续）的例子（续）TTTTTTezzeTezeTezzzTezzzzzTzzzXzY111111111)(21零阶保持器星号运算举例零阶保持器星号运算举例例例11.5零阶保持器如图所示，证明零阶保持器如图所示，证明Y*(s)=X*(s)证明证明:)(1)()()(sXsesXsGsYTs作带星号拉氏变换作带星号拉氏变换)(1)(sXsesYTs 使用使用z变换的符号变换的符号)()(11)(1
13、)(1zXzXsZzzXseZzYTs 使用带星号拉氏变换符号，即证使用带星号拉氏变换符号，即证环节并联的脉冲传递函数环节并联的脉冲传递函数121212()()()()()()()()Y zZ G sG sZ G sZ G sG zG zR zn个环节的并联，系统的总的脉冲传递函数个环节的并联，系统的总的脉冲传递函数是每个环节的脉冲传递函数之和。是每个环节的脉冲传递函数之和。反馈连接的闭环脉冲传递函数反馈连接的闭环脉冲传递函数(1)前向通道设有采样开关前向通道设有采样开关*()()()()()()()()()1()()1()()()()()()Y sEs G sR s G sG z R zY
14、sY zG sH sGH zE sR sEs G s H s由输出端和误差节点列写方程：由输出端和误差节点列写方程：在误差节点列写方程：在误差节点列写方程：)(11)(11)()()()(*11)(*)(*zGHzHGzRzEsHsGsRsE闭环脉冲传递函数（续闭环脉冲传递函数（续1）(2)在反馈回路设有采样开关在反馈回路设有采样开关*()()()()()()()()Y sEs G sE sR sEs Gs H s*()()()()()()()()YsEs G sEsR sEs G s H s()()()1()()Y zG zR zG z H z)(*)(*1)(*)(*)(*sHsGsGsR
15、sY闭环脉冲传递函数（续闭环脉冲传递函数（续2）(3)前向通道前向通道(误差处误差处)不设采样开关不设采样开关*()()()()()()()()Y sE s G sE sR sE s G sH s()()()1()1()GR zRG zY zHG zGH zR(s)不能从不能从G(s)R*(s)中独立出来，误差通道不设中独立出来，误差通道不设采样开关，则只存在输出的采样开关，则只存在输出的Z变换表达，而不存变换表达，而不存在脉冲传递函数。在脉冲传递函数。这是与连续系统的重要区别这是与连续系统的重要区别。)(*)(1)()(*)()(*)(*sGsHsRsGsEsGsY求脉冲传递函数总结求脉冲传
16、递函数总结1.采样开关的位置与脉冲传递函数关系密切，特别采样开关的位置与脉冲传递函数关系密切，特别是当在误差通道不设采样开关时，系统的脉冲传是当在误差通道不设采样开关时，系统的脉冲传递函数不存在，只有输出的递函数不存在，只有输出的Z变换表达式。变换表达式。2.对对G*(s)H*(s)和和G*(s)H(s)取取Z变换，结果分别变换，结果分别为为G(z)H(z)和和HG(z)或或GH(z)，对，对G*(s)H(s)或或G(s)H*(s)取取Z变换，就是对变换，就是对G(s)H(s)*取取Z变换。变换。3.可以根据离散系统的梅森公式直接列写离散系统可以根据离散系统的梅森公式直接列写离散系统输出的输出
17、的Z变换表达式，注意将变换表达式，注意将R(s)当成一个环节当成一个环节画在方框图上，并且把凡是没有被采样开关作用画在方框图上，并且把凡是没有被采样开关作用的所有传递函数先乘积后当成一个独立环节。的所有传递函数先乘积后当成一个独立环节。由脉冲传递函数求响应由脉冲传递函数求响应 离散控制系统的结构框图离散控制系统的结构框图离散控制系统的框图离散控制系统的框图()*()*()()Y sEs Ds G s()()()()*()*()()E sR sY sR sEs Ds G s)(*)(*1)(*)(*)(*)(*sDsGsGsDsRsY)()(1)()()()(zGzDzGzDzRzY闭环系统输出
