1、1.方程的导出方程的导出 本章研究本章研究调和方程调和方程（又称（又称拉普拉斯方程拉普拉斯方程）以及以及泊松方程泊松方程 的基本定解问题及解的性质。的基本定解问题及解的性质。0222222 zuyuxuu(1.1),(222222zyxfzuyuxuu (1.2)(1)引力位势引力位势),(zyxP),(0000zyxPF rzzryyrxxrMzyxF0002,),(202020)()()(zzyyxxr 其中其中经计算可得：经计算可得：gradF 222)()()(),(),(zyxdddzyx时时当当 ),(0zyx直接计算可得：直接计算可得：时时当当 ),(4zyx还可进一步验证：还可
2、进一步验证：rMzyx ),(令令(2)静电场的电位势静电场的电位势 GGdxdydzEdxdydz4应用高斯公式，上式可改写为：应用高斯公式，上式可改写为：GdxdydzdSnE4 4E由区域由区域G的任意性得：的任意性得：静电场方程静电场方程由于静电场是无旋场，因而存在电势由于静电场是无旋场，因而存在电势u，uE 从而静电场的电势从而静电场的电势u应当满足应当满足泊松方程泊松方程 4u如果静电场的某一区域里没有电荷，即如果静电场的某一区域里没有电荷，即=0，则，则静电场方程在该区域上简化为静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程拉普拉斯方程0 u(3)稳定温度分布稳定温度分布 0222222
3、 zuyuxuu2.定解条件和定解问题定解条件和定解问题(1)第一边值问题（第一边值问题（Dirichlet问题）问题）上给定的函数）上给定的函数）是在闭曲面是在闭曲面（其中（其中 ggu|(2)第二边值问题（第二边值问题（Neumann问题）问题）的单位外法向量）的单位外法向量）是是（其中（其中 ngnu(3)Dirichlet外问题外问题 guzyxu外部外部),(0(4)Neumann外问题外问题 的单位内法向量）的单位内法向量）是是（其中（其中外部外部ngnuzyxu),(0注注：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在无穷远的状况加以
4、限制。在三维情形，通常要求：无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：)(0),(lim222zyxrzyxur 其它边界条件其它边界条件(5)第三类边界条件第三类边界条件 的单位外法向量）的单位外法向量）是是（其中（其中 ngunu(6)等值面边界条件等值面边界条件 （总流量边界条件）（总流量边界条件）AdSnuCu已知常数已知常数待定常数待定常数3.变分原理变分原理膜的平衡问题膜的平衡问题：外力作功外力作功总位能总位能应变能应变能 dxdyvvTTyx1122应变能应变能 dxdyvvTyx222 )(2111o由于由于 dxdyvvTyx)(222应变能应变能即：即：dssvspdxd
5、yyxvyxF)()(),(),(外力作功外力作功 dssvspdxdyyxvyxFdxdyvvTvJyx)()(),(),()(2)(22 vCvvM),(1)(min)(vJuJMv (1)问题问题2的解答：的解答：0),(10 vCvvMv dssvspvdxdyFdxdyvuvvuvTjyyxx)()()(2)(2(2)(dssvsuspdxdyvuFdxdyvuvuTvuJjyx)()()()()()(2)()(220)()()()0(dssvspvdxdyFdxdyvuvuTjyyxx dxdyuuvvuvudxdyvuvuyyxxyyxxyyxx)()()()(dssvnuTds
6、svnuTdssvspdxdyyxvyxFvdxdyuTj)()()()(),(),()0(0)(dssvpnuTvdxdyFuT(3)udxdyvdsnvuvuyx),(udxdyvdsnuv 0 vdxdyFuT0 pnuT(5)FuT (4)即即4.分离变量法求解分离变量法求解Laplace方程方程(1)矩形区域上矩形区域上Laplace方程的第一边值问题方程的第一边值问题 )3().(),(),()0,()2(,0),(),0()1(,0,0,0 xbxuxxuyauyubyaxuuyyxx代入方程代入方程(1)(1)得：得：0)()()()(yYxXyYxX分离变量：分离变量：)()
