1、第二章第二章 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理第一节 随机误差第二节 系统误差 第三节 粗大误差第四节 测量结果数据处理实例第二章 误差的基本性质与处理教学目标：教学目标：1、阐述随机误差、系统误差、粗大误差、阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。及消除或减小的措施。2、掌握在随机误差的数据处理中，等、掌握在随机误差的数据处理中，等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。法。通过学习本章内容，使我们能够根据不通过学习本章内容，使我们能够根据不同性质的误差选取
2、正确的数据处理方法并进同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。行合理的数据处理。第二章 误差的基本性质与处理三类误差的特征、性质以及减小各类三类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施误差对测量精度影响的措施掌握等精度测量的数据处理方法掌握等精度测量的数据处理方法掌握不等精度测量的数据处理方法掌握不等精度测量的数据处理方法重点与难点重点与难点第二章 误差的基本性质与处理 当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（得到一系列不同的测量值（测量列测量列），每个测量值），每个测量值都含有都含有大小、符号不同
3、的误差大小、符号不同的误差，误差的出现没有确，误差的出现没有确定的规律。定的规律。误差来源主要有：误差来源主要有：零部件变形及其不稳定，信号零部件变形及其不稳定，信号处理电路的随机噪声等处理电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。照强度、电磁场变化等。瞄准、读数不稳定，人为操作瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。不当等。第一节随机误差第一节随机误差 测量装置的因素测量装置的因素 环境方面的因素环境方面的因素 人为方面的因素人为方面的因素第二章 误差的基本性质与处理 随机误差具有统计规律，多数都服从正态分布，随机误差具有统计规律，多数都服从正态分
4、布，首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。设被测量值的真值为设被测量值的真值为 ，一系列测得值为，一系列测得值为，则测量列的随机误差可表示为：则测量列的随机误差可表示为：oLili iiolL 第一节随机误差第一节随机误差通过对某工件直径重通过对某工件直径重复测量复测量N=150N=150次的测次的测量点列图，说明随机量点列图，说明随机误差的分布特性误差的分布特性7.0857.3357.585ili第二章 误差的基本性质与处理（1 1）分组数）分组数=11=11，组，组距距=0.05mm=0.05mm；（2 2）依次定各组的频）依次定各组的频数数ni
5、,频率频率 f=ni/N（3 3）以数据为横坐标，）以数据为横坐标，频率为纵坐标，在横频率为纵坐标，在横坐标上划出等分的子坐标上划出等分的子区间，划出各子区间区间，划出各子区间的直方柱，即为所求的直方柱，即为所求统计直方图。统计直方图。77.17.27.37.47.57.60510152025 fl第一节随机误差第一节随机误差直方图直方图第二章 误差的基本性质与处理 把各直方柱顶部中把各直方柱顶部中点用直线连接起来，点用直线连接起来，便得到一条折线。便得到一条折线。当测量样本数当测量样本数N N无限无限增加，分组间隔趋增加，分组间隔趋于零，图中直方图于零，图中直方图折线变成一条光滑折线变成一条
6、光滑的曲线的曲线 。这就是。这就是用实验方法由样本用实验方法由样本得到的概率密度分得到的概率密度分布曲线。布曲线。()f l77.17.27.37.47.57.60510152025概率概率尺寸尺寸()f l第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理将纵坐标平移到平均值处，将纵坐标平移到平均值处，即为随机误差的正态分布：即为随机误差的正态分布：式中：式中：标准差标准差22212/()()fe 它的数学期望为它的数学期望为它的方差为它的方差为0()Efd 22()fd 平均误差为平均误差为45|()fd 1()2fd 20 67453.此外由此外由可解得或然误差为可解得或然误差为