18、响应的计算步骤闭环系统输出响应的计算步骤 1.将脉冲传递函数改写成输出形式；将脉冲传递函数改写成输出形式；)()()(1)()()(zRzGzDzGzDzY2.将将R(z)的具体输入波形表达式的具体输入波形表达式(如单位阶跃等如单位阶跃等输入函数输入函数)代入闭环系统的输出式代入闭环系统的输出式Y(z)中；中；3.将将Y(z)部分分式展开求部分分式展开求Z反变换；反变换；4.通过计算机迭代计算通过计算机迭代计算(简单的通过手算简单的通过手算)y(k)响响应序列。应序列。11.2离散状态空间描述离散状态空间描述线性常系数离散系统的状态方程和输出方程为线性常系数离散系统的状态方程和输出方程为)()
19、()()()()1(kDukCxkykGukFxkx可控标准型可控标准型设系统的差分方程为设系统的差分方程为)()1()()()2()1()(1021nkuakuakuankybkybkybkynn对应的脉冲传递函数为对应的脉冲传递函数为niiiniiinnnnzbzazbzbzazaazUzYzG10111101.1.)()()(可控标准型（续可控标准型（续2）可控标准型的状态方程为可控标准型的状态方程为1122121(1)0100()0(1)0010()0()(1)()1nnnnnx kx kx kx ku kx kbbbbx k 输出方程为输出方程为)()()()()()()()()(0
20、211012021010kuakxkxkxbaabaabaabaakynnnnn可控标准型结构图可控标准型结构图可观标准型可观标准型根据差分方程根据差分方程niiniinnikybikuankybkybkybnkuakuakuaky102110)()()()2()1()()1()()(由差分方程直接画出结构图由差分方程直接画出结构图可观标准型（续可观标准型（续1）1102210111120 2210 11(1)()0000(1)()1000()(1)()0010(1)()0001nnnnnnnnnnx kx kaa bbx kx kaa bbu kxkxkaa bbx kx kaa bb可观标
21、准型的状态方程可观标准型的状态方程矩阵形式矩阵形式可观标准型的输出方程可观标准型的输出方程矩阵形式矩阵形式1201()()()0001()()()nnx kx kkakxkx kyu11.3连续系统状态方程的离散化连续系统状态方程的离散化连续被控对象的状态方程连续被控对象的状态方程 tttBuAxx推导状态方程解的一般形式推导状态方程解的一般形式 tttBuAxx方程两端同乘方程两端同乘e-At tettettBuAxxAA两边取两边取t0t的积分的积分 tttttettet00ddddBuxAA对此式积分的结果对此式积分的结果 ttttetete00d0BuxxAAA因此状态解一般形式因此状
22、态解一般形式 tttttetet00d0BuxxAA连续系统状态方程的离散化连续系统状态方程的离散化连续被控对象的状态方程的解连续被控对象的状态方程的解00()()0()()()tA t tA ttx tex teBud进行状态解的离散化处理进行状态解的离散化处理设设TktkTt)1(,0(1)(1)(1)()()kTATA kTkTx kTex kTeBud)()()1()1()1(kTBudekTxeTkxTkkTTkAAT状态解的离散化处理（续状态解的离散化处理（续1）令令0(1)()()TATAx kex ked Bu k令令0(),()TATATeFTe d BG则离散的状态方程和输
23、出方程分别为：则离散的状态方程和输出方程分别为：(1)()()()()()()()()()x kT x kT u kFx kGu ky kCx kDu kTk)1(离散系统的脉冲传递矩阵离散系统的脉冲传递矩阵(1)()()()()()x kFx kGu ky kCx kDu k()(0)()()()()()zX zzxFX zGU zY zCX zDU z)()()(1zGUFzIzX1()()()()()Y zC zIFGD U zW z U zW(z)：是离散系统的脉冲传递矩阵。：是离散系统的脉冲传递矩阵。离散系统的特征方程离散系统的特征方程 由于由于FzIFzIadjFzI)()(1()
