1、 计算机仿真离散相似计算机仿真离散相似连续时间数学模型连续时间数学模型 离散离散（采样）（采样）相似（信号重构保持）相似（信号重构保持）离散时间数学模型（计算机仿真模型）离散时间数学模型（计算机仿真模型）本章内容本章内容3.1 微分方程的数值积分数值解微分方程的数值积分数值解 3.1.1 数值积分法数值积分法 3.1.2 数值积分法的分类数值积分法的分类 3.1.3 单步法单步法 3.1.4 多步数值积分法多步数值积分法 3.1.5 关于数值积分的误差关于数值积分的误差3.2 从传递函数到从传递函数到Z函数的转换函数的转换 3.2.1 Z域的离散相似模型域的离散相似模型 3.2.2 从传递函数
2、到从传递函数到Z函数的算子替换法函数的算子替换法3.3 从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换3.4 连续时间结构框图典型环节的离散相似连续时间结构框图典型环节的离散相似 3.1 微分方程的数值积分数值解微分方程的数值积分数值解返回返回3.1.1 数值积分法数值积分法对于初值已知的常微分方程对于初值已知的常微分方程 )(3.1),)(,()(00ytybtatytfty 求其数值解就是求解曲线求其数值解就是求解曲线y(t)在一系列离散时间点在一系列离散时间点 tn的的 近似值近似值 yn=y(tn)(n=0,1,2,m)a=t0 tn tn+1 t
3、m=b相邻两个节点的间距：步长相邻两个节点的间距：步长 h=tn+1-tn。设微分方程在区间设微分方程在区间a,b上连续变化。在已知初值条件下，将区间上连续变化。在已知初值条件下，将区间a,b分分成若干个小的区间，时间间隔为成若干个小的区间，时间间隔为h，在一个小的区间，在一个小的区间t=tn,tn+1内积分，有内积分，有(3.2),(11 nnttnndtytfyy )(3.1),)(,()(00ytybtatytfty (3.3)()(!1 !21)()(1)(2 rrrhhtyrhyhytyhty 图图3.1 数值积分计算示意图数值积分计算示意图),(ytfy t其中，其中，h为积分步长
4、，为积分步长，为局部截断误差。为局部截断误差。)(1 rho 若截断到若截断到r 阶，阶，y 近似的数值解为近似的数值解为(3.4)(!1 !21)()()(2rrhtyrhyhytyhty 截断误差截断误差 为为)(1 rho001(1)1(2)2(3)3111()(1)!(2)!(3)!rrrrrrrt ty yo hyhyhyhrrr 3.1.2 数值积分法分类数值积分法分类 单步积分法和多步积分法单步积分法和多步积分法数值积分法在求解（数值积分法在求解（n+1）时刻的数值解，只涉及到前一个时刻）时刻的数值解，只涉及到前一个时刻n的值的值yn，还，还是涉及过去多个时刻是涉及过去多个时刻
5、tn-1,tn-2,的值，分为的值，分为单步法单步法和和多步法多步法：单步法：单步法：仅用仅用yn的数值即可求出的数值即可求出yn+1的数值；的数值；多步法多步法：求解：求解tn+1时刻的数值解时刻的数值解yn+1，不仅需要知道，不仅需要知道tn时刻的时刻的yn，还要用，还要用 到过去的到过去的tn-1,tn-2,时刻的值。时刻的值。显式积分方法和隐式积分方法：显式积分方法和隐式积分方法：根据数值积分法公式的右端是否包含当前时刻的值，分为显式积分方法根据数值积分法公式的右端是否包含当前时刻的值，分为显式积分方法和隐式积分方法。和隐式积分方法。例：例：单步显式积分方法的公式为单步显式积分方法的公
6、式为 (3.6),(1hythyynnnn 式中右端只与式中右端只与tn+1时刻之前的数值有关，且不包含时刻之前的数值有关，且不包含yn+1项。项。单步隐式积分方法的一般表达式为单步隐式积分方法的一般表达式为(3.7),(11hyythyynnnnn 该式右端只与该式右端只与tn+1时刻之前的数值有关，但是包含时刻之前的数值有关，但是包含yn+1的项。的项。3.1.3 单步法单步法 欧拉法欧拉法 梯形法梯形法Runge-Kutta法法 1.欧拉法欧拉法 （Euler)(3.1)(,()(00ytytytfty 已知：一阶微分方程式（已知：一阶微分方程式（3.1）求解的递推公式（求解的递推公式（
7、3.2）中）中),(ytfy tnt1 nt(3.2),(11 nnttnndtytfyy在区间在区间 tn,tn+1 上的积分如图上的积分如图3.2中黑色斜线部分所示。对于足够小的积分中黑色斜线部分所示。对于足够小的积分间隔间隔tn,tn+1，其中每一个时刻的，其中每一个时刻的f(t,y)都可以近似地为常数都可以近似地为常数 f(tn,yn)，即，即用矩形面积近似代替该区间曲线面积（红色部分）。用矩形面积近似代替该区间曲线面积（红色部分）。欧拉法的几何意义欧拉法的几何意义图图3.2 欧拉法的几何表示欧拉法的几何表示),(nnytf),(11 nnytf(3.9)()(1htyyhtyynnn
