1、经济应用数学第四章 边际与弹性分析1234案例分析案例分析知识讲解知识讲解例题分析例题分析课堂练习课堂练习第三节第三节 弹性分析弹性分析5应用模型应用模型 【水果价格问题水果价格问题】由于增加了市场供应由于增加了市场供应,近期的水果价格有所近期的水果价格有所下调，张阿姨去超市买水果下调，张阿姨去超市买水果,发现苹果的价格由原来的每千克发现苹果的价格由原来的每千克9 9元下降到了每千克元下降到了每千克7 7元元,而香蕉的价格由每千克而香蕉的价格由每千克8 8元下降到了每元下降到了每千克千克6.56.5元元,张阿姨算了一笔账：张阿姨算了一笔账：苹果的价格下降幅度为苹果的价格下降幅度为香蕉的价格下降
2、幅度为香蕉的价格下降幅度为97100%22.2%9 86.5100%18.8%8 于是，张阿姨认为苹果的价格下降的幅度更大，所以她决于是，张阿姨认为苹果的价格下降的幅度更大，所以她决定多买些苹果定多买些苹果.案例分析案例分析000,.xxxxxxx 分分析析 张张阿阿姨姨利利用用的的是是相相对对改改变变量量的的计计算算方方法法设设变变量量 由由增增加加到到我我们们将将称称为为绝绝对对改改变变量量而而则则称称为为变变量量的的相相对对改改变变量量 相相对对改改变变量量能能更更准准确确地地反反映映价价格格的的变变动动幅幅度度 我们可以利用价格的相对变化量来分析价格我们可以利用价格的相对变化量来分析价
3、格的变动幅度，但如果要分析价格变动对需求的的变动幅度，但如果要分析价格变动对需求的影响，则要利用数学中的另一个模型影响，则要利用数学中的另一个模型相对相对变化率变化率.pQ 【商商品品对对价价格格的的灵灵敏敏度度】某某商商店店根根据据市市场场需需求求对对某某种种商商品品的的价价格格进进行行了了调调整整，由由销销售售记记录录可可以以得得到到调调价价前前后后一一 周周售售价价 和和销销售售量量 的的 有有关关数数据据如如下下：调价前调价前调价后调价后单价单价p p需求量需求量QQ单价单价p p需求量需求量Q Q1001003503509595420420试试分分析析该该商商品品需需求求对对价价格格
4、反反应应的的灵灵敏敏度度.1%售售价价变变动动时时，需需求求变变化化了了？一、价格和需求分别改变了多少？二、价格和需求分别改变了百分之几？三、价格变化1%时，需求变化了？%案例分析案例分析15,70pQ （）%521005,1007010020350ppQQ （）34QpQp （）分析：可以用该商品需求量对价格的相对变化率来表分析：可以用该商品需求量对价格的相对变化率来表示和分析反应的灵敏度示和分析反应的灵敏度结果说明，需求量的变化幅度是单价变化幅度的4倍,当商品的单价变化1%时,商品的需求量会变化4%（负号表示单价上涨时需求下降,单价下跌时需求上升）.此时,可以认为商品的需求对价格变化的反应
5、是灵敏的.总结：在实际生活中总结：在实际生活中,我们会发现不同的商品对价格我们会发现不同的商品对价格变化的灵敏度是不同的变化的灵敏度是不同的,有的商品价格下跌时有的商品价格下跌时,需求量需求量上升上升,价格上涨时需求量会下降价格上涨时需求量会下降;而有的商品即使价格而有的商品即使价格上涨上涨,需求量也不会发生大的变化需求量也不会发生大的变化.这种需求对价格反这种需求对价格反应的灵敏度可以用需求对价格的相对变化率进行讨应的灵敏度可以用需求对价格的相对变化率进行讨论论.,(),yf x 一一般般地地 在在函函数数中中 相相对对改改变变量量表表达达了了变变量量的的变变化化幅幅度度,而而y y对对x
6、x的的相相对对变变化化率率则则表表达达了了y y对对x x变变化化反反应应的的灵灵敏敏度度,在在经经济济学学中中,这这种种相相对对变变化化率率被被称称作作弹弹性性.一、弹性与弹性函数一、弹性与弹性函数000000000000004.3(),(),(),(),()().x xx xyf xxxxdxxdyEydydxyf xxyxExxEydydxfxyxExyxEyxdydxfxf xyxExy 定定义义 设设函函数数在在 附附近近有有定定义义 在在 处处可可导导，函函数数在在 处处的的改改变变量量 微微分分 为为函函数数在在 的的微微分分为为则则称称为为函函数数在在 处处的的弹弹性性 记记作