7、：第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理第一节随机误差第一节随机误差 对称性对称性：绝对值相等的正误差：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；与负误差出现的次数相等；单峰性单峰性：绝对值小的误差比绝：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多；对值大的误差出现的次数多；有界性有界性：随机误差：随机误差 只是出现只是出现在一个有限的区间内在一个有限的区间内 抵偿性抵偿性：随着测量次数的增加：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋于零，随机误差的算术平均值趋于零。服从正态分布的随机误差具有四个基本特性：服从正态分布的随机误差具有四个基本特性：第二章 误差的基本性质与处理
8、对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，为减小随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，为减小随机误差，应以算术平均值作为最后的测量结果。差，应以算术平均值作为最后的测量结果。(一一)算术平均值的意义算术平均值的意义 设设 为为n n次测量所得的值，则算术平均次测量所得的值，则算术平均值为值为:1211nniilllxlnn12nlll,第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理算数平均值与真值算数平均值与真值L Lo o的关系的关系：即即 由正态分布随机误差的抵偿性可知由正态分布随机误差的抵偿性可知
9、 ，因此，因此 结论结论 当测量次数无限增大时，算术平均值趋于真值。但实际当测量次数无限增大时，算术平均值趋于真值。但实际上都是有限次测量，因此认为算术平均值最接近于真值。上都是有限次测量，因此认为算术平均值最接近于真值。iiolL 1212nnolllnL()11nniioiilnL 11nniiiiolLnn 10niinnlim niilxLn10 第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理iiolll ioiillllxllxnnn000()第一节随机误差第一节随机误差例如例如 ：10.265310.2653，10.265610.2656，10.264810.2648，1
10、0.265110.26510l0l计算算术平均值时。任选一个接所有测得值的数计算算术平均值时。任选一个接所有测得值的数 作为作为参考值，计算每个测得值与参考值，计算每个测得值与 的差值：的差值：x4110.265(3621)1010.26524（二）算术平均值的计算校核（二）算术平均值的计算校核第二章 误差的基本性质与处理xx0iv 第一节随机误差第一节随机误差2.2.当求得的为四舍五入的非准确数时，当求得的为四舍五入的非准确数时，残余误差的重要性质是残余误差的重要性质是其代数和为零其代数和为零。这一性质。这一性质算术平均值及其残余误差的计算是否正确。算术平均值及其残余误差的计算是否正确。1.
11、1.当求得的为非凑整的准确数时，当求得的为非凑整的准确数时，0iv 残差代数和绝对值应符合：残差代数和绝对值应符合：当当n n为偶数时，为偶数时，当当n n为奇数时，为奇数时，2invA (0.5)2invA 式中的式中的A A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。测得值与算数平均值的差值称为残余误差（测得值与算数平均值的差值称为残余误差（残差）残差）iilx 第二章 误差的基本性质与处理四、测量的标准差四、测量的标准差 由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值一般皆不相同，而是围绕算术平均值有一定的分散
12、，此一般皆不相同，而是围绕算术平均值有一定的分散，此分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性，应该用分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性，应该用一个数值作为其不可靠性的评定标准。一个数值作为其不可靠性的评定标准。1 1、随机误差的评定指标、随机误差的评定指标 为什么用为什么用 来作为评定随机误差的尺度？可以从高来作为评定随机误差的尺度？可以从高斯（正态）分布的分布密度推知：斯（正态）分布的分布密度推知：fe2221()2 （一）标准差的基本含义（一）标准差的基本含义第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理()f 不同形状的分布曲线所不同形状的分布曲线所表征的含义是不同的。曲
