1、第 1 页 共 22 页 2019 届福建省泉州市普通高中毕业班第一次（届福建省泉州市普通高中毕业班第一次（2 月）质量检月）质量检 查数学（文）试题查数学（文）试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 0,1,2A ，21,Bx xnnA，则，则AB中元素的个数为（中元素的个数为（ ） A1 B3 C4 D5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据集合的描述法先求出集合B，再求AB，可得答案. 【详解】 解：0,1,2A，1,1,3B ； 1,0,1,2,3AB ； AB中元素的个数为5. 故选：D. 【点睛】 本题考查集合的描述法与集合的并集运算问题，是基础题目 2记等差数列记等差
2、数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，若，若 4 24S ， 13 10aa，则，则 7 a （ ） A 15 2 B 25 3 C15 D18 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意可得可得 1 1 4624 2210 ad ad ,解得2d ， 1 3a ,再根据通项公式即可求 出 【详解】 解：由 4 24S ， 13 10aa可得 1 1 4624 2210 ad ad ，解得2d ， 1 3a ， 71 63 1215aad ， 故选：C. 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题 3“微信微信”和和“QQ”是腾讯社交体系中的两款产品， 小明为了解不同群
3、体对这两款产品的是腾讯社交体系中的两款产品， 小明为了解不同群体对这两款产品的 第 2 页 共 22 页 首选情况，统计了周围老师和同学关于首选首选情况，统计了周围老师和同学关于首选“微信微信”或或“QQ”的比例，得到如图等高条形的比例，得到如图等高条形 图根据等高条形图中的信息，可判断下列说法正确的是（图根据等高条形图中的信息，可判断下列说法正确的是（ ） A对老师而言，更倾向于首选对老师而言，更倾向于首选“微信微信” B对学生而言，更倾向于首选对学生而言，更倾向于首选“QQ” C首选首选“微信微信”的老师比首选的老师比首选“微信微信”的同学多的同学多 D如果首选如果首选“微信微信”的老师比
4、首选的老师比首选“微信微信”的同学多，则小明统计的老师人数一定比学生的同学多，则小明统计的老师人数一定比学生 多多 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先识图再结合图象进行简单的合情推理逐一检验即可得解 【详解】 解：A 对老师群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：9:1，故对老师而言，更倾 向于首选“微信”，即 A 正确， B 对学生群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：3:2，故对学生而言，更倾向 于首选“微信”，即 B 错误， C 由于老师群体与学生群体人数不定，即首选“微信”的老师比首选“微信”的同学无法比 较，即 C 错误， D 设老师群体x人，学生群体y人，则有0.
5、9 0.6xy，即32xy，则小明统计的老 师人数不一定比学生多，即 D 错误， 综上所述得：A 正确. 故选：A. 【点睛】 本题考查等高条形图及结合图象进行简单的合情推理，属简单题 4若向量若向量 13 , 22 AB ，1,0BC uuu r ，则，则BAC（ ） 第 3 页 共 22 页 A30 B60 C120 D150 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由AC ABBC 求出向量AC的坐标，再由向量的夹角公式 cos, AB AC AB AC AB AC 求解. 【详解】 解： 13 , 22 ACABBC ； 131 442 AB AC ，且1ABAC； 1 coscos, 2
6、 AB AC BACAB AC AB AC ； 又0180BAC 60BAC . 故选:B. 【点睛】 本题考查利用向量的坐标和夹角公式求向量的夹角，属于基础题. 5 已知双曲线 已知双曲线 2 2 2 :1 x Cy a 0a 的渐近线方程为的渐近线方程为 1 2 yx ， 则， 则C的焦距为 （的焦距为 （ ） ） A2 B2 3 C2 5 D6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由双曲线的渐近线方程可求出2a，再求焦距. 【详解】 解：双曲线 2 2 2 :1 x Cy a 0a 的渐近线方程为 1 2 yx ， 可得2a，1b，则5c . 所以C的焦距为：2 5. 故选：C. 【点睛
7、】 本题考查根据双曲线的渐近线求双曲线方程中的参数和求焦距，属于基础题. 第 4 页 共 22 页 6若若 , x y满足约束条件 满足约束条件 20 350 240 xy xy xy ，则，则2zxy的最小值为（的最小值为（ ） A3 B 3 2 C0 D2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先根据条件画出可行域， ，再利用目标函数2zxy的几何意义求最小值， 从而得到z最小值 【详解】 解：由2zxy得 1 22 z yx， 作出 , x y满足约束条件 20 350 240 xy xy xy 对应的平面区域如图（阴影部分） ： 平移直线 1 22 z yx，由图像可知当直线 1 22