7、作即即对对于于任任一一点点则则有有称称为为函函数数的的弹弹性性函函数数4.3 弹性分析弹性分析【注注】弹性的计算方法及含义弹性的计算方法及含义(1)()(2),1%,%.EyxfxExyyxEyEx 函函数数的的弹弹性性计计算算公公式式为为；函函数数的的弹弹性性反反映映了了函函数数 对对自自变变量量 变变化化的的灵灵敏敏度度它它表表示示当当自自变变量量变变化化时时 函函数数变变化化二、需求弹性(),()0,Qf PfP 设设需需求求函函数数为为：由由于于为为此此我我们们规规定定().PPQ PQ 需需求求弹弹性性需求弹性分析(1)1,(2)1,(3)1,ppp 则则称称该该商商品品的的需需求求
8、富富有有弹弹性性，则则称称该该商商品品的的需需求求缺缺乏乏弹弹性性，则则称称该该商商品品的的需需求求具具有有单单位位弹弹性性.需求弹性的经济意义：在当前的价格水平和需求量基础上,如果商品的价格上涨(下跌)1%,需求量会下降(上升)%解：解：3300 xye EyxyExy 311002,3xEyyeExxx 例例、求求函函数数的的弹弹性性函函数数及及函函数数在在点点时时的的弹弹性性.23 26xEyEx 333003100 xxxexe3393xEyEx 解：解：1yx 1EyxxyxExyx 2yx 例例、求求函函数数的的弹弹性性函函数数.幂函数的弹性函数为常数，也称为不变弹性函数。幂函数的
9、弹性函数为常数，也称为不变弹性函数。310()800,51015pQf Peppp 例例 某某商商品品的的需需求求函函数数为为：求求：（1 1）需需求求弹弹性性函函数数，（2 2）当当时时的的需需求求弹弹性性并并说说明明其其经经济济意意义义，（3 3）当当时时的的需需求求弹弹性性并并说说明明其其经经济济意意义义，（4 4）当当时时的的需需求求弹弹性性并并说说明明其其经经济济意意义义.10()ppQ pQ 解解，5=0.5=5P1%100.5%,=10P1%1%,1.5,=15P1%1.5%,(5),(10)1,(15)PPP 表表示示价价格格时时，如如果果 上上涨涨，需需求求会会下下降降此此时
10、时该该商商品品的的需需求求缺缺乏乏弹弹性性.表表示示价价格格时时，如如果果 上上涨涨，需需求求会会下下降降此此时时该该商商品品的的需需求求具具有有单单位位弹弹性性.表表示示价价格格时时，如如果果 上上涨涨，需需求求会会下下降降此此时时该该商商品品的的需需求求富富有有弹弹性性.=()()(),()()()(1-)()(1)()1,(2)()1,(3)()1,Q f pR ppf pRpf ppfpf pppp 设设需需求求函函数数为为，则则总总收收益益函函数数为为价价格格增增加加，收收益益减减少少；价价格格增增加加，收收益益增增加加；收收益益最最大大.需求弹性与总收入模型需求弹性与总收入模型28
11、3()12,2pQf ppp 【弹弹性性与与收收益益问问题题】某某商商品品的的需需求求函函数数为为：求求：（1 1）需需求求弹弹性性函函数数，（）当当时时,价价格格上上涨涨1 1%,收收益益是是增增加加还还是是减减少少？变变化化几几%?（）为为多多少少时时，收收益益最最大大？最最大大的的收收益益为为多多少少？解：解：-=(1)()()24ppPQpQp (2)80.51,(8)(1-0.5)(8)4Rf 8(8)0.5RppRR 2()122pR pp (3)()012.pp 令，得综上，价格上涨综上，价格上涨1%1%，收益会增加，收益会增加0.5%0.5%当价格当价格P=12P=12时，收益最大，最大收益为时，收益最大，最大收益为1212单位单位.课堂练习课堂练习10003,1001000,CQQpp 一一、某某商商品品的的总总成成本本函函数数为为需需求求函函数数为为其其中中 为为该该商商品品的的价价格格，求求：边边际际成成本本和和边边际际收收入入,何何时时利利润润最最大大？1()1600,45pQ xp 二二、某某商商品品的的需需求求对对价价格格的的函函数数为为：求求时时的的需需求求价价格格弹弹性性，并并说说明明其其经经济济意意义义。