8、n 局部截断误差为局部截断误差为o(h2)，即，即00 !31!21)(322yyttnhyhyhR 将将y(t+h)展开成泰勒级数如式（展开成泰勒级数如式（3.4），若在右边只取两项，有），若在右边只取两项，有),(ytfy tnt1 nt截断误差截断误差 应用泰勒级数展开推导欧拉法公式应用泰勒级数展开推导欧拉法公式已知初始已知初始y0，可以递推得出各时间点的，可以递推得出各时间点的yn近似数值解。近似数值解。),2 ,1 ,0(),(),(),()()()()(111120000010000nythfyyythfyyythfyhtytyhtyyytynnnnyytt（3.10）),(nny
9、tf),(11 nnytf 2.梯形法梯形法 梯形法的基本思路是在应用梯形面积近似在图梯形法的基本思路是在应用梯形面积近似在图3.2中积分区间的曲线中积分区间的曲线下积分面积，如图下积分面积，如图3.3所示。所示。在区间在区间 tn,tn+1 的曲线积分面积为的曲线积分面积为)()(),(11nntttytydtytfSnn 曲曲在区间在区间 tn,tn+1 的梯形面积为的梯形面积为 ),(),(2111 nnnnytfytfhS梯梯当积分步长当积分步长h0时，梯形面积近似等于曲边梯形面积，即时，梯形面积近似等于曲边梯形面积，即 (3.12),(),(21)()(111 nnnnnnytfyt
10、fhtyty式（式（3.12）的右端有）的右端有yn+1项，为隐式数值积分公式。隐式数值积分在每次项，为隐式数值积分公式。隐式数值积分在每次递推计算中需要借助显式算法（如欧拉法）对递推计算中需要借助显式算法（如欧拉法）对y pn+1预估后再求解。预估后再求解。),(ytfy tnt1 nt),(nnytf),(11 nnytf截断误差截断误差),(1nnnpnytfhyy 预估预估校正校正),(),(2111pnnnnnnytfytfhyy 注注1：预估可采用多种显式方法，上例中应用欧拉法进行预估。：预估可采用多种显式方法，上例中应用欧拉法进行预估。注注2：对应于每个：对应于每个yn，都要经过
11、预估和校正两部运算。，都要经过预估和校正两部运算。局部截断误差为局部截断误差为o(h3)，即，即004)4(33!41 !31)(yyttnhyhyhR 例如采用欧拉法进行预估，则梯形法的公式为例如采用欧拉法进行预估，则梯形法的公式为：例例3.1 已知一阶微分方程为已知一阶微分方程为 ，初始条件为初始条件为 。积分步长为积分步长为 ，在区间，在区间0，0.5 分别应用：分别应用：1）欧拉法；）欧拉法；2）梯形法，）梯形法，计算计算y的近似值。的近似值。42tyy5.0)0(y1.0 h解：（解：（1）欧拉法：已知）欧拉法：已知 ，根据欧拉公式，根据欧拉公式 5.0)0(y),(1nnnnyth
12、fyy 计算得计算得 5904.1)42(4380.1)42(2600.1)42(0500.1)42(8000.0)42(5000.0)0(444533342223111200010 tyhyytyhyytyhyytyhyytyhyyyy（2）梯形法）梯形法 5000.00 y8000.0)42(0001 tyhyyp 7750.042422110001 tytyhyyp0300.1)42(1112 tyhyyp 0095.142422221112 tytyhyyp2276.1)42(2223 tyhyyp 2108.142422332223 tytyhyyp3986.1)42(3334 ty
13、hyyp 3848.142422443334 tytyhyyp5478.1)42(4445 tyhyyp 5366.142422554445 tytyhyyp),(1nnnpnytfhyy ),(),(2111pnnnnnnytfytfhyy 预估：预估：校正：校正：从微分方程的解析解：从微分方程的解析解：4721452 teyt可以计算相应的理论值，分别计算欧拉法和梯形法数值解与理论值的误差，可以计算相应的理论值，分别计算欧拉法和梯形法数值解与理论值的误差，如表如表3.1。nt nn 阶阶Runge-Kutta法的通式法的通式(3.15)11 riiinnkbhyy3.龙格龙格-库塔法库塔法
14、 其中，其中，r为阶数；为阶数；bi为待定系数；系数为待定系数；系数ki 表达式为表达式为(3.16),3,2,1 )(,(11rikahtyhctfkijjjnii aj、ci为待定系数。为待定系数。n一阶龙格一阶龙格-库塔法库塔法),(11nnnnythfbyy 与欧拉公式比较，一阶与欧拉公式比较，一阶Runge-Kutta法的系数法的系数 a1=0,b1=1,c1=0。n二阶龙格二阶龙格-库塔法库塔法 (r=2)(21211kkhyynn ),(),(),(),(111121hkytfytfytfkytfknnnnnnnn 1,0 n11a5.021 bb12 c与梯形法比较，二阶与梯形