24、()Cadj zIF GW zDzIFW(z)的极点就是的极点就是 的根，方程的根，方程 就是该系统的特征方程，特征方程的根对应系就是该系统的特征方程，特征方程的根对应系统的极点。极点的位置决定系统的动态特性。统的极点。极点的位置决定系统的动态特性。0zIF0zIF离散系统状态方程的求解离散系统状态方程的求解 1.用迭代法求解状态方程用迭代法求解状态方程)0()0()1(GuFxx)1()0()0()1()1()2(2GuFGuxFGuFxx101)()0()(kjjkkjGuFxFkx离散系统状态方程的求解（续离散系统状态方程的求解（续1）2.用用Z变换法求解状态方程变换法求解状态方程)()
25、()0()(zGUzFXzxzzX)()0()()(1zGUzxFzIzX等号右侧第一项表示由初始条件等号右侧第一项表示由初始条件x(0)(此初始此初始条件不一定为零，因为是求状态响应而不是条件不一定为零，因为是求状态响应而不是脉冲传递函数脉冲传递函数)引起的状态转移，第二项表示引起的状态转移，第二项表示由输入引起的状态转移。由输入引起的状态转移。)()()0()()(1111zGUFzIZxzFzIZkx状态转移矩阵和计算法状态转移矩阵和计算法 由连续系统有由连续系统有211().2!ttLste AAIAIA11()()()ATt Tt TTetLsIA4130A例例11.6A、B矩阵如下
26、，求状态转移矩阵和矩阵如下，求状态转移矩阵和 。并写出离散的状态方程。并写出离散的状态方程。)(T01TB解：解：413ssIAs状态转移矩阵计算举例（续状态转移矩阵计算举例（续1）)3)(1(431314)(111ssssLssLttttttttteeeeeeee33332123232321212321TTTTTTTTTteeeeeeeet33332123232321212321)(状态转移矩阵计算举例（续状态转移矩阵计算举例（续2）34612361312133TTTTeeee离散状态方程为离散状态方程为deeeeeeeeBdeTTTA102123232321212321)(033330)(
27、346123613121)()(2123232321212321)1()1(3321333321kueeeekxkxeeeeeeeekxkxTTTTTTTTTTTT11.4离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析当系统中采用冲激采样时，当系统中采用冲激采样时，z=eTs，则当，则当jsjTTjTeeez只要极点分布在单位圆内，系统就是稳定的。只要极点分布在单位圆内，系统就是稳定的。极点分布在单位圆上，系统是临界稳定的。极极点分布在单位圆上，系统是临界稳定的。极点分布在单位圆外，系统是不稳定的。点分布在单位圆外，系统是不稳定的。稳定性判别稳定性判别 1.直接求特征方程的根判别直接求特征方程的根判
28、别例例11.7已知系统如图所示，采样周期已知系统如图所示，采样周期T=1秒，被秒，被控对象传递函数控对象传递函数 ，试判定该闭环系统，试判定该闭环系统的稳定性。的稳定性。1()(2)pGss s解：由开环传递函数求开环脉冲传递函数解：由开环传递函数求开环脉冲传递函数4/124/12/11)2(11)(2sssZzzssseZzGTs求特征方程的根判别举例（续求特征方程的根判别举例（续1）22222()(1)(1)()4(1)()TTTT zezzzezze 11124141141)1(211222TTezzzTezzzzzTzzz系统的系统的闭环特征方程为闭环特征方程为22222()(1)(1
