1、地下水溶质运移理论及模型地下水溶质运移理论及模型第四章 水动力弥散方程的解析解法中国地质大学环境学院中国地质大学环境学院20142014春春2一、基本解一、基本解03一、基本解一、基本解浓度浓度C C对称于原点分布对称于原点分布取半径为取半径为R和和R+dR的两个球面所构成的单元体为均的两个球面所构成的单元体为均衡段，根据质量均衡得衡段，根据质量均衡得4一、基本解一、基本解略去高阶变量略去高阶变量5一、基本解一、基本解略去高阶变量略去高阶变量6一、基本解一、基本解将将m、n合并成新变量合并成新变量m/n，得和和对该问题，有两个独立的对该问题，有两个独立的参数，依依定理有7一、基本解一、基本解（
2、4-11）8一、基本解一、基本解将定解条件做适当变换将定解条件做适当变换通过通过BoltzmannBoltzmann变换，将偏微分变成常微分变换，将偏微分变成常微分对于式（对于式（4-11），令），令9一、基本解一、基本解代入（代入（4-15）（4-15）讨论并计算得讨论并计算得代入得最终结果代入得最终结果10一、基本解一、基本解分析上式得分析上式得（4-20）空间瞬时点源的解空间瞬时点源的解o 等浓度面为圆心位于原点处的球面；等浓度面为圆心位于原点处的球面；o 浓度空间分布情况如图所示；浓度空间分布情况如图所示；11一、基本解一、基本解o 任何时刻处浓度最大值在原点任何时刻处浓度最大值在原点
3、o 随时间增加，原点处浓度减少随时间增加，原点处浓度减少由于由于或或 ，浓度为原点的，浓度为原点的1%1%o 随时间推移，弥散随时间推移，弥散晕范围逐步扩大晕范围逐步扩大12一、基本解一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源空间瞬时无限线源与平面瞬时点源一口承压完整井中瞬一口承压完整井中瞬时注入示踪剂，求浓时注入示踪剂，求浓度时空分布规律度时空分布规律三维空间一条无三维空间一条无限长瞬时线源限长瞬时线源 映射13一、基本解一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源空间瞬时无限线源与平面瞬时点源 取三维空间上取三维空间上z z轴与瞬时线源重合，假定单位长度线轴与瞬时线源重合，假定单位长度线源瞬
4、时注入示踪剂的质量为源瞬时注入示踪剂的质量为mml l，在线源上任意位置，在线源上任意位置 处处取一分为线源段取一分为线源段 ，将其视为点源的作用，其瞬时注入，将其视为点源的作用，其瞬时注入示踪剂质量为示踪剂质量为 ，在瞬时点源空间上任意点（，在瞬时点源空间上任意点（x,y,z）产生的微分浓度产生的微分浓度zdzldm z根据线性叠加的思想，将线源作用视为点源的连续分布根据线性叠加的思想，将线源作用视为点源的连续分布14一、基本解一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源空间瞬时无限线源与平面瞬时点源空间瞬时无限线源的基本解空间瞬时无限线源的基本解令令 解得解得平面瞬时点源基本解平面瞬时点源基
5、本解C C和和z z无关无关，Z Z方向不产生弥散方向不产生弥散15一、基本解一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源空间瞬时无限线源与平面瞬时点源MmMlmMmo 厚度为厚度为M的承压完整井中瞬时注入示踪剂：的承压完整井中瞬时注入示踪剂：线源长度为线源长度为M，若瞬时注入示踪剂质量为，若瞬时注入示踪剂质量为 ,则则对应解为对应解为16一、基本解一、基本解-空间瞬时无限面源与平面瞬时无限线源与一维瞬时点源空间瞬时无限面源与平面瞬时无限线源与一维瞬时点源Mmo 空间直角坐标系中空间直角坐标系中,取取yozyoz坐标面与面源重合，并设坐标面与面源重合，并设单位面源瞬时注入质量为单位面源瞬时注入质
6、量为m mf f 的示踪剂的示踪剂无限面源可以视为无数连无限面源可以视为无数连续排列的无限线源组成续排列的无限线源组成17一、基本解一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源空间瞬时无限线源与平面瞬时点源 从无限面源中分割出一根平行于从无限面源中分割出一根平行于z轴，在轴，在 处，处，宽度为宽度为 的窄长型微分面源，对空间上任意（的窄长型微分面源，对空间上任意（x,y,z）处的作用，与空间瞬时无限线源想当，后者单位长度处的作用，与空间瞬时无限线源想当，后者单位长度注入量与前者的注入量与前者的 相当，有相当，有ydyfdym浓度与浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题无关，实质为一维弥散问题积分得