8、z yx， 过点A时，直线 1 22 z yx的截距最大，此时z最小， 240 350 xy xy ，解得1,2A 代入目标函数2zxy， 得1 2 23z ， 目标函数 2zxy 的最小值是3. 故选：A. 【点睛】 本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解 答的关键属于中档题. 第 5 页 共 22 页 7执行如图所示的程序框图，若输出执行如图所示的程序框图，若输出 1 3 S ，则判断框内可填入（，则判断框内可填入（ ） A4i B7i C8i D9i 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 由已知中的程序语句可知： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出
9、变量S的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【详解】 解：模拟程序的运行，可得2S ，1i 此时，由题意应该满足判断框内的条件，执行循环体，3S ，2i 满足判断框内的条件，执行循环体， 1 2 S ，3i 满足判断框内的条件，执行循环体， 1 3 S ，4i 此时，由题意，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为 1 3 . 可得判断框内的条件为：4i . 故选：A. 【点睛】 本题考查了循环结构的程序框图， 根据流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的 常用方法，属于基础题 8 已知正三棱锥 已知正三棱锥ABCD的所有顶点都在球的所有顶点都在球O的球
10、面上，的球面上，3BC .若球心若球心O在三棱锥在三棱锥 的高的高AQ的三等分点处，则球的三等分点处，则球O的半径为（的半径为（ ） A 3 6 4 B2 C3 D4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用球心 O 为AQ的三等分点设未知数，在直角三角形BQO中列方程求解， 可得半径 第 6 页 共 22 页 【详解】 解：如图，设OQx，0x，则2OAOBx， 在底面正三角形BCD中，求得3BQ ， 在直角三角形BQO中， 22 43xx ，得1x ， 球O的半径为2 ， 故选：B. 【点睛】 此题考查了三棱锥外接球，难度较小属于基础题. 9若直线若直线1ykx为函数为函数 lnf xxa
11、的图象的一条切线，则的图象的一条切线，则ka的最小值为的最小值为 （ ） A2 B1 C1 D2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 设切点为,m n， 求出 f x的导数， 可得切线的斜率， 求得 1 lnkam m ， 设 1 lng mm m 求得导数，以及单调区间，可得极值和最值 【详解】 解：设切点为,m n，函数 lnf xxa的导数为 1 fx x ， 则切线的斜率为 1 0km m ，ln1makm， 解得lnam， 则 1 lnkam m ， 设 1 lng mm m ， 22 111m gm mmm ， 当1m 时， g m递增； 第 7 页 共 22 页 当01m时，
12、g m递减. 则 1g取得极小值，且为最小值0 1 1 . 故选：C. 【点睛】 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中 档题 10已知各项均为已知各项均为正数的数列正数的数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，若，若 1 2a ， 1 1 21 nn nn Sa aS ， 则则 10 S（ ） A1022 B1024 C2046 D2048 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用已知条件可得 11 20 nnnn SaSa ，则可求出数列 n S的通项公 式，进一步利用通项公式的应用求出结果 【详解】 解：各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n
13、 S， 由于 1 2a ， 1 1 21 nn nn Sa aS ，则 22 11 20 nnnn SaaS ， 整理得： 11 20 nnnn SaSa . 数列 n a的各项均为正数，故： 1 20 nn Sa ， 所以： 1nn Sa ，整理得： 1nnn SSS ， 所以： 1 2 n n S S （常数） ， 则：数列 n S是以 11 2Sa为首项，2为公比的等比数列. 所以： 1 2 22 nn n S ， 所以： 10 10 21024S. 故选：B. 【点睛】 本题考查数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中 第 8 页 共 22 页 档题型 11
14、田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例.故事中齐将田忌与故事中齐将田忌与齐王赛马，齐王赛马， 孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两 胜从而获胜胜从而获胜.该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律， 在比大小游戏中（大者为胜） ，已知我方的三个数为在比大小游戏中（大者为胜） ，已知我方的三个数为cosa，sincosb， cossinc，对方的三个
