1、第三章第三章 利率和期限结构理论利率和期限结构理论1 投资者关注所投资的证券的风险和期望收益，无风险利率作为评价投资机会的基准。无风险利率作为投资的比较标准：投资决策投资决策的第一原则的第一原则(the first principle of investment)Interest rates and forecasts of their future values are among the most important inputs into an investment decision.例子：1000元存款，浮动利率与固定利率定期存款2 利率在经济中的重要作用 刺激投资，刺激经济增长 例子
2、：美联储降息31.利率利率 利率通常又称为货币的时间价值时间价值 名义利率(nominal interest rate)货币的增长率 实际利率(real interest rate)购买力的增长率4 例如，假设在某一年，名义利率是7%，消费价格指标从121增加为124。这意味着，在基准年值100元的商品和服务簇，在这一年初的价格为121元，而到了这一年年末，价格为124元。这个商品和服务簇的所有者能够在年初以价格121元卖掉它，并以7%的利率投资，在年末，得到129.47(=1211.07)元，用这129.47元马上可以买1.0441(=129.47/124)个商品 和 服 务 簇。所 以，实
3、 际 利 率 为4.41%(=1.0441-1)。消费价格指标消费价格指标(consumer price index)（或者生活成本指标）5 =年初的消费价格指标 =年末的消费价格指标 NIR=名义利率 RIR=实际利率0CRIRCNIRC1)1(101C6 这里CCL表示通货膨胀率 当投资者对将来财富的购买力感兴趣时，在进行投资选择时，名义利率和实际利率的区分至关重要RIRCCLNIR111CCLNIRRIR7例子：1000面值零息债券，20年到期，名义利率为12%，购买价格为103.7元Assumedannualrate ofinflationNumber of Yuanrequired
4、20 yearsfrom now to buywhat 1 Yuanbuys todayPurchasingpower of1000 Yuan tobe receivedin 20 yearsAnnualizedreal HPR4%2.19456.397.69%63.21311.805.6684.66214.553.70106.73148.641.82129.65103.670.008 两种计算利率的方式：简单利率计算简单利率计算(simple interest)和复利的计算复利的计算(compound interest)。简单利率计算简单利率计算 例子：在简单利率计算的规则下，总值随时间的增
5、加而线性增加。复利的计算复利的计算 例子 在复利计算的规则下，总值随时间的增加而以指数增加。连续复利计算连续复利计算(continuous compounding)例子9 例子：Effective annual rates for APR of 6%CompoundingfrequencynR eff(%)Annually16.00000Semiannually26.09000Quarterly46.13636Monthly126.16778Weekly526.17998Daily3656.1831310 在连续复利下（均以年利率表示）CCLNIRRIReeeCCLNIRRIR112.未来利率
6、的确定 Forecasting interest rate is one of the most notoriously difficult parts of applied macroeconomics.尽管存在许多种利率（和证券的种类一样多），经济学家所说的利率是一种有代表性的利率，我们利用这种抽象的概念来说明市场如何确定未来的均衡利率。122.1 实利率的确定 三个基本因素确定实利率水平 储户的供给 商业的需求 政府行为 财政政策 货币政策13实利率的确定Interest rate Supplyequilibriumreal rate of interest Demand Equilib
7、rium funds lent FundsEE14 尽管决定实利率的基本因素是个人的储蓄倾向和投资的预期生产力，政府的货币政策和财政政策也影响实利率。152.2 名义利率的确定 Fisher equation One reason it is difficult to determine the empirical validity of the Fisher hypothesis that changes in normal rates predict changes in future inflation rates is that the real rate also changes u
