1、第三章第三章 信号的统计检测理论信号的统计检测理论复习总结复习总结第三章第三章 信号的统计检测理论信号的统计检测理论经典的信号统计检测理论经典的信号统计检测理论l统计信号检测理论的基本概念统计信号检测理论的基本概念l二元信号检测的最佳检测准则二元信号检测的最佳检测准则l信号状态的判决的方法和检测性能的分析信号状态的判决的方法和检测性能的分析lM M元信号的最佳检测元信号的最佳检测l参量信号的复合假设检验参量信号的复合假设检验 序列检测序列检测贝叶斯准则基本思路贝叶斯准则基本思路:根据给定的代价计算平均代价根据给定的代价计算平均代价按照平均代价最小划分观察空间按照平均代价最小划分观察空间,得到判
2、决准则得到判决准则对判决表达式进行化简对判决表达式进行化简贝叶斯准则贝叶斯准则11011001000110ccHPccHPHxpHxpHH贝叶斯判决准则贝叶斯判决准则 01HxpHxpxldef定义为定义为似然比函数似然比函数1101100100ccHPccHPdef定义为定义为判决门限判决门限 10HHxl是一维随机变量，称为是一维随机变量，称为检验统计量检验统计量 xl不依赖于假设的先验概率，也与代价因子无关，不依赖于假设的先验概率，也与代价因子无关，适用于不同先验概率适用于不同先验概率和不同代价因子的最佳信号检测。和不同代价因子的最佳信号检测。贝叶斯检测性能分析贝叶斯检测性能分析计算基本
3、原则：根据化简后的最简判决表示式进行计算。计算基本原则：根据化简后的最简判决表示式进行计算。计算步骤：计算步骤：步骤步骤1：推导贝叶斯检测准则的最简表示形式推导贝叶斯检测准则的最简表示形式 10HHxl步骤步骤2：根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数1Hlp0Hlp步骤步骤3：计算判决概率计算判决概率10HHP01HHPdlHlpHHP110dlHlpHHP001最小平均错误概率准则最小平均错误概率准则0100111101111010000RCc P Hc P HP HccpHP HccpHdxxx01100cc11001
4、cc001100RCP HP HpHP HpHdxxx把使被积函数取负值的观察值把使被积函数取负值的观察值x值划分给值划分给R0区域，而把其余的观察值区域，而把其余的观察值x值值划分给划分给R1，即可保证平均代价最小。，即可保证平均代价最小。1100P HpHP HpHxx判决判决H0假设成立假设成立1100P HpHP HpHxx判决判决H1假设成立假设成立最小平均错误概率准则最小平均错误概率准则10ln()lnHHx101010()HdefdefHpHP HP HpHxxx最小平均错误概率判决准则最小平均错误概率判决准则10()HHlx化简化简最小平均错误概率准则最小平均错误概率准则101
5、010()HdefdefHpHP HP HpHxxx最小平均错误概率判决准则最小平均错误概率判决准则01100cc11001cc若若，且两个假设的先验概率等概，且两个假设的先验概率等概最小平均错误概率准则转化为最小平均错误概率准则转化为1010HHpHpHxx最大似然检测准则最大似然检测准则最大后验概率准则最大后验概率准则(Maximum a posteriori prob.criterion)11010010cccc 应用范围应用范围10101000101110HHpHP HccP HccpHxx贝叶斯判决准则贝叶斯判决准则101010HHpHP HP HpHxxn 形式上于最小平均错误概率
6、准则相同形式上于最小平均错误概率准则相同极小化极大准则极小化极大准则(Minimax criterion)n 应用范围应用范围假设的先验概率未知，判决代价因子给定假设的先验概率未知，判决代价因子给定n 目的目的尽可能避免产生过分大的代价，使极大可能尽可能避免产生过分大的代价，使极大可能代价最小化代价最小化极小化极大准则极小化极大准则利用极小化极大准则进行检测的基本步骤：利用极小化极大准则进行检测的基本步骤：步骤步骤1：计算两个似然函数，构建似然比计算两个似然函数，构建似然比步骤步骤2：假设判决门限为假设判决门限为 ，构建贝叶斯检测基本表达式，构建贝叶斯检测基本表达式步骤步骤3：化简成最简形式化