15、数以及排序如表：，对方的三个数以及排序如表： 第一局第一局 第二局第二局 第三局第三局 对方对方 2 tan sin 当当0 4 时，则我方必胜的排序是（时，则我方必胜的排序是（ ） A, ,a b c B , ,b c a C, ,c a b D, ,c b a 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由三角函数值得大小的比较得：当0 4 时，可得, b ac，的大小顺序， 结合“田忌赛马”事例进行简单的合情推理得：我方必胜的排序是, ,c b a得解 【详解】 解：因为当0 4 时，cossincossincoscos， sincos1tanb , cossina， cossin2c 由“田忌
16、赛马”事例可得，我方必胜的排序是, ,c b a. 故选：D. 【点睛】 本题考查了三角函数值得大小的比较及进行简单的合情推理，属中档题 12 在直角坐标系 在直角坐标系xOy中， 点中， 点F是抛物线是抛物线 2 :20C xpy p的焦点， 过的焦点， 过C上的点上的点A 作准线作准线l的垂线交的垂线交l于于B，过，过A作作FB的垂线交的垂线交FB于于D，若，若ODp，则直线，则直线AF的的 斜率为（斜率为（ ） A 1 2 B 3 4 C D 4 3 第 9 页 共 22 页 【答案】【答案】B 【解析】【解析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设A的坐标，求出直线,BF AD的方程， 联
17、立方程组求出D的坐标即可得到结论 【详解】 解：抛物线的焦点坐标为0, 2 p F ，准线方程为 2 p y ， 设 2 , 2 a A a p ，则, 2 p B a ，则BF的斜率 22 pp p k aa ， ADBF，AD的斜率 a k p ， 则BF的方程为 2 pp yx a ，即 2 pp yx a ， AD的方程为 2 2 aa yxa pp ，即 2 2 aa yx pp ， 由得2 0 a x y ，即,0 2 a D ， ODp， 2 a p，即2ap ，则 22 4 2 22 ap yp pp ， 即2 ,2App，则直线AF的斜率为 3 2 3 22 224 pp p
18、 pp . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查直线斜率的计算，结合抛物线的定义，设出点到 坐标和直线方程，根据 直线垂直以及斜率公式是解决本题的关键考查学生的计算能力属于中档题. 第 10 页 共 22 页 二、填空题二、填空题 13已知复数已知复数 2019 1zii，则，则z _. 【答案】【答案】 2 【解析】【解析】根据复数的运算法则以及复数的模长公式进行计算即可 【详解】 解： 2019504 3 33 11111ziiiiiiiii ， 则 22 112z ， 故答案为： 2. 【点睛】 本题主要考查复数的模长计算，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键属于 基础题. 14设函
19、数设函数 2 log,1 1 ,1 1 x x f x x x ，则满足，则满足 1f x 的的x的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】2x 【解析】【解析】讨论1x 和1x时，求解不等式 1f x 的解集，从而求出 1f x 的x的 取值范围 【详解】 解：当1x 时，不等式 1f x 化为 2 log1x ，解得12x； 当1x时，不等式 1f x 化为 1 1 1x ，此时不等式恒成立，即1x； 综上所述，满足 1f x 的x的取值范围是2x. 故答案为：2x. 【点睛】 本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题 15在长方体在长方体 1111 ABCDABC
20、 D中，中，22ABBC，直线，直线 1 DC与平面与平面ABCD所成的所成的 角为角为45，则异面直线，则异面直线 1 AD与与 1 DC所成角的余弦值为所成角的余弦值为_. 第 11 页 共 22 页 【答案】【答案】 10 5 【解析】【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出异面直线 1 AD与 1 DC所成角的余弦值. 【详解】 解：以D为原点，AD为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 在长方体 1111 ABCDABC D中，22ABBC. 直线 1 DC与平面ABCD所成的角为45， 1 45C DC
21、， 1 2DCCC， 1,0,0A， 1 0,0,2D ，0,0,0D， 1 0,2,2C， 1 1,0,2AD ， 1 0,2,2DC ， 设异面直线 1 AD与 1 DC所成角为，则 11 11 11 410 coscos, 558 ADDC AD DC ADDC . 异面直线 1 AD与 1 DC所成角的余弦值为 10 5 . 故答案为： 10 5 【点睛】 本题考查异面直线所成角，用向量法或用定义法结合余弦定理在解三角形中的应用，是 中档题 第 12 页 共 22 页 16已知函数已知函数 1 ,0 4sin,01 1 ,1 xx x f xxx af xx ，若函数，若函数 2g x