7、积分得18一、基本解一、基本解-有限空间（平面）问题有限空间（平面）问题 对于边界简单的情况，可用反映法转化为无限空对于边界简单的情况，可用反映法转化为无限空间问题在叠加求解间问题在叠加求解 ，相当于水流问题中的隔水边界。假设点，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x(x0 0,y,y0 0)对半无限含水层中瞬时注入质量为对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂的示踪剂y0nC19二、一维水动力弥散问题二、一维水动力弥散问题 设有一无限长均质砂柱，原有溶液浓设有一无限长均质砂柱，原有溶液浓C0=0，在，在t=0，x=0处瞬时注入质量为处瞬时注入质量为m的示踪剂，取砂柱中心轴为的示踪剂，取砂柱中
8、心轴为x轴，流速方向为正，求浓度轴，流速方向为正，求浓度C(x,t)分布分布对于式对于式采取动坐标，令采取动坐标，令 ，让坐标原点跟着流速一起前进，让坐标原点跟着流速一起前进20二、一维水动力弥散问题二、一维水动力弥散问题此时有此时有简化成简化成比静止流场多了一个对流项比静止流场多了一个对流项则则21二、一维水动力弥散问题二、一维水动力弥散问题将将X X、T T反变换反变换22二、一维水动力弥散问题二、一维水动力弥散问题与正态分布密度函数对比与正态分布密度函数对比o 浓度曲线出现峰值的浓度曲线出现峰值的x坐标坐标o 曲线在点曲线在点 处对称；处对称；o 当当 时，时，；o 随着随着D Dl l
9、或者或者t t的增大，浓度的增大，浓度越来越分散；越来越分散；o 曲线在曲线在 处为拐点，处为拐点，拐点浓度拐点浓度o 一维弥散一维弥散C Cmaxmax衰减比二、三衰减比二、三维要慢维要慢 utx0C xmax607.0CC23无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布 一无限长均质砂柱，速度一无限长均质砂柱，速度u u做稳定流动，且初试浓做稳定流动，且初试浓度呈阶梯状分布，数学模型为：度呈阶梯状分布，数学模型为：24无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布求解思路：求解思路：初始浓度的分布视为沿初
10、始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬轴连续分布的瞬时变强度点源，利用点源基本解积分求取时变强度点源，利用点源基本解积分求取取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x x表示，有表示，有C C表示示踪剂浓度，表示示踪剂浓度，n n为有效为有效孔隙率；孔隙率；为砂柱横截面积为砂柱横截面积25无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布 考虑与考虑与u u等速的动坐标系，在位于等速的动坐标系，在位于x x处强度为处强度为 的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓度为：度为：dmdxnCf讨论一阶的情
11、况，进行积分分解并换元求解得讨论一阶的情况，进行积分分解并换元求解得相对浓度相对浓度26无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布由于由于erfcerfc（0 0）=1=1，故，故x=utx=ut处，相对浓度处，相对浓度=1/2=1/2，表示，表示=1/2=1/2的点与的点与u u同速度推进。同速度推进。27半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界坐标轴与数学模型如下：坐标轴与数学模型如下：作关于作关于t t的的LaplaceLaplace变换变换28半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界半无限长多孔介质柱体，一
12、端为定浓度边界式（式（4-34-3）通解为）通解为利用边界条件确定系数利用边界条件确定系数A A、B B。将（。将（4-454-45）代入）代入(4-46(4-46)常微分方程两相异实根常微分方程两相异实根r10,r20,r2DDT T,a,a是是x x的长半轴的长半轴当当t t与与C C为定值时，上式为常数，记为为定值时，上式为常数，记为-A-A，并设，并设X=x-utX=x-ut，上式变为，上式变为为中心坐标为中心坐标（utut，0 0）,的椭圆的椭圆37瞬时注入示踪剂瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源平面瞬时点源o 某浓度等值线所围面积随某浓度等值线所围面积随t t的变化，先是增大然后变的变化