7、简成最简形式 10HHl x 步骤步骤4：利用极小化极大准则，确定最终判决门限利用极小化极大准则，确定最终判决门限 奈曼奈曼-皮尔逊准则皮尔逊准则(Neyman-Pearson criterion)n 应用范围应用范围假设的先验概率未知，判决代价未知假设的先验概率未知，判决代价未知(雷达信号检测雷达信号检测)n 奈曼奈曼-皮尔逊检测皮尔逊检测01HHP尽可能小，尽可能小，11HHP尽可能大。尽可能大。n 目标目标n 实际情况实际情况01HHP减小时，减小时，11HHP也相应减小；也相应减小；01HHP增加增加 ，也随之增加。也随之增加。11HHP在在 约束条件下约束条件下,使正确判决概率使正确
8、判决概率 最大的准则。最大的准则。01HHP11HHPStep3 根据统计量计算根据统计量计算 和和奈曼奈曼-皮尔逊准则皮尔逊准则(Neyman-Pearson criterion)0Hlp 求解步骤求解步骤Step1 计算似然函数、似然比计算似然函数、似然比,并写出判决表达式并写出判决表达式Step2 化简化简1HlpStep4 在在 约束下，计算判决门限约束下，计算判决门限1001RdlHlpHHP1001HHHxpHxp贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使使平均代价最小平均代价最小的检测准则。的
9、检测准则。11011001000110ccHPccHPHxpHxpHH100110HPHPHxpHxpHH最小平均最小平均错误概率错误概率判决准则判决准则xHPxHPHH0110最大后验最大后验概率检测概率检测准则准则01100cc11001cc11010010cccc等概等概0110HxpHxpHH最大似然最大似然判决准则判决准则贝叶斯及派生检测准则贝叶斯及派生检测准则(1)符合最小平均错误概率准则的符合最小平均错误概率准则的一定符合最大后验概率检测准一定符合最大后验概率检测准则，反之不成立。则，反之不成立。按照似然比检测形式构建基本表达式，按照似然比检测形式构建基本表达式，并在并在 的的约
10、束下计算最终判决门限。约束下计算最终判决门限。贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使使平均代价最小平均代价最小的检测准则。的检测准则。11011001000110ccHPccHPHxpHxpHH贝叶斯及派生检测准则贝叶斯及派生检测准则(2)信源先信源先验验概率未概率未知知信源先验概率及信源先验概率及代价因子均未知代价因子均未知极小化极大准则极小化极大准则奈曼皮尔逊准则奈曼皮尔逊准则按照似然比检测形式构建基本表达式，按照似然比检测形式构建基本表达式，并在并在 的约束下计算的约束下计算最终判决门限。最终判决
11、门限。*11()()MgFgP PP P00011cc10110cc1100()()dRP H Hp l Hl贝叶斯及派生检测准则贝叶斯及派生检测准则(3)分析某种检测方法的性能时，需根据化简后的最简判决表示式进行。分析某种检测方法的性能时，需根据化简后的最简判决表示式进行。计算步骤：计算步骤：步骤步骤1：推导某种检测方法下获得的最简判决表达式推导某种检测方法下获得的最简判决表达式 10HHxl步骤步骤2：根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数1Hlp0Hlp步骤步骤3：计算判决概率计算判决概率10HHP01HHPM元信号的
12、统计检测元信号的统计检测(Detection of M-ary Signal)基本要求：基本要求：n 掌握贝叶斯准则掌握贝叶斯准则n 掌握最小平均错误概率准则和最大似然准则掌握最小平均错误概率准则和最大似然准则M元信号检测元信号检测 10,Mijjjj iIP HpHxx最小平均错误概率准则最小平均错误概率准则最小的划分至最小的划分至 ,0,1,1,ijIIjMjixxn 为保证平均错误概率最小，应把所有使为保证平均错误概率最小，应把所有使iR，即当满足，即当满足 iIx判决区域判决区域时，判决时，判决Hi成立概率成立概率n 正确判决代价为正确判决代价为0，错误判决代价为，错误判决代价为1，则
13、，则 10,Miijjjjjjj iIccP HpHxx1100()(|)MMejijijPP HP HHn 最小平均错误概率最小平均错误概率M元信号检测元信号检测 iMjjMijjjiHxpHxpMHxpMxI101,011最大似然检测最大似然检测n 正确判决代价为正确判决代价为0，错误判决代价为，错误判决代价为1，且信源的假设先验等概时，且信源的假设先验等概时n 判决规则为在判决规则为在M个似然函数个似然函数 中，选择使中，选择使iHxpiHxp最大的假设成立。最大的假设成立。1,0MijjjjjjijiHxpHPccxI参量信号的统计检测参量信号的统计检测(Detection of Si