13、线表征的含义是不同的。曲线越陡，随机误差的分布就越越陡，随机误差的分布就越集中，表明测量精度就越高。集中，表明测量精度就越高。fm ax12 f2221()e 2 根据根据可得可得由此可知，当由此可知，当，曲线就平坦，随机误差的曲线就平坦，随机误差的分布就分散，测量精度低分布就分散，测量精度低。maxf第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理 特别注意特别注意：标准差：标准差 不是测量列中任何一不是测量列中任何一个具体测量值的随机误差，个具体测量值的随机误差，的大小只说明，的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该
14、条件下，布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机任一单次测得值的随机误差误差 都不相同，一般都不等于都不相同，一般都不等于，但却认为但却认为这些测得值具有相同的精度。这些测得值具有相同的精度。因为都属于同样因为都属于同样一个标准差一个标准差 的概率分布。在不同条件下，对的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同。准差也不相同。第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理20.67453 ()0.5fd 2 2、或然误差、或然误差 将整个测量列的将整个测量列的n n个随机个随机误差分为个数相等的两半。误差分
15、为个数相等的两半。其中一半随机误差的数值落其中一半随机误差的数值落在在-+范围内，而另一半范围内，而另一半落在落在-+范围以外。范围以外。第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理 3 3、算术平均误差、算术平均误差 测量列算术平均误差测量列算术平均误差 的的定义是：该测量列全部随机定义是：该测量列全部随机误差绝对值的算术平均值，误差绝对值的算术平均值，用下式表示：用下式表示：由概率积分可以得到由概率积分可以得到 与与 的的关系：关系：11|()niinn 240.79795 第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理 目前世界各国大多趋于采用目前世界各国大多趋于采
16、用 作为评定随机误差作为评定随机误差的尺度。这是因为：的尺度。这是因为：的平方恰好是随机变量的数字特征的平方恰好是随机变量的数字特征方差方差，又，又恰好是高斯误差方程中的一个参数。所以采用恰好是高斯误差方程中的一个参数。所以采用，正，正好符合概率论原理，又与最小二乘法最切合；好符合概率论原理，又与最小二乘法最切合；对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列的精度；量列的精度；极限误差与标准偏差的关系简单极限误差与标准偏差的关系简单 ：；公式推导和计算比较简单。公式推导和计算比较简单。3lim 第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理（二）标
17、准差的计算方法（二）标准差的计算方法 1 1、等精度测量列单次测量标准偏差、等精度测量列单次测量标准偏差(贝塞尔贝塞尔(Bessel)(Bessel)公式公式)22fd 222212innn 当被测量的真值为未知时，在有限次测量情况下，当被测量的真值为未知时，在有限次测量情况下，可用残余误差可用残余误差 代替真误差计算代替真误差计算ivn 21iivlx第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理12,nl ll 设有设有n n个等精度测得值个等精度测得值111101102202202200 xxnnnnnnxvlLlxxLlLlxxLvlLlxxLv 将将 式相加得式相加得 将将
18、式两边平方得式两边平方得 当当n n充分大时，充分大时，因此有因此有 将将式平方后再相加，式平方后再相加，1iixxivnn 12221112nnxiijijn 1110nnijij 2221xin222iixvn 第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理22222222111iiiiivnvvnn 2221xin222iixvn 21ivn 、联立消去联立消去2x 第一节随机误差第一节随机误差222212innn 由定义由定义第二章 误差的基本性质与处理 2 2、多次测量的测量列算术平均值的标准差、多次测量的测量列算术平均值的标准差 在多次测量中，是以算术平均值作为测量结果，