8、npredictably over time.)(CCLERIRNIR16 假设：尽管有通货膨胀风险，在本章以下的内容里假设通货膨胀率是可以准确预测的。这个假设使得我们可以仅仅关注时间对债券价值的影响。17 交易是无成本的，市场是可以自由进出的 信息是对称的和可以无偿获得地 存在很多交易者，没有哪一个交易者的行为对证券的价格产生影响 无税收，无买、卖空限制 证券无限可分，借贷利率相等3.完全竞争的金融市场（完善市场）18 均衡利息率的唯一性19 折现值：折现值和利息是在时间上相对的两个概念。如果年利率为 ，每年平均分成期，则在期末的现金流的折现因子为0rmkkkmrd114.折现值折现值20
9、现金流的折现值公式：给定现金流和利率，这个现金流的折现值为nnrxrxrxxPV1112210nxxx,10r21 永久性现金流永久性现金流 每期的市场无风险利率为 ，从第一期期末开始，每期末支付的数量为 ，则永久性年金的折现值为：rArArAPkk1122 有限期限的现金流有限期限的现金流 一共有 期，从第一期期末开始，每一期支付的金额为 ，在第期期末结束。假设每期的市场无风险利率为 ，则有限期限的现金流的折现值为：ArnnnkkrrArAP1111123 到期收益率 现货利率 远期利率5.几种利率的定义及性质几种利率的定义及性质245.1 到期收益率到期收益率 债券的到期收益率(yield
10、 to maturity)指的是，由银行支付给投资者的、使得投资者在将来能够获得该债券承诺的所有支付的唯一利率（在某个特定的时间区间以此利率计算复利）。我们也可以这样定义：如果用其作为折现率，所有现金支付（包括利息和本金）的现值正好等于其价格。到期收益率描述的是整个到期日之前的利率25 假设债券的面值为 ，每年支付m次利息，每次支付的利息为 ，债券的价格为 P，则到期收益率是使得下式成立的 的值FmCnkknmmCmFP11126 因为利息一般每年支付两次，所以通常以半年为单位计算复利来计算债券的到期收益率。27 上式中的第一项是面值的现值，第k项是第k次利息的现值。以名义利率 为基础，所有支
11、付的现值和为债券的价格。如果按这种定义方式，到期收益率类似于投资决策里的内部收益率(internal rate of return)。每一种债券的到期收益是由债券自己的结构决定的，具有独有的特性。三种国库券分别称为A、B、C。债券A一年到期，在到期日，投资者获得1000元。同样地，债券B两年到期，在到期日，投资者获得1000元。债券C是带息债券(coupon bond)，从现在开始，这种债券每年支付50元的利息，两年到期，在到期日，支付给投资者1050元。市场上三种债券的价格分别为：债券A（一年到期的纯折现债券）：934.58元 债券B（两年到期的纯折现债券）：857.34元 债券C（两年到期
12、的带息债券）：946.93元。28 债券A：到期收益率是满足下面方程(2.3)的 的值 债券B：到期收益率是满足下面方程(2.4)的 的值 债券C：到期收益率是满足下面方程(2.5)的 的值Ar100058.934)1(Ar%7ArBr100034.857)1()1(BBrr%8BrCr10505093.946)1()1(CCrr%975.7Cr29 我们在上面是用计算利息的方式来定义到期收益率。由于折现值和利息是在时间上相对的两个概念，所以我们下面利用计算折现值的方式来定义到期收益率。对债券A而言，方程(2.3)等价于 对债券B而言，方程(2.4)等价于 对债券C而言，方程(2.5)等价于A
13、r1100058.93421100034.857Br21105015093.946CCrr30 到期收益率与债券价格之间的关系31 价格 500 400 300 200 100 0 5 10 15 到期收益率15%10%5%0%32 在图1中，价格表示为面值的百分比；价格作为纵轴，到期收益率作为横轴，价格是到期收益的函数；所有债券的期限为30年；每条曲线上的数字表示息率。从图1可以看出的第一个明显的特征是它具有负的斜率，即价格与到期收益之间有相反的变化关系。如果到期收益率上升，价格就会下降。原因在于，对于固定的收入流，要使得投资者的到期收益率较高，投资者愿意支付的价格就越低。33 价格收益曲线
14、的第二个特征是，当到期收益率为0时，即没有利率时，债券的价格正好等于它的所有支付的和。比如利息率为10%的曲线，每年为10点，一共30年，得到300点，再加上100%的面值，得到的价格为400点。34 第三个特征是当到期收益率和利息率相等时，债券的价格正好等于其面值。例如利息率为10%的曲线，当到期收益率为10%时，其中的价格正好等于100点。这两者相等的原因在于，每年的利息支付正好等于10%的收益，从而每年的价格保持不变，均为100点。这相当于一种贷款，本金的利息每年支付，使得本金保持不变。第四个特征是，当到期收益率越来越大时，债券的价格趋于零。35 价格 400 300 200 100 1
