1、近世近世代数代数环与域环与域主要内容主要内容:环环的定义与性质的定义与性质无零因子环的特征数无零因子环的特征数子环、子环、理想理想子环与商环子环与商环极大理想极大理想环的同态基本定理环的同态基本定理1/17近世近世代数代数第第10节节 环的定义及性质环的定义及性质主要内容主要内容:环环的定义与性质的定义与性质零因子零因子特殊的环特殊的环 无零因子环无零因子环/整环整环/除环除环/域域无零因子环的特征无零因子环的特征2/17近世近世代数代数环环的定义的定义定义定义1 设设(R,+,)是代数系统，是代数系统，+和和是二元运算是二元运算.如果如果满足以下条件满足以下条件:(1)(R,+)构成交换群构
2、成交换群;(2)(R,)构成半群构成半群;(3)运算关于运算关于+运算满足左、右分配律运算满足左、右分配律;则称则称(R,+,)是一个是一个环环.通常称通常称+运算为环中的运算为环中的加法加法，运算为环中的运算为环中的乘法乘法.环中加法单位元记作环中加法单位元记作 0，并称为，并称为R的零元的零元(素素).乘法单位元乘法单位元(如果存在如果存在)记作记作1.对任何元素对任何元素 x，称，称 x 的加法逆元为的加法逆元为负元负元，记作，记作 x.若若 x 存在乘法逆元的话，则称之为存在乘法逆元的话，则称之为逆元逆元，记作，记作x 1.3/17近世近世代数代数定义定义2 称环称环(R,+,)是是有
3、限环有限环，如果，如果R是有限非空集合是有限非空集合.定义定义3 设设(R,+,)是环，是环，(1)若环中乘法若环中乘法 适合交换律，则称适合交换律，则称R是是交换环交换环或或可换环可换环.(2)若环中乘法若环中乘法 存在单位元，则称存在单位元，则称R是是含幺环含幺环.环的定义环的定义4/17近世近世代数代数环的实例环的实例例例1(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为加法和乘法构成环，分别称为整数环整数环Z，有理数环有理数环Q，实数环实数环R和和复数环复数环C.(2)n(n2)阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关
4、于矩阵的加法和关于矩阵的加法和乘法构成环，称为乘法构成环，称为 n 阶实矩阵环阶实矩阵环.(3)集合的幂集集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算关于集合的对称差运算和交运算构成环构成环.(4)设设Zn0,1,.,n1，和和 分别表示模分别表示模n的加法和乘法。的加法和乘法。对于对于x,yZn，x y=xy，x y=xy则则(Zn,)构成环，称为构成环，称为模模 n同余类环同余类环.5/17近世近世代数代数性质性质1 设设(R,+,)是环，则是环，则(1)aR，a0=0a=0；(2)a,bR，(a)b=a(b)=ab；(3)a,b,cR，a(b c)=ab ac，(b c)a=ba ca
5、；(4)a1,a2,.,an，b1,b2,.,bmR(n,m2);环的运算性质环的运算性质 babajnimjimjjnii1111)()(5)(na)b=a(nb)=n(ab).6/17近世近世代数代数实实 例例例例2 在环中计算在环中计算(a+b)3,(a b)2.解解:(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (a b)2=(a b)(a b)=a2 ba ab+b2 7/17近世近世代数代数问问 题题初等代数中：初等代数中：ab=0 a=0或或b=0n0，na=0 a=0环中：环中：a
6、b=0 a=0或或b=0?n0，na=0 a=0?8/17近世近世代数代数零因子零因子定义定义4 设设(R,+,)是环，是环，aR，a0。如果存在一个。如果存在一个元元bR，b0，使得，使得 ab=0，则称，则称a是是R的一个的一个左零左零因子因子.如果存在一个元如果存在一个元cR，c0，使得，使得 ca=0，则称，则称a是是R的一个的一个右零因子右零因子.如果如果a既是既是R的左零因子，又是的左零因子，又是R的右零因子，的右零因子，则称则称a是是R的的零因子零因子.显然显然，若，若R有左零因子，则有左零因子，则R必有右零因子必有右零因子.9/17近世近世代数代数特殊的环特殊的环定义定义5 设