19、在多次测量中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准。因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准。假定在相同条件下对同一量值作假定在相同条件下对同一量值作100100次重复测次重复测量，每量，每4 4个值求出一个算术平均值，可得到个值求出一个算术平均值，可得到2525各算各算数平均值。由于随机误差的存在，这些算术平均数平均值。由于随机误差的存在，这些算术平均值也不相同，它们围绕真值有一定的分散，此分值也不相同，它们围绕真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性。散说明了算术平均值的不可靠性。算术平均值通常也服从正态分布，其不可靠性算术平均值通常也服从正态分布，其
20、不可靠性的评定标准算术平均值的标准差的评定标准算术平均值的标准差 表示表示 。第一节随机误差第一节随机误差x 第二章 误差的基本性质与处理由式由式(2-8)(2-8)已知算术平均值已知算术平均值 为为 取方差得取方差得 因因 故有故有12nlllxn 1221()()()()nD xD lD lD ln 211()()()DxnD lD lnn 12()()()()nD lD lD lD l22xn xn 第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理 当当n n愈大，愈大，越小，因此增加测量次数可以提高越小，因此增加测量次数可以提高测量精度，但测量精度是与测量精度，但测量精度是与n
21、 n的平方根成反比，因此的平方根成反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。xn x 由图可知由图可知,当当n10n10以后，以后，减小很慢。一般情况下取减小很慢。一般情况下取n=10n=10以内较为适宜。所以，以内较为适宜。所以，提高测量精度，应采取适当提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测精度的仪器，选取适当的测量次数。量次数。第一节随机误差第一节随机误差x 第二章 误差的基本性质与处理 3 3、标准差的其它算法、标准差的其它算法(1)别捷尔斯法别捷尔斯法 1.25312ivn n 1.2531ixvnn 第一节随机误差第一节随机误
22、差221iivnn 由由221iinvn 1iinvn 11(1)iivnn n =而而240.79795 第二章 误差的基本性质与处理（2 2）极差法极差法 为简便迅速算出标准差时，可不需先求算术平均为简便迅速算出标准差时，可不需先求算术平均值计算标准差值计算标准差极差法极差法maxminnxx 若等精度多次测得值服从正态分布，则最大与若等精度多次测得值服从正态分布，则最大与最小值之差称为极差最小值之差称为极差按极差法标准差按极差法标准差的计算公式为：的计算公式为：nnd dn n值值第一节随机误差第一节随机误差()nnEd由极差的分布函数知：由极差的分布函数知：()nnEd 第二章 误差的
23、基本性质与处理（3 3）最大误差法最大误差法 maxmaxiinnvKK 或或1/1/Kn 值值极差法和最大误差法简单、迅速、方便，且容易掌握。极差法和最大误差法简单、迅速、方便，且容易掌握。当当 时，效果较好。时，效果较好。10n 第一节随机误差第一节随机误差第二章 误差的基本性质与处理【例【例1 1】用游标卡尺对一尺寸测量用游标卡尺对一尺寸测量1010次，假定已消除次，假定已消除系统误差和租大误差，得到数据如下系统误差和租大误差，得到数据如下(单位为单位为mm)mm)：75.0175.01，75.0475.04，75.0775.07，75.0075.00，75.0375.03，75.097
24、5.09，75.0675.06，75.0275.02，75.0575.05，75.0875.08求算术平均值及其标准差。求算术平均值及其标准差。列表计算列表计算：20.008250.03031101ivmmmmn 0.03030.009610 xmmmmn 第一节随机误差第一节随机误差解解(1)(1)按贝氏公式按贝氏公式第二章 误差的基本性质与处理 0.2501.2530.03300.01041010 101xmmmmmm 0.0303mm 贝贝塞塞尔尔公公式式：0.0096xmm maxmin10100.093.080.0292nnllmmdmmd ，max10max1010.0450.57
25、0.0256iivmmKvmmK ，(2)按别捷尔斯法按别捷尔斯法（3 3）按极差法按极差法（4）按最大误差法按最大误差法 第一节随机误差第一节随机误差计算标准差时，有效计算标准差时，有效数字一般取数字一般取2 2位即可位即可，此题为便于比较，此题为便于比较，多取了一位。多取了一位。第二章 误差的基本性质与处理贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，速贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，速度难于满足快速自动化测量的需要。度难于满足快速自动化测量的需要。别捷尔斯公式计算速度较快，但计算精度较低，别捷尔斯公式计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的计算误差为贝氏公式的1.071.07倍。