29、)()1()0104(1)()TTTT zezzzeG zzze 22224(1)()2()(1)(1)()0TTTzzeT zezzze1,20.430.36zj极点分布在极点分布在Z平面的单平面的单位圆内，该系统稳定位圆内，该系统稳定离散系统的劳斯离散系统的劳斯-霍尔维茨判据霍尔维茨判据 运用离散系统的劳斯运用离散系统的劳斯-霍尔维茨判据，先运用霍尔维茨判据，先运用z-w变换，将变换，将Z平面的闭环特征方程，变换到平面的闭环特征方程，变换到W平平面，然后和连续系统的劳斯判据的过程一样。面，然后和连续系统的劳斯判据的过程一样。Z平面到平面到W平面的变换平面的变换：1111zzwwwz或证明两
30、种平面的对应关系成立证明两种平面的对应关系成立。jvuwjyxz设设222222111211(1)(1)zxjyxyywjujvzxjyxyxy离散系统劳斯判据举例离散系统劳斯判据举例例例11.8用离散系统的劳斯判据判定系统的稳定性，用离散系统的劳斯判据判定系统的稳定性，并确定并确定k的取值范围。的取值范围。()(2)pkGss s解：解：由开环传递函数由开环传递函数Gp(s)和零阶保持器求脉和零阶保持器求脉冲传递函数冲传递函数G(z)2211 111()(2)2(1)414TsTekzTzzzG zZkss szzzze离散系统劳斯判据举例（续离散系统劳斯判据举例（续1）设设T=1秒，求特征
31、方程秒，求特征方程 222(1)(1 3)1()0104(1)()kezeG zzze 令令 2 eh进行进行z-w变换变换 21(4)(1)(1 3)044kzkhzhh22(22)(443)(1)0hkh wkhkh wkh 0314114)1()1()1()1(22hhkhhkwwwwwwz11离散系统劳斯判据举例（续离散系统劳斯判据举例（续2）令令 012122,(443),(1)22kahkh akhkh ah02120awawa20211020w aaw aw a列劳斯表列劳斯表 0122201(443)02(1)02ahkhakhkhkah2(1)16.77814(1)5.822
32、7310hkhhkhk即即 0k5.8227，系统是稳定的。，系统是稳定的。11.5离散控制系统稳态误差分析离散控制系统稳态误差分析()()1()R zE zDG zZ域的形式为：域的形式为：三种典型输入信号：三种典型输入信号：单位阶跃单位阶跃1)(0zzzR单位速度单位速度21)1()(zTzzR单位加速度单位加速度322)1(2)1()(zzzTzR稳态误差分析（续稳态误差分析（续1）终值定理法：基本方法终值定理法：基本方法11lim()lim(1)()sskzee kzE z系统型数法：系统型数法：离散域的积分环节为离散域的积分环节为：111 z注意，离散系统的注意，离散系统的“型型”是
33、看开环脉冲传递函是看开环脉冲传递函数分母中数分母中(1-z-1)的个数的个数稳态误差分析（续稳态误差分析（续2）)(lim1zGKzp)()1(lim111zGzTKzv)()1(lim12112zGzTKza误差误差系数系数法：法：实际系统有零阶保持器时，稳态误差与实际系统有零阶保持器时，稳态误差与采样采样周期无关周期无关，故不能通过降低采样周期来减少，故不能通过降低采样周期来减少稳态误差。稳态误差。本章小结本章小结 本章首先介绍离散域里面的传递函数概念本章首先介绍离散域里面的传递函数概念即脉冲传递函数。然后描述离散状态空间即脉冲传递函数。然后描述离散状态空间表达形式，讨论对连续系统状态方程的离表达形式，讨论对连续系统状态方程的离散化。最后研究线性定常的离散系统的稳散化。最后研究线性定常的离散系统的稳定性和误差的相关问题。定性和误差的相关问题。本章重点及要求本章重点及要求 重点掌握脉冲传递函数的求解。重点掌握脉冲传递函数的求解。掌握状态空间的转移矩阵的求解。掌握状态空间的转移矩阵的求解。重点掌握离散系统的稳定性判定。重点掌握离散系统的稳定性判定。掌握离散系统稳态误差的求解。掌握离散系统稳态误差的求解。练习与思考练习与思考 课后课后11.1，11.6，11.7，11.8，11.10