7、设(R,+,)是环，是环，若若 a,bR，ab=0 a=0或或b=0，则称，则称R是是无零因无零因子环子环.或或 若若 a,bR，a0，b0 ab0，则称，则称R是是无无 零零因子环因子环.或或 没有左零因子，也没有右零因子的环称为没有左零因子，也没有右零因子的环称为无零因无零因子环子环.10/17近世近世代数代数特殊的环特殊的环定义定义6 设设(R,+,)是环，是环，(1)若若R是交换环、是交换环、含幺环含幺环、无零因子环，则称、无零因子环，则称R是是整整环环.(2)如果如果R满足以下两个条件：满足以下两个条件：1)R中至少含有两个元素中至少含有两个元素(或或R中至少含有一个非中至少含有一个
8、非 零元素零元素)；2)非零元素的全体对乘法构成一个群非零元素的全体对乘法构成一个群.则称则称R是是除环除环或或体体.(3)可换体称为可换体称为域域.显然显然：除环是无零因子环、含幺环：除环是无零因子环、含幺环.域是无零因子环、含幺环、交换环，即是整环域是无零因子环、含幺环、交换环，即是整环.11/17近世近世代数代数例例3(1)整数环整数环Z、有理数环、有理数环Q、实数环、实数环R、复数环、复数环C都是交换环，含幺环，无零因子环和整环都是交换环，含幺环，无零因子环和整环.除了整数环以外都是域除了整数环以外都是域.(2)令令2Z=2z|zZ，则，则(2Z,+,)构成交换环和无零构成交换环和无零
9、因子环因子环.但不是含幺环和整环但不是含幺环和整环.(3)设设n Z,n 2,则则n阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环无零因子环，也不是整环.(4)(Z6,)构成环，它是交换环，含幺环，但不是构成环，它是交换环，含幺环，但不是无零因子环和整环无零因子环和整环.2 3=3 2=0，2和和3是零因子是零因子.实实 例例12/17近世近世代数代数定理定理1 环环R是无零因子环是无零因子环当且仅当当且仅当在在R中乘法满足中乘法满足消去律，即消去律，即 如果如果a0，ab=a
10、c，则，则b=c；如果如果a0，ba=ca，则，则b=c.无零因子环无零因子环13/17近世近世代数代数实实 例例例例5 设设 p为素数，证明为素数，证明Zp是是(有限有限)域域.证证 p为素数，所以为素数，所以|Zp|2.易见易见Zp可交换，单位元可交换，单位元是是1.对于任意的对于任意的 i,jZp,i 0有有i j=0 p 整除整除 ij p|j j=0所以所以 Zp 中无零因子中无零因子.注意：注意：若若 p不为素数，则不为素数，则Zp肯定不是域肯定不是域.例例4 至少有一个非零元的无零因子至少有一个非零元的无零因子有限有限环是体环是体.提示：提示：注意注意“有限有限”两个字两个字.1
11、4/17近世近世代数代数域中除法及其性质域中除法及其性质 在域在域F中可以引入除法，如果中可以引入除法，如果a,b F，a 0，则则b被被a除记为除记为b/a，且，且b/a=a-1b.有以下性质：有以下性质：15/17近世近世代数代数再回到问题再回到问题初等代数中：初等代数中：ab=0 a=0或或b=0n0，na=0 a=0环中：环中：ab=0 a=0或或b=0 (无零因子环无零因子环)n0，na=0 a=0?(与元素的阶有关与元素的阶有关)分别考虑分别考虑：整数环：整数环(Z,+,)，模模n剩余类环剩余类环(Z5,)，(Z6,).16/17近世近世代数代数无零因子环的特征无零因子环的特征定理定理1 在一个无零因子环中，每个非零元素对加法在一个无零因子环中，每个非零元素对加法的阶均相同的阶均相同.推论推论1 体和域中每个非零元素对加法的阶均相同体和域中每个非零元素对加法的阶均相同.定义定义1 无零因子环无零因子环R中非零元素对加法的阶称为中非零元素对加法的阶称为该该环环的特征数的特征数，简称为，简称为特征特征，记为，记为ChR.定理定理2 若无零因子环若无零因子环R的特征数为正整数的特征数为正整数p，则，则p为为素素数数.推论推论2 整环、体和域的特征数或是无穷大，或是整环、体和域的特征数或是无穷大，或是一个素数一个素数.17/17