26、（最早用于前倍。（最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台）苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台）用极差法计算用极差法计算，非常迅速方便，可用来作为，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当校对公式，当n10n10时效果好。时效果好。用最大误差法计算用最大误差法计算更为简捷，当更为简捷，当n10n50n50）用）用33准则最简单方便，虽准则最简单方便，虽然这种判别准则的可靠性不高，但它使用简便，不需然这种判别准则的可靠性不高，但它使用简便，不需要查表，故在要求不高时经常使用；要查表，故在要求不高时经常使用；30n5030n50情形，用格拉布斯准则效果较好；情形，用格拉布斯准则效果较好；3n303n3
27、0情形，用情形，用格拉布斯准则适于剔除一个异常值，用狄克逊准则适格拉布斯准则适于剔除一个异常值，用狄克逊准则适于剔除一个以上异常值。当测量次数比较小时，也可于剔除一个以上异常值。当测量次数比较小时，也可根据情况采用罗曼诺夫斯基准则根据情况采用罗曼诺夫斯基准则 。第三节第三节 粗大误差粗大误差第二章 误差的基本性质与处理 在较为精密的实验场合，可以选用二、三种准则在较为精密的实验场合，可以选用二、三种准则同时判断，当一致认为某值应剔除或保留时，则可以同时判断，当一致认为某值应剔除或保留时，则可以放心地加以剔除或保留。当几种方法的判断结果有矛放心地加以剔除或保留。当几种方法的判断结果有矛盾时，则应
28、慎重考虑，一般以不剔除为妥。因为留下盾时，则应慎重考虑，一般以不剔除为妥。因为留下某个怀疑的数据后算出的某个怀疑的数据后算出的 只是偏大一点，这样较为安只是偏大一点，这样较为安全。另外，可以再增添测量次数，以消除或减少它对全。另外，可以再增添测量次数，以消除或减少它对平均值的影响。平均值的影响。第三节第三节 粗大误差粗大误差第二章 误差的基本性质与处理 三、防止与消除粗大误差的方法三、防止与消除粗大误差的方法 对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和鉴别而对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除外，更重要的是要加强测量结果者的工作责任加以剔除外，更重要的是要加强测量结果者的工作责任心
29、和以严格的科学态度对待测量工作；此外，还要保证心和以严格的科学态度对待测量工作；此外，还要保证测量条件的稳定，或者应避免在外界条件发生激烈变化测量条件的稳定，或者应避免在外界条件发生激烈变化时进行测量。如能达到以上要求，一般情况下是可以防时进行测量。如能达到以上要求，一般情况下是可以防止粗大误差产生的。止粗大误差产生的。在某些情况下，为了及时发现与防止测得值中含在某些情况下，为了及时发现与防止测得值中含有粗大误差，可采用不等精度测量和互相之间进行校核有粗大误差，可采用不等精度测量和互相之间进行校核的方法。例如对某一测量值，可由两位测量者进行测量、的方法。例如对某一测量值，可由两位测量者进行测量
30、、读数和记录；或者用两种不同仪器、或两种不同测量方读数和记录；或者用两种不同仪器、或两种不同测量方法进行测量。法进行测量。第三节第三节 粗大误差粗大误差第二章 误差的基本性质与处理 以上三节分别讨论了三类测量误差，它们的以上三节分别讨论了三类测量误差，它们的特点各异，因而处理的方法也有较大差别。现简特点各异，因而处理的方法也有较大差别。现简单归纳如下：单归纳如下：随机误差随机误差具有抵偿性，这是它最本质的具有抵偿性，这是它最本质的特性，算术均值和标准差是表示测量结果的两个特性，算术均值和标准差是表示测量结果的两个主要统计量；主要统计量；系统误差系统误差则违背抵偿性，因而会影则违背抵偿性，因而会
31、影响算术均值，变化的系统误差还影响标准差；响算术均值，变化的系统误差还影响标准差；粗大误差粗大误差则存在于个别的可疑数据中，也会影响则存在于个别的可疑数据中，也会影响算术均值和标准差。算术均值和标准差。总总 结结第二章 误差的基本性质与处理 随机误差随机误差服从统计规律，是无法消除的，但通服从统计规律，是无法消除的，但通过适当增加测量次数可提高测量精度；过适当增加测量次数可提高测量精度；系统误差系统误差则是则是有确定性规律，在掌握这个规律后，可以采取适当的有确定性规律，在掌握这个规律后，可以采取适当的措施消除或减小它；措施消除或减小它；粗大误差粗大误差既违背统计规律，又违既违背统计规律，又违背
