1、第五节第五节二次函数与幂函数二次函数与幂函数1.二次函数的解析式的三种形式2.二次函数的图象及性质3.幂函数的定义4.五种常见的幂函数的图象教教材材研研读读5.幂函数的性质考点一 求二次函数的解析式考点二 二次函数的图象与性质考考点点突突破破考点三 幂函数的图象与性质1.二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);(2)顶点式:若二次函数图象的顶点坐标为(h,k),则其解析式为f(x)=a(x-h)2+k(a0);教材研读0),则其解析式为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).(3)零点式(两根式):若二次函数的图象与x轴的交点
2、坐标分别为(x1,0),(x2,2.二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质3.幂函数的定义幂函数的定义形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,是常数.4.五种常见的幂函数的图象五种常见的幂函数的图象5.幂函数的性质幂函数的性质性质特征函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR0,+)(-,0)(0,+)值域R0,+)R0,+)(-,0)(0,+)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在R上是增函数在(-,0上是减函数,在0,+)上是增函数在R上是增函数在0,+)上是增函数在(-,0)及(0,+)上均是减函数12x1.(教材习题改编)在函数y=;y=;y=2x;y=中
3、,是幂函数的有.(填序号)43x12x12x答案答案2.(教材习题改编)比较大小:1.(填“”或“解析解析因为幂函数y=在(0,+)上单调递减,且1.4.32x321.4321.73.二次函数f(x)=x2-2x+3在0,m上的最大值为3,最小值为1,则实数m的取值范围是.12答案答案2,4解析解析f(x)=x2-2x+3=(x-2)2+1,令f(x)=3,解得x1=0,x2=4,当x0,m时,1f(x)3,结合二次函数f(x)的图象知2m4,即实数m的取值范围是2,4.12124.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,3上是减函数,则实数a的取值范围是.答案答案(-,-2解析
4、解析由题意知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,且开口向上,1-a3,即a-2.5.(2017江苏扬州中学测试)若幂函数f(x)的图象过点,则f(x)的解析式为.12,4答案答案f(x)=x-2解析解析设f(x)=xa,把点代入得2a=,a=-2,故f(x)=x-2.12,4146.若函数f(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为.答案答案5解析解析由题意知解得21,22,aab4,6.ab 则f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5(x-4,6).所以函数f(x)的最小值为5.考点一考点一 求二次函数的解析式求二次函数的解析式典例
5、典例1已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.考点突破解析解析解法一:设f(x)=ax2+bx+c(a0),依题意有解得所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.解法二:设f(x)=a(x-m)2+n(a0),f(2)=f(-1),抛物线的对称轴为直线x=,m=.2421,1,48,4abcabcacba 4,4,7,abc 2(1)2 1212又函数f(x)的最大值是8,f(x)=a+8.f(2)=-1,a+8=-1,解得a=-4.f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.212x2122212x方法技巧方法技巧求二
6、次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件选择恰当的二次函数解析式的形式,选择规律如下:1-1已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且截x轴所得的线段长为2,并且对任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),求二次函数f(x)的解析式.解析解析f(2-x)=f(2+x)对任意xR恒成立,二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x=2.又二次函数f(x)的图象截x轴所得的线段长为2,f(x)=0的两根为1和3.设二次函数f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0),二次函数f(x)的图象过点(4,3),3a=3,a=1.二次函数f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x