7、()()(yYyYxXxX0)()(yYyY0 xXxX )()(由此得由此得 X，Y 满足得常微分方程满足得常微分方程：由边界条件由边界条件(2)知：知：0)()0(aXX 0)()0(0)()(aXXxXxX得固有值问题：得固有值问题：解之得：解之得：),2,1(222 kakk),2,1(sin)()(kxakDxXxXkk:222所满足的方程为所满足的方程为，对于固有值对于固有值Yakk 0)()(222 yYakyY通解为通解为其中其中Ak，Bk为任意常数。为任意常数。因此因此 是满足方程是满足方程(1)和边界条件和边界条件(2)的解的解。kkkkkkDBBDAA ,这里，这里，xa
8、keBeAyYxXUyakkyakkkkk sin)()()(),2,1()()(keBeAyYyYyakkyakkk叠加所有的叠加所有的Uk，即即)(sin)(1xxakeBeAukbakkbakkby 代入边界条件代入边界条件(3)，得得：11sin)(kyakkyakkkkxakeBeAUu)(sin)(10 xxakBAukkky 由傅里叶正弦展式的系数公式得由傅里叶正弦展式的系数公式得 akakabkkkkkkkdakdakeEaEaEEBaEaEA00222sin)(,sin)(,22112211其中其中解得：解得：abakkbakkakkdakaeBeAdakaBA00sin)(
9、2sin)(2(2)圆形区域上圆形区域上Laplace方程的第一边值问题方程的第一边值问题 ).,(,0222222yxfulyxuulyxyyxx )2()()sin,cos()1(,20,0,0112fllfulrururulrrrr ),0(u(3)2,(),(ruru(4)0112 RrRrR即：即：RRrRr20,02 RRrRr由此得由此得 R，满足得常微分方程满足得常微分方程：由周期性条件由周期性条件(4)(4)得得:)2()(固有值问题的讨论固有值问题的讨论：得固有值问题：得固有值问题：)2()(0(5)0(022RRkRrRr(6)因此因此 是满足方程是满足方程(1)和自然边
10、界条件和自然边界条件(3)以及周期性条件以及周期性条件(4)的解的解。kkkkkkCBBCAA ,这里，这里，),2,1,0()sincos()()(krkBkArRUkkkkkk由叠加原理，满足由叠加原理，满足(1)(3)(4)的解可表为：的解可表为：100)sincos(2)sincos(),(kkkkkkkkrkbkaarkBkAru),2,1(,200 kBbAaAakkkk这里，这里，代入边界条件代入边界条件(2)得：得：)()sincos(2),(10 fkbkalalukkkk故故,2,1,sin)(1,2,1,0,cos)(12020 kdkflbkdkflakkkk代入级数得
11、：代入级数得：201201)(cos21)(1)sinsincos(cos21)(1),(dklrfdkkkklrfrukkkkk)1(cos21121cos21221 kkk 202222)cos(2)(21),(dlrrlrlfru证明证明 22221111cos21121cos212cos2121sincos1sincossincos1sincos121)1(12112121212121221cos21 iiiieeeeeeeekiiiikkikkikikikkkk(3)圆形区域上热传导方程的混合问题圆形区域上热传导方程的混合问题 ),(00,),(02222222yxuutlyxuua
12、utlyxyyxxt )3().,()2(,0)1(0,20,0),11(022ruutlrururuautlrrrrtTUrUrUaTUrrr)11(22 即：即：UUrUrUTaTrrr2211于是有：于是有：0112 UUrUrUrrr02 TaT由由(2)知：知：0),(lU另有自然边界条件：另有自然边界条件：),0(U )6(),0()5(0),()4(0112UlUUUrUrUrrr得偏微分方程得偏微分方程固有值问题：固有值问题：01122 RkRrRrR即：即：RRrkRrRr222于是：于是：0)(222 RrkRrRr0 0)(,)0(0)(222lRRRrkRrRr nbnannnnsincos)2()(02 ),2,1()(),2,1(2jrRRjkknnjnj时，时，2,),2,1(njnjnjkjkk 时时 tkaTTTkaTnjnjnj2222exp0 nrRbnrRaUnjnjnjnjnjsin)(cos)(01sin)(cos)(22njnjnjnjnjtkanrRbnrRaeUnj ),(sin)(cos)(010 rnrRbnrRaUnjnjnjnjnjt