13、，先是增大然后变小。低浓度所围面积随时间增大的持续时间长，而高小。低浓度所围面积随时间增大的持续时间长，而高浓度持续时间短浓度持续时间短38连续注入示踪剂连续注入示踪剂-平面连续点源平面连续点源o 连续点源的作为视为无数瞬时点源之和连续点源的作为视为无数瞬时点源之和 设单位时间注入示踪剂的质量为设单位时间注入示踪剂的质量为m ml l(=C(=C0 0Q)Q)，dtdt注注入示踪剂质量为入示踪剂质量为m ml ldtdt有有经两重换元并化简后，得经两重换元并化简后，得39连续注入示踪剂连续注入示踪剂-平面连续点源平面连续点源当当t t较长，简化为较长，简化为平面稳定连续注入点源的解平面稳定连续
14、注入点源的解40注入拟稳定条件下示踪剂的径向弥散注入拟稳定条件下示踪剂的径向弥散 设在水平、等厚（设在水平、等厚（B B）、无限展布的均质各项同）、无限展布的均质各项同性承压含水层中有一口完整井，井径性承压含水层中有一口完整井，井径r rw w。通过井向其。通过井向其连续注入定流量连续注入定流量Q Q且示踪剂浓度且示踪剂浓度C0C0的水。忽略天然流的水。忽略天然流速，井的附近形成拟稳定二维径向流。速，井的附近形成拟稳定二维径向流。以井为中心，任意半径为以井为中心，任意半径为r r的圆周通量的圆周通量平均流速平均流速41三、一维稳定流动二维水动力弥散问题三、一维稳定流动二维水动力弥散问题o 转换
15、成极坐标，令转换成极坐标，令代入式代入式有有对于均质各向同性介质，无对于均质各向同性介质，无天然流速，弥散是对称的天然流速，弥散是对称的即即42三、一维稳定流动二维水动力弥散问题三、一维稳定流动二维水动力弥散问题其中其中有有若忽略分子扩散模型，则若忽略分子扩散模型，则其近似解其近似解用于确定实测的纵向弥散度用于确定实测的纵向弥散度Lo 空间瞬时点源空间瞬时点源 渗透系数渗透系数K K为均质各向同性，为均质各向同性，若存在一维稳定流动，流速为若存在一维稳定流动，流速为 。某点某点o o处瞬时注入示踪剂处瞬时注入示踪剂m m。取取o o点为坐标原点，点为坐标原点，x x轴平行轴平行于于 ，且方向相
16、同。，且方向相同。43三、一维稳定流动三维水动力弥散问题三、一维稳定流动三维水动力弥散问题uu对弥散系数对弥散系数D D来说是各向异性的，它属于二度各向来说是各向异性的，它属于二度各向异性，即异性，即 ，弥散方程写成，弥散方程写成44三、一维稳定流动三维水动力弥散问题三、一维稳定流动三维水动力弥散问题通过坐标变换变成各向同性，令通过坐标变换变成各向同性，令45三、一维稳定流动三维水动力弥散问题三、一维稳定流动三维水动力弥散问题则则有有得得采用动坐标，令采用动坐标，令 ，记，记46三、一维稳定流动三维水动力弥散问题三、一维稳定流动三维水动力弥散问题方程改成方程改成套用基本解，得套用基本解，得进行
17、坐标反变换，得进行坐标反变换，得47三、一维稳定流动三维水动力弥散问题三、一维稳定流动三维水动力弥散问题o 讨论：讨论：（1 1）随时弥散维数的增）随时弥散维数的增加，浓度加，浓度C C衰减速度也加快。衰减速度也加快。（2 2）对式进行变换，得）对式进行变换，得椭球方程。等浓度面为一个旋转椭椭球方程。等浓度面为一个旋转椭球面，呈橄榄球桩，长轴沿球面，呈橄榄球桩，长轴沿x x方向方向48三、一维稳定流动三维水动力弥散问题三、一维稳定流动三维水动力弥散问题o 空间稳定连续点源空间稳定连续点源 假定：示踪剂注入并不改变渗流场的原始特征，即假定：示踪剂注入并不改变渗流场的原始特征，即示踪剂是理想的，且
18、保持原来的一维稳定流动。示踪剂是理想的，且保持原来的一维稳定流动。设单位时间注入示踪剂的质量为设单位时间注入示踪剂的质量为m ml l 连续点源视为无数瞬时点源组成，注入时间记为连续点源视为无数瞬时点源组成，注入时间记为tt。tt时刻于坐标原点处注入示踪剂质量时刻于坐标原点处注入示踪剂质量 空间瞬时点源的解：空间瞬时点源的解：49三、一维稳定流动三维水动力弥散问题三、一维稳定流动三维水动力弥散问题o 空间稳定连续点源空间稳定连续点源 解得解得（具体求解过程见（具体求解过程见P52-54P52-54）式中式中50三、一维稳定流动三维水动力弥散问题三、一维稳定流动三维水动力弥散问题当当1)(,0)(,terferfc故故式子变成式子变成