22、f x的所有零点之和为的所有零点之和为 3，则，则a的取值范围为的取值范围为_. 【答案】【答案】 12 , 22 【解析】【解析】由题意结合函数的解析式和函数图象确定实数a的取值范围即可 【详解】 解：原问题等于函数 f x与函数2y 交点的横坐标之和为3， 绘制函数在区间,1上的图象如图所示， 当0x时， 11 2xx xx . 当01x时，4sin0,1x 绘制函数在区间,1上的图象如图所示， 所以当0x时，函数 f x与函数2y 交点的横坐标为：1x。 由函数4sinyx与2y 在01x上的交点有两个， 根据函数4sinyx的对称性有，这两个交点关于直线 1 2 x 对称。 所以函数4
23、sinyx与2y 在01x上的两个交点的横坐标之和为 1. 所以函数4sinyx与2y 在1x上的三个交点的横坐标之和为 0. 则函数 f x与函数2y 在1x 上的交点的横坐标之和为3 则当12x时，由于函数关系式 1f xaf x的效果为将函数图象伸缩变换之 后再进行平移.如图. 当1a ，则函数 f x与函数2y 在区间,1 ,1n nnZ n上各有两个交点. 显然这些交点的横坐标之和大于 3. 当0a 时，则函数 f x与函数2y 在区间,1 ,1n nnZ n上没有交点，不满 条件. 第 13 页 共 22 页 若函数 f x与函数2y 在区间1,2上有两个交点，则根据对称性，这两个
24、交点横 坐标之和刚好为 3. 则函数 f x与函数2y 在区间,1 ,2n nnZ n上没有交点. 所以结合函数的函数图象可知： 2 42 42 a a . 求解不等式组可得实数a的取值范围为： 12 , 22 . 故答案为： 12 , 22 . 【点睛】 本题主要考查分段函数的性质，函数图象的伸缩变换，函数图象的平移变换等知识，属 于中等题 三、解答题三、解答题 17已知已知ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，且，且5b， absin2 sinAbA C （1）证明：）证明：ABC为等腰三角形为等腰三角形 （2）设点）设点D在在AB边上，边上，2ADBD，17CD
25、 ，求，求AB的长的长 【答案】【答案】 （1）证明见解析 （2）6 【解析】【解析】 （1）由正弦定理 sinsin ab AB ，化角为边可得 2 2a abb，再运算可得证； 第 14 页 共 22 页 （2）设BDx，余弦定理可得 22 417251725 2 217217 xx xx ，再运算可得解. 【详解】 （1）证明：因为sin2 sin2 sinabAbA CbB， 所以由正弦定理 sinsin ab AB ，可得 2 2a abb，整理可得20abab 因为20ab，所以ab，ABC为等腰三角形，得证 （2）解：设BDx，则2ADx， 由余弦定理可得 2 41725 cos
26、 2 217 x CDA x ， 2 1725 cos 217 x CDB x 因为CDACDB， 所以 22 417251725 2 217217 xx xx ，解得2x， 所以6AB 【点睛】 本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了解斜三角形及运算能力，属中档题. 18如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是边长为是边长为2的正方形，的正方形， 2PAPD ，6PBPC . （1）证明：平面）证明：平面PAD 平面平面ABCD； （2）若点）若点E为线段为线段PA的中点，求的中点，求E到平面到平面PBC的距离的距离. 【答案】【答案】 （1）见解析（2） 5 5
27、【解析】【解析】 (1） 取AD中点F， 连结,PF CF， 推导出PFCF，PFAD， 从而PF 平面ABCD，由此能证明平面PAD 平面ABCD （2） 推导出ABAD，2AB ，ABPA， 从而 112 2 1 333 P ABCABC VSPF , 第 15 页 共 22 页 记点A到平面PBC的距离为d，由 12 33 P ABCPBC VSd ,得 2 5 5 d ，由此能求 出点E到平面PBC的距离. 【详解】 证明： （1）取AD中点F，连结,PF CF， 底面ABCD是边长为2的正方形， 1DF ，5CF ， 6PC ， 222 PFCFPC，PFCF， 2PAPD ，PF
28、AD， ADCFF，PF 平面ABCD， PF 平面PAD，平面PAD 平面ABCD. 解： （2）底面ABCD是边长为2的正方形，ABAD，2AB ， 2PA ，6PB ， 222 PAABPB ，AB PA， 又2 APC S， 112 2 1 333 P ABCABC VSPF ， 在PBC中，2BC ，6PBPC， 5 PBC S， 记点A到平面PBC的距离为d， 12 33 P ABCPBC VSd ，解得 2 5 5 d ， 点E为线段PA的中点，点E到平面PBC的距离为 5 5 . 【点睛】 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关
29、系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19在直角坐标系在直角坐标系xOy中，圆中，圆 22 :4O xy与与y轴正、负半轴分别交于点轴正、负半轴分别交于点 ,A B.椭圆 椭圆 第 16 页 共 22 页 以以AB为短轴，且离心率为为短轴，且离心率为 3 2 . （1）求）求的方程；的方程； （2）过点）过点A的直线的直线l分别与圆分别与圆O，曲线，曲线交于点交于点,M N（异于点（异于点A）.直线直线,BM BN分分 别与别与x轴交于点轴交于点,C D.若若NCND，求，求l的方程的方程. 【答案】【答案】 （1） 22 1 164 xy （2） 11 :2 20 l yx 【解