15、0 到期收益率30年10年3年36 在图2中，价格仍然为纵轴，到期收益率仍为横轴，三种债券的息率均为10%，但三种债券的期限分别为30年、10年、3年。当到期收益为10%时，由上面的分析，我们知道它们的价格均等于其面值，所以它们通过共同的一点。但是，当到期收益偏离10%时，各自价格变化的程度却不一样。可以看到，当期限增加时，收益曲线越来越陡。这说明，期限越长的债券，其价格对收益率的敏感度就越大。37 对投资者而言，价格收益率曲线是非常重要的。因为它描述了债券所具有的利率风险。债券持有者所面临的风险为：如果到期收益变化，债券价格也将变化。这是一种即时风险，只影响债券的近期价格。当然，如果债券持有
16、者继续持有这种债券，直到到期日，在到期日，他得到本金和利息，这个现金流不会受到到期收益的影响，从而没有什么风险。但是，如果债券持有者提前卖掉债券，就会有风险。38 到期收益率和持有期收益率 到期收益是对债券整个有效期内平均回报率的一个描述 持有期收益率是对任何时间期间收入占该时间区间期初价格的百分比的一个描述39 例子：30年到期，年利息为80元，现价为1000元，到期收益为8%，一年后，债券价格涨为1050元，到期收益将低于8%，而持有期收益率高于8%131000)10001050(8040 现货利率(spot rate)是零息债券的到期收益率。它是定义利率期限结构的基本利率。5.2 现货利
17、率现货利率41债券A、B市场的价格分别为：债券A（一年到期的纯折现债券）：934.58元 债券B（两年到期的纯折现债券）：857.34元42 债券A：现货利率是满足下面方程(2.3)的 的值 债券B：现货利率是满足下面方程(2.4)的 的值AS100058.934)1(AS%7ASBS100034.857)1()1(BBSS%8BS43 如果我们存一笔钱在银行，一直到时间 t以前，银行不支付利息，而在时刻t，利息和本金一次性支付。这个投资过程所获得的利率即为现货利率。一般来说，如果以年为计算单位，从现在(t=0)到时间t，投资者所持有的货币的利率即为0到t的现货利率，我们以 表示。因此，表示一
18、年的现货利率，即，持有货币一年的利率。同样，表示持有货币两年的利率，但它是以年为单位来表示的。这意味着，如果你存一笔钱A在银行，银行以利率 计算复利，两年后，连本带息你可以得到 tS1S2SAS2212S44 每年一期：如果每年只计算一次，则 t 年的利率为：每年期：如果每年分为 m 期，则 t 年的利率为：连续复利：如果连续计算复利，则 t 年 的利率为：ttS1mttmS1tSte45 由于现货利率与到期收益率之间的关系，即零息债券的到期收益率即为现货利率，理论上，现货利率可以通过零息债券的到期收益率来度量。因为零息债券在规定的时间支付规定数量的货币，因此，支付的数量与零息债券价格的比即为
19、现货利率。由这个过程，我们也可以得到一条类似于收益率曲线的现货利率曲线。如图346 现货利率 6 5 年年 图图3 现货利率曲线 47 确定现货利率曲线的方法。确定现货利率曲线最明显的方式是通过不同到期日的零息债券的价格来决定。但是，由于能够得到的零息债券的种类太少（事实上，没有真正严格意义上的长期限的零息债券），所以，这种方法并不切实可行。第二种方式是通过附息债券的价格来决定现货利率曲线。这种方式从短期限的附息债券开始，逐步向长期限的附息债券递推。首先，可以通过直接观察1年的利率来确定。接着，考虑两年到期的债券。假设这种债券的价格为 P，每年支付的利息为C，面值为 F，则 P、F 和 C之间
20、满足如下关系：通过这个式子可以得到 。利用这种方法，依次可以求出 。第三种方法，我们也可以通过利用不同的附息债券构造零息债券来确定现货利率。1S22111SFCSCP2S43,SS48 例：零息收益曲线的确定 如何从带息债券的价格得到零息收益曲线债券本金（元）到期日（年）年息（元）（每年两次）债券价格（元）1001001001001000.250.501.001.502.0000081297.594.990.096.0101.649 假设 是连续复利的利率，是每年复利 次的等价的利率（均以年利率表示），则 由第一种证券，得到3个月连续复利利率（以年利率表示）crmrmmrmrmc1ln1013