14、gnal with Unknown Parameter)基本要求：基本要求：理解参量信号检测的基本概念理解参量信号检测的基本概念掌握两种检测方法：掌握两种检测方法：广义似然比检验和贝叶斯方法广义似然比检验和贝叶斯方法先利用最大似然方法对未知参量进行估计，然后利用得到先利用最大似然方法对未知参量进行估计，然后利用得到的估计量按照确定信号的检测方法进行。的估计量按照确定信号的检测方法进行。参量信号的统计检测参量信号的统计检测(Detection of Signal with Unknown Parameter)argmax(|;)iiimliiPpHx 广义似然比检验广义似然比检验最大似然估计最大
15、似然估计;iipHx 使似然函数使似然函数 达最大的达最大的 作为该参量的估计量，作为该参量的估计量，i iml 记为记为广义似然比广义似然比101120(|;)()(|;)HmlHmlpHpHxxx 参量信号的统计检测参量信号的统计检测(Detection of Signal with Unknown Parameter)贝叶斯检测方法贝叶斯检测方法n 概率密度函数已知的情况概率密度函数已知的情况n 猜测概率密度函数的情况猜测概率密度函数的情况n 未知参量的奈曼未知参量的奈曼-皮尔逊检测皮尔逊检测参量信号的统计检测参量信号的统计检测概率密度函数已知的情况概率密度函数已知的情况11011001
16、000110ccHPccHPHxpHxpHH贝叶斯检测准则贝叶斯检测准则参量信号的检测中，信源在假设参量信号的检测中，信源在假设 Hj 下的条件概率密度函数为下的条件概率密度函数为;jjpHx|函数函数 得到似然函数得到似然函数?如何由条件似然函数如何由条件似然函数;jjpHx|和未知参量的概率密度和未知参量的概率密度jp jpHx|;jjjjjjpHpHpdxx 110011111010001011100100,HHpHpdpHP HccP HccpHpHpdxxxx 参量检测中，贝叶斯检测准则为：参量检测中，贝叶斯检测准则为：信号的序列检测信号的序列检测基本原理基本原理观测次数不固定，边观
17、测边判决观测次数不固定，边观测边判决优点：在给定性能指标的要求下，可使平均观测次数最少，优点：在给定性能指标的要求下，可使平均观测次数最少，即平均检测时间最短。即平均检测时间最短。即如果观测到第即如果观测到第k次还不能做出令人满意的判决，次还不能做出令人满意的判决，则继续进行第则继续进行第k+1观测观测序列假设检测理论由序列假设检测理论由Wold在在20世纪世纪40年代建立年代建立信号的序列检测信号的序列检测对于二元信号的检测，进行第对于二元信号的检测，进行第k次观测后，次观测后，会出现会出现3种可能的结果，即种可能的结果，即判决判决H1成立成立判决判决H0成立成立不进行判决，继续下一次观测不
18、进行判决，继续下一次观测因此，需要将判决空间划分成三个判决区域，设定两个判决门限因此，需要将判决空间划分成三个判决区域，设定两个判决门限 和和100R2R1R观测空间观测空间R信号的序列检测信号的序列检测101HxpHxpxkkk满足满足时，判为时，判为H1成立成立001HxpHxpxkkk满足满足时，判为时，判为H0成立成立1010HxpHxpxkkk满足满足时，继续进行下一次观测时，继续进行下一次观测问题：如何确定上述两个门限？问题：如何确定上述两个门限？基本判决规则基本判决规则信号的序列检测信号的序列检测修正的奈曼修正的奈曼-皮尔逊准则皮尔逊准则给定两个性能指标给定两个性能指标01HHP
19、10HHP和和条件下，条件下，确定序列检测条件下的两个判决门限确定序列检测条件下的两个判决门限1和和0设设N次观测信号构成的次观测信号构成的N维随机矢量为维随机矢量为TNNxxx,21x对应的似然比函数为对应的似然比函数为01HpHpNNNxxx信号的序列检测信号的序列检测判决门限确定判决门限确定 当当 时，判为时，判为H1成立，又由于对应的似然比成立，又由于对应的似然比11101HpHpNNNxxx判决门限的理论值为判决门限的理论值为 。所以只有当判决门限取理论值的。所以只有当判决门限取理论值的上限时，似然比检验才能有足够的观测次数，以满足性能指标要求。上限时，似然比检验才能有足够的观测次数，以满足性能指标要求。1110类似地，有类似地，有信号的序列检测信号的序列检测101111lnlnln1lnlnHxEHxEHEHNENx010000lnlnln1lnlnHxEHxEHEHNENx101ln1lnlnHENx100lnln1lnHENx