30、析】【解析】 （1）设椭圆方程为 22 22 1 xy ab 0ab，求得,A B的坐标，结合离心率公 式和, ,a b c的关系，可得, a b，进而得到椭圆方程； （2） 设直线:20l ykxk， 联立椭圆方程求得N的坐标， 由两直线垂直的条件， 可得直线MB的方程，求得C的坐标，再由NCND，可得 NDNB kk ，运用两点 的斜率公式，解方程可得k，进而得到所求直线l的方程 【详解】 解： （1）设椭圆方程为 22 22 1 xy ab 0ab， 圆 22 :4O xy与y轴正、负半轴分别交于点0,2A，0, 2B， 由题意可得2b， 3 2 c e a ， 222 acb， 解得4
31、a，则椭圆方程为 22 1 164 xy ； （2）0,2A，0, 2B，设直线:20l ykxk， 设 11 N x y,，可得 1 2 16 14 k x k ， 2 1 2 28 1 4 k y k ， 由题意可得AMBM， 1 BM k k ， 则直线BM的方程为 1 2yx k ，可得2 ,0Ck， 若NCND，可得 NDNB kk ， 第 17 页 共 22 页 即为 22 22 22 2828 2 1414 1616 2 1414 kk kk kk k kk ，解得 11 20 k ， 存在直线 11 :2 20 l yx ，使得NC ND. 【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，注
32、意运用离心率公式和, ,a b c的关系，考查直线和椭圆方程 联立，求交点，考查直线的斜率公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题 20 鱼卷是泉州十大名小吃之一 鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜欢不但本地人喜欢,而且深受外来游客的赞赏而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼小张从事鱼 卷生产和批发多年卷生产和批发多年,有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼 卷卷,客户正客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购小张把去年年底月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购小张把去年年底 采购鱼
33、卷的数量采购鱼卷的数量 x(单位单位:箱箱)在在100,200的客户称为的客户称为“熟客熟客”,并把他们去年采购的数量并把他们去年采购的数量 制成下表制成下表: 采购数采购数 x 100,120 120,140 140,160 160,180 180,200 客户数客户数 10 10 5 20 5 (1)根据表中的数据作出频率分布直方图根据表中的数据作出频率分布直方图,并估计采购数在并估计采购数在 168 箱以上箱以上(含含 168 箱箱)的的“熟熟 客客”人数人数; (2)若去年年底若去年年底“熟客熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的 5
34、 8 ,估算小张去年估算小张去年 年底总的销售量年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (3)由于鱼卷受到游客们的青睐由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查小张做了一份市场调查,决定今年年底是否在网上出售决定今年年底是否在网上出售 鱼卷鱼卷,若不在网上出售鱼卷若不在网上出售鱼卷,则按去年的价格出售则按去年的价格出售,每箱利润为每箱利润为 20 元元,预计销售量与去年持预计销售量与去年持 平平;若在网上出售鱼卷若在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下调则需把每箱售价下调 2 至至 5 元元,且每下调且每下调 m 元元(25m)销售量销售
35、量 可增加可增加 1000m 箱箱,求小张今年年底收入求小张今年年底收入 Y(单位单位:元元)的最大值的最大值. 【答案】【答案】 （1）见解析 17 人（2）12000 箱 （3）最大值为 256000 元. 【解析】【解析】 （1）根据统计表作出频率分布直方图，再根据直方图即可求出， （2）根据统计表和直方图即可求出， （3）没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为1200020240000（元)，若 网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为120001000m，即可求出Y的最大值，比较 第 18 页 共 22 页 即可 【详解】 解： (1)作出频率分布直方图,如图 根据上图,可知采购量