21、.01ln445.975.2450 由第二种证券，得到6个月连续复利利率（以年利率表示）1年的利率为1047.029.941.521ln21054.00.90101ln51 假设1.5年的现货利率为 ，则 从而 这仅仅只是与6个月、1年的现货利率一致的现货利率r96104445.10.11054.05.01047.0reee1068.0r52 类似地，2年的现货利率为6.10110666625.11068.00.11054.05.01047.0reeee1081.0r53 连续复利的现货利率到期日现货利率0.250.10130.500.10471.000.10541.500.10682.000
22、.108154 Zero curve55 远期利率(forward rate)是现在确定的在将来两个时间之间的货币的利率。5.3 远期利率远期利率56 考虑从现在开始到两年之后的这段时间。假设现货利率 ，已经知道。如果我们在银行把一块钱存两年，两年后，这块钱将变成 我们也可以分两步进行投资，先将这一块钱存一年，同时决定将一年后得到的本息再存一年，从第一年末到第二年末之间的利率现在就规定好，设为 。两年后，这块钱将变成 元。由无套利原理，这两种投资方法的回报应该相等，即1S2S221S2,1f2,1111fS2,1122111fSS57 例：远期利率的计算 N 年投资的 N 年的年 现货利率 远
23、期利率1 10.02 10.53 10.84 11.05 11.158 假设采用连续复利的计算方式 第2年的远期利率由1年和2年的现货利率决定2105.011.01.0100100eee3108.0114.02105.0100100eee411.0116.03108.0100100eee59 一般的，设 是 年的现货利率（以年利率表示），设 是 年的现货利率（以年利率表示），则 和 之间的远期利率 为rT*r*T*TT T*Tr TTrTTrr*60 N 年投资的 N 年的年 现货利率 远期利率1 10.02 10.5 11.03 10.8 11.44 11.0 11.65 11.1 11.5
24、 零息收益曲线 利率 10 8 6 1 2 3 4 5 年61 远期收益率与到期日之间的关系 当 时，有TTTrrrr*rr*rrr*625.4 远期利率与将来现货利率之间的关系 确定性市场：投资者确定地知道将来的利率值。63例子：未来几年中每年的利率yearinterest08%110%211%311%64 零息债券的价格和到期收益Time to maturitypriceYield to maturity1925.938.000%2841.758.9953758.339.6604683.189.99365 在确定性市场中，将来的现货利率与远期利率相等.不管采用什么投资策略，只要投资的期限相
25、等，所得到的收益就相等。66 不确定性市场：投资者不知道将来的现货利率 假如投资者仅仅知道到期收益如下表所示，投资者关心第三年的现货利率67Time to maturitypriceYield to maturity1925.938.000%2841.758.9953758.339.6604683.189.99368 仅仅可以知道第三年的远期利率，而第三年的远期利率不一定就等于第三年的现货利率，甚至也不等于第三年的期望现货利率。只有当而第三年的远期利率等于第三年的现货利率时，采用一次性到期策略和滚动策略所得到的收益才相等。69 远期利率是否等于现货利率依赖于投资者愿意承担风险的程度，以及愿意投
26、资在与投资时间不相匹配的债券上的程度。短期投资者 长期投资者706.利率期限结构描述利率期限结构描述 把利率表示为到期日的函数，用以体现不同到期日利率的方式称为利率的期限结构 指出影响利率期限结构的因素 通过分析期限结构得到什么信息71 There does appear to be some evidence that the term structure conveys information about expected future spot rates.Examining the term structure of interest rates is important for de
27、termining the current set of spot rates,which can be used as a basis for valuing any fixed-income security.Such an examination is also important because it provides some information about what the marketplace expects regarding the level of future interest rates.72 第一个问题：为什么不同期限的现货利率不同？第二个问题：为什么这种不同会