7、-3),即f(x)=x2-4x+3.考点二考点二 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质角度一二次函数的最值角度一二次函数的最值典例典例2求二次函数f(x)=x2-4x-1在区间t,t+2上的最小值g(t),其中tR.解析解析函数f(x)=x2-4x-1=(x-2)2-5的图象的对称轴为直线x=2,开口向上.当2t,t+2,即0t2时,g(t)=f(2)=-5;当2 t,t+2时,第一种情况:当t2时,f(x)在t,t+2上为增函数,故g(t)=f(t)=t2-4t-1;第二种情况:当t+22,即t0时,f(x)在t,t+2上为减函数,故g(t)=f(t+2)=(t+2)2-4(t+2)-1
8、=t2-5.故g(t)=2241,2,5,02,5,0.tttttt 方法技巧方法技巧二次函数在闭区间上的最值问题的常见类型及处理策略二次函数在闭区间上的最值问题的常见类型及处理策略二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,无论哪种类型,解决问题的关键都是考虑函数图象的对称轴与区间的关系,需要按照“三点一轴”(“三点”即区间的端点和中点,“一轴”即对称轴)来分类讨论.同类练同类练已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间-1,1上有最小值,记作g(a).(1)求g(a)的函数表达式;(2)求g(a)的最大值.解析解析(1)由f(x)=2x2-2ax+3=2+3
9、-,知其图象的对称轴为直线x=,当-1,即a-2时,g(a)=f(-1)=2a+5;当-11,即-2a2时,g(a)=f=3-;当1,即a2时,g(a)=f(1)=5-2a.22ax22a2a2a2a2a22a2a综上可得g(a)=(2)由(1)知,当a-2时,g(a)1,当且仅当a=-2时,取“=”;当-2a2时,g(a)3,当且仅当a=0时,取“=”;当a2时,g(a)1,当且仅当a=2时,取“=”.当a=0时,g(a)取得最大值,最大值为3.225(2),3(22),252(2).aaaaa a 变式练变式练(2019江苏响水中学模拟)若f(x)=-x2+ax+-,x0,1的最大值为2,
10、则a=.124a答案答案-6或103解析解析当0,即a1,即a2时,f(x)max=f(1)=-=2,解得a=,符合题意,故a=-6或.2a124a2a2a24a4a122a34a 12103103深化练深化练(2017江苏苏州调研)已知函数f(x)=有两个不相等的零点x1,x2,则+的最大值为.221,(0,1,1,(1,)kxxxkxx11x21x答案答案94解析解析当k0时,f(x)只有1个零点,舍去;当k=0时,f(x)只有1个零点,舍去;当k0得k-1,则f(1)=k+10,则f(x)=kx2+2x-1,x(0,1只有1个零点x1=,另一个零点为x2=-1,则+=-k=+1-k,-1
11、k0.令=t,0t1,则k=t2-1,则+=-t2+t+2=-+,0t0)在区间2,3上有最小值1和最大值4,设f(x)=.(1)求a、b的值;(2)若不等式f(2x)-k2x0在区间-1,1上有解,求实数k的取值范围.()g xx解析解析(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,a0,g(x)在区间2,3上是增函数,故解得(2)1,(3)4,gg1,0.ab(2)由(1)知g(x)=x2-2x+1,f(x)=x+-2,f(2x)-k2x0可化为1+-2k.1x212x12x令t=,则kt2-2t+1.x-1,1,t.12x1,22记h(t)=t2-2t+1,t,h(t)max=h(2)=1
12、,实数k的取值范围是(-,1.1,22典例典例5(2018江苏宿迁高三调研)已知幂函数y=f(x)的图象经过点.(1)试求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)的奇偶性并写出该函数的单调区间.12,8考点三考点三 幂函数的图象与性质幂函数的图象与性质解析解析(1)设f(x)=xa(aR),由题意得f(2)=2a=,解得a=-3,故函数f(x)的解析式为f(x)=x-3.(2)函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),因为f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),故该幂函数为奇函数.其单调减区间为(-,0),(0,+).方法技巧方法技巧用待定系数法求幂函数的解析式,只需一个条件.准
13、确掌握幂函数的图象和性质是研究幂函数的奇偶性和单调性的关键.183-1已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上.(1)求函数f(x)、g(x)的解析式;(2)求当x为何值时,有f(x)=g(x);f(x)g(x);f(x)g(x).212,4解析解析(1)设f(x)=xa,g(x)=xb,a,bR,点(,2)在函数f(x)的图象上,点在函数g(x)的图象上,()a=2,(-2)b=,解得a=2,b=-2.f(x)=x2,g(x)=x-2.(2)在同一直角坐标系内作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象,如图所示.212,4214由图可知:当x=1时,f(x)=g(x);当x1时,f(x)g(x);当-1x1且x0时,f(x)g(x).