36、在 168 箱以上(含 168 箱)的“熟客”人数为 180 168 50 200.0050.02017 20 (2)去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为 110 10 130 10 150 5 170 20 190 57500 (箱) 小张去年年底总的销售量为 5 750012000 8 (箱) (3)若不在网上出售鱼卷,则今年年底小张的收入为1200 20240000Y (元); 若在网上出售鱼卷,则今年年底的销售量为12000 100m箱,每箱的利润为20m, 则今年年底小张的收入为 22 (20) (12000 1000 )100082401000(4)256Ymmmmm , 当4m
37、时, Y取得最大值 256000 256000240000, 小张今年年底收入Y的最大值为 256000 元. 【点睛】 本题考查了频率分布直方图的计算问题，属于基础题 21已知函数已知函数 22 lnf xa xaxx . （1）讨论）讨论 f x的单调性；的单调性； （2）若）若 f x有两个大于有两个大于1的零点，求的零点，求a的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1） f x在 1 0, 2a 递减，在 1 , 2a 递增； （2） 3 4 1 ,0 2e 【解析】【解析】 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可； （2）通过讨论a的范围，结合函数的零点的个
38、数及其范围得到关于a的不等式组，求 第 19 页 共 22 页 出a的范围即可 【详解】 解： （1） f x的定义域是0,， 2 2111 2 axax fxa xa xx ， （i）当0a时， 0fx ， f x在0,递减， （ii）当0a时，令 0fx ，解得 1 0x a ， 令 0fx ，解得 1 x a ， 故 f x在 1 0, a 递减，在 1 , a 递增； （iii）当0a 时，令 0fx ，解得 1 0 2 x a ， 令 0fx ，解得 1 2 x a ， 故 f x在 1 0, 2a 递减，在 1 , 2a 递增； （2）由（1）可得若函数 f x有2个大于1的零点，
39、则0a， （i）当0a时，需 2 10 11 ln0 1 1 faa f aa a ，无解， （ii）当0a 时，需 2 10 13 ln20 24 1 1 2 faa fa a a ,解得： 3 4 1 0 2 a e 且当3 4 1 0 2 a e 时， f x在 1 1, 2a 递减， 1 10 2 ff a ， 故 f x在 1 1, 2a 有1个零点， 第 20 页 共 22 页 22222 111111 lnlnf aaaaaa ， 下面证明ln0xx， 令 lng xxx， 11 1 x gx xx ， 当01x时， 0gx ，函数递减， 当1x 时， 0g x ，函数递增， 故
40、 11 ln10g xg ，即ln0xx， 故 222 111 ln0f aaa ， 2 11 0 2 ff aa ， 又 f x在 1 , 2a 递增，故 f x在 1 , 2a 有1个零点， 综上，a的范围是 3 4 1 ,0 2e . 【点睛】 本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想， 是一道综合题,属于难题. 22 在直角坐标系 在直角坐标系xOy中， 直线中， 直线: l y kx 的倾斜角为的倾斜角为， 曲线， 曲线 22 :118Cxy. 以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求）求
41、l和和C的极坐标方程；的极坐标方程； （2）若）若l与与C交于交于,A B两点，求两点，求AOBO的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）. 2 2 cos2 sin60（2） 2 2AOBO 【解析】【解析】 （1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果 （2）利用一元二次方程根和系数关系的应用和三角函数关系式的变换求出结果 【详解】 解： （1）直线: l ykx的倾斜角为，转换为极坐标方程为. 曲线 22 :118Cxy， 转换为极坐标方程为： 2 2 cos2 sin60. （2）若l与C交于 1, A ， 2, B 两点， 第 21 页 共 22 页 由
42、2 = 2 cos2 sin60 有 2 2 cos +sin60 . 所以 12 2cos2sin， 12 6 ， 则 12 2cos2sin2 2AOBO. 【点睛】 本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换， 二元二次方程组的解法及应 用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 23已知函数已知函数 13f xxx . （1）求）求 3f x 的解集；的解集； （2）若关于）若关于x的不等式的不等式 2 36mm f x m 的解集非空，求的解集非空，求m的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1） 1 2 x x 或 7 2 x ； （2）1,06, 【解析】【解析】 （1）去掉绝对值，利用分段函数画出 f x的图象，利用分类讨论法求不等式 3f x 的解集； （2） 关于x的不等式 2 36mm f x m 的解集非空, 等价于 2 min 36mm f x m , 求出 minf x，再分类讨论解不等式，即可求出m的取值范围 【详解】 解：（1） 函数 24,1 132,13