28、随着时间的变化而变化，为什么有时长期现货利率比短期现货利率高，而有时又正好相反？73 Upward Sloping Maturity74 Flat Maturity75 Downward Maturity76 7.期限结构理论期限结构理论 7.1 无偏期望理论无偏期望理论 无偏期望理论(the unbiased expectations theory)又称纯期望理论。该理论认为，远期利率反映了广大投资者对将来现货利率的某种预期。因此，随着期限的增加而增加的现货利率，说明了大部分投资者预期将来的现货利率将上涨。相反，随着时间的增加而递减的现货利率，说明了大部分投资者预期将来的现货利率将下跌。上涨
29、的收益曲线 例：一年的现货利率为7%，两年的现货利率为8%，为什么这两个现货利率不同？等价地，为什么收益曲线是上涨的？现在投资1块钱，有两种投资策略 一次性到期策略1664.108.108.1177 滚动投资策略：先投资一年，得到 再投资一年，预期现货利率 为 1）10%：所以10%不能代表大众的预期 2）6%：同样，6%也不能代表大众的预期 3）9.01%07.107.112,1eS177.110.107.111342.106.107.1178 无偏期望理论认为将来现货利率的预期值正好等于远期利率，用式子表示为：2,12,1feS79 由远期利率的定义有：因此，大众预期一年期现货利率将上涨是
30、期限结构上扬的原因；而大众预期一年期现货利率将下降是期限结构下降的原因。为什么大众预期预期现货利率将变化？高的实利率表示经济快速扩张、高的预算赤字、紧的货币政策 高通货膨胀也可能源于经济快速扩张，但也可能是因为货币供给过快或者经济供给方的冲击。222,11111SeSS80 7.2 易变性偏好理论易变性偏好理论 易变性偏好理论(the liquidity preference theory)认为投资者主要对购买短期债券有兴趣。即使有些投资者长时间的持有债券，但他们仍然偏好于持有较短期债券。原因在于，如果他们持有较短期债券，那么，一旦他们提前需要资金时，他们所遇到的价格风险会更小。81 例如，一
31、个将进行两年投资的投资者会采取滚动投资策略，即，先投资一年，在第二年初连本带息再投资一年。这样，一旦提前需要资金时，他在第一年末会有一定数量的现金。但是，如果他采用的是一步到位的到期投资策略，即购买两年期的债券，那么，在第一年末提前需要现金时，他不得不去市场上卖掉债券。如果这时的价格很低，他就会遭受大的损失。因此，到期投资策略具有滚动投资策略没有的额外风险。所以，作为投资者而言，会偏好于短期债券。能够让投资者去购买长期债券的唯一方式就是使他相信长期债券的回报会更高，即，贷款者为了吸引投资者去购买长期债券，不得不以较高期望回报的形式支付给投资者一种风险酬金。82 作为贷款者，他们是愿意支付这种风
32、险酬金的。首先，频繁的进行融资需要宣传、管理等大量的费用，而通过发行长期债券能够大量减少这种成本。其次，贷款者不愿意在将来以更高的利率进行再融资，所以，他认为短期债券比长期债券更具风险性。83 远期利率与将来的期望现货利率之间的差称为易变性酬金(liquidity premium)。这种酬金是用来补偿投资者购买更长期限债券的一种额外回报率。例如，以 表示从现在开始一年以后到从现在开始两年以后这一年之间的易变性酬金，则2,1L2,12,12,1LeSf84 例子：一年的现货利率为7%，两年的现货利率为8%，只有当一次性到期策略的期望回报率高于滚动策略的期望回报率时，投资者才选择一次性到期策略，这
33、说明，期望现货率低于远期利率，假设为8.6%，则易变性酬金为9.01%-8.6%=0.41%85 1)下降的收益曲线 只有当期望现货利率 远远低于一年期现货利率 时，不等式才成立。例：当 ，时，如果 则2,11222,1111111fSSeSS21SS 2,1eS1S%71S%62S%01.52,1f%41.02,1L%7%6.412,1SeS86 2)水平收益曲线 只有当期望现货利率 低于一年期现货利率 时，不等式才成立。例：当 ，时，如果 则21SS 2,1eS1S%71S%72S%72,1f%41.02,1L%7%59.612,1SeS87 3)上升的收益曲线 当上升的幅度不大时，例：当
34、 ，时，如果 则21SS%71S%1.72S%2.72,1f%41.02,1L%7%79.612,1SeS88 当上升的幅度很大时，例：当 ，时，如果 则%71S%3.72S%6.72,1f%41.02,1L%7%19.712,1SeS89 易变性偏好理论认为，利率期限结构单调下降表明市场预期现货利率将下降；而利率期限结构单调上升表明市场预期现货利率既可能上升也可能下降，是否上升或者下降依赖于收益曲线的斜率。一般来说，曲线越陡，市场预期现货利率上涨的可能性越大。如果我们粗略地认为，市场估计现货利率上升与市场估计现货利率下降的可能性是一半对一半，则易变性偏好理论认为利率期限结构单调上升的频率更大。90 7.3 市场分割理论市场分割理论 7.4 习惯偏好理论习惯偏好理论92