32、确定性规律，可用物理或统计的方法判断后剔除。背确定性规律，可用物理或统计的方法判断后剔除。为处理一组测量数据，往往先找出个别可疑数为处理一组测量数据，往往先找出个别可疑数据，经统计判断确认无粗大误差后，再用适当的方法据，经统计判断确认无粗大误差后，再用适当的方法检验数据中是否含有明显的系统误差，如确认已无系检验数据中是否含有明显的系统误差，如确认已无系统误差，最后处理随机误差，统计算术平均值、标准统误差，最后处理随机误差，统计算术平均值、标准差及极限误差，以正确的表达方式给出测量结果。差及极限误差，以正确的表达方式给出测量结果。总总 结结第二章 误差的基本性质与处理第二章 误差的基本性质与处理
33、第二章 误差的基本性质与处理第二章 误差的基本性质与处理第二章 误差的基本性质与处理第二章 误差的基本性质与处理调零误差调零误差第二章 误差的基本性质与处理第二章 误差的基本性质与处理第二章 误差的基本性质与处理 K n0.050.01 K n0.050.01 K n0.050.0144.9711.4132.293.23222.142.9153.566.53142.263.17232.132.9063.045.04152.243.12242.122.8872.784.36162.223.08252.112.8682.623.96172.203.04262.102.8592.513.71182.
34、183.01272.102.84102.433.54192.173.00282.092.83112.373.41202.162.95292.092.82122.333.31212.152.93302.082.81第二章 误差的基本性质与处理a0.050.050.010.010.050.050.010.013 34 45 56 67 78 89 910101111121213131414151516161.151.151.461.461.671.671.821.821.941.942.032.032.112.112.182.182.232.232.282.282.332.332.372.372.
35、412.412.442.441.161.161.491.491.751.751.941.942.102.102.222.222.322.322.412.412.482.482.552.552.612.612.662.662.702.702.752.7517171818191920202121222223232424252530303535404050501001002.482.482.502.502.532.532.562.562.582.582.602.602.622.622.642.642.662.662.742.742.812.812.872.872.962.963.173.172.78
36、2.782.822.822.852.852.882.882.912.912.942.942.962.962.992.993.013.013.103.103.183.183.243.243.343.343.593.590(,)gn a0(,)gn anana第二章 误差的基本性质与处理a)()()1()2()1()1()()1()(1010nnnnxxxxrxxxxr统计量统计量统计量统计量0.010.010.050.050.010.010.050.053 34 45 56 67 78 89 910101111121213130.9880.9880.8890.8890.7800.7800.698
37、0.6980.6370.6370.6830.6830.6350.6350.5970.5970.6790.6790.6420.6420.6150.6150.3410.3410.7650.7650.6420.6420.5600.5600.5070.5070.5540.5540.5120.5120.4770.4770.5760.5760.5460.5460.5210.5211414151516161717181819192020212122222323242425250.6410.6410.6160.6160.5950.5950.5770.5770.5610.5610.5470.5470.5350.
38、5350.5240.5240.5140.5140.5050.5050.4970.4970.4890.4890.5460.5460.5250.5250.5070.5070.4900.4900.4750.4750.4620.4620.4500.4500.4400.4400.4300.4300.4210.4210.4130.4130.4060.406nna0(,)rn a0(,)rn a()(1(2)()10()1)10()()(1)1 nnnnxxrxxxrxxx ()(1)11()(2)(1)11(1)1(2)()nnnnxxrxxxxrxx ()(2)21()(3)(1)21(1)1(2)()nnnnxxrxxxxrxx ()(2(3)(1)22()22(2)(3)1)nnnnxxrxxxxrxx a