15、法比较，二阶Runge-Kutta法系数法系数 n高阶龙格高阶龙格-库塔法库塔法 )2,()21,21(),()4(62131213211hKhKyhtfKhKyhtfKytfKKKKhyynnnnnnnnn四阶龙格四阶龙格-库塔法（库塔法（r4）),()21,2()21,21(),()22(6342312143211hKyhtfKhKyhtfKhKyhtfKytfKKKKKhyynnnnnnnnnn 局部截断误差为局部截断误差为o(h4)局部截断误差为局部截断误差为o(h5)n三阶龙格三阶龙格-库塔法（库塔法（r3）例例3.2 用三阶用三阶Runge-Kutta法求例法求例3.1中微分方程的
16、数值解中微分方程的数值解 解：解：三阶三阶Runge-Kutta法的公式为法的公式为 1123(4)6nnhyykkk hkhkyhtfkhkyhtfkytfknnnnnn )2,()21,21(),(213121 1,0 n 以此类推，可求得以此类推，可求得y3=1.2141,y4=1.3885,y5=1.5403.00 t5000.00 y1.01 t10123(4)0.77676hyykkk hkhkyhtfkhkyhtfkytfk 6000.2)2,(7500.2),(3),(2100310020012.02 t21123(4)1.01226hyykkk hkhkyhtfkhkyhtf
17、kytfk 2192.2)2,(3420.2),(5467.2),(211131112111 三阶三阶Runge-Kutta法计算结果与微分方程精确解间的比较如表法计算结果与微分方程精确解间的比较如表3.2所示所示 nt 问题：问题：单步单步？多步？多步？步长总是不变吗？步长总是不变吗？3.1.4 多步数值积分法多步数值积分法 Adams显式积分法显式积分法 Adams隐式积分法隐式积分法 多步法数值积分法有多步法数值积分法有Adams法，法，Simpson法，法，Milne方法等，方法等，我们以我们以Adams法为例介绍多步积分法的思路。法为例介绍多步积分法的思路。Adams法也分为显式积分
18、和隐式积分，下面介绍两种方法的概念。法也分为显式积分和隐式积分，下面介绍两种方法的概念。Adams显式积分法显式积分法微分方程微分方程 在区间在区间tn tn+1上进行积分，递推式为上进行积分，递推式为 )(,()(tytfty 1 1),(nnttnndtytfyy假设在假设在k+1个节点处的导数值分别为个节点处的导数值分别为fn,fn-1,fn-2,fn-k,，基于插值原理，基于插值原理可以构造出一个线性多项式来逼近函数可以构造出一个线性多项式来逼近函数 ，分项积分后可得，分项积分后可得)(,(tytf)(1101knknnnnfffhyy 其中，其中，i为系数，上式的右端没有为系数，上式
19、的右端没有yn+1项，为显式。项，为显式。三阶三阶Adams显式显式(3.19)51623(12211 nnnnnfffhyy四阶四阶Adams显式显式(3.20)9375955(243211 nnnnnnffffhyy Adams 隐式积分法隐式积分法Adams隐式积分公式为隐式积分公式为(3.21)(11110111 knknnnnnffffhyy 三阶三阶Adams隐式隐式)85(12111 nnnnnfffhyy四阶四阶Adams隐式隐式)5199(242111 nnnnnnffffhyy 三阶局部截断误差为三阶局部截断误差为o(h4)。)51623(12211 nnnnpfffhyy
20、n显式预估显式预估隐式校正隐式校正)85(12111 nnpnnnfffhyy与梯形法类似，应用与梯形法类似，应用Adams隐式积分也要选用适当的显式，隐式积分也要选用适当的显式，进行预估以后对进行预估以后对Adams隐式求数值解，隐式求数值解，例如选用三阶例如选用三阶Adams显式积分法进行预估，可得显式积分法进行预估，可得 方方 法法显式欧拉法显式欧拉法01000显式梯形法显式梯形法03/2-1/2003阶显式阶显式Adams法法023/12-16/125/1204阶显式阶显式Adams法法055/24-59/2437/24-9/24隐式梯形法隐式梯形法1/21/20003阶隐式阶隐式Ad
21、ams法法5/128/12-1/12004阶隐式阶隐式Adams法法9/2419/24-5/241/24010123（n为阶数）为阶数）（3.21）应用公式（应用公式（3.21）可以综合表示常用的数值积分法，系数如表所示。）可以综合表示常用的数值积分法，系数如表所示。)(11110111 knknnnnnffffhyy 3.1.5 关于数值积分的误差关于数值积分的误差 局部截断误差与舍入误差局部截断误差与舍入误差 应用数值积分法所得到的离散数值解是原连续时间系统精确解的近似，应用数值积分法所得到的离散数值解是原连续时间系统精确解的近似，包括两种误差：包括两种误差：截断误差、舍入误差截断误差、舍
22、入误差。n局部截断误差局部截断误差：由于数值积分方法截：由于数值积分方法截断断r阶以后的项所导致的误差。阶以后的项所导致的误差。n舍入误差舍入误差：由于计算机的位数有限而：由于计算机的位数有限而导致；在每步计算均会发生，随计算导致；在每步计算均会发生，随计算次数增加使舍入误差积累值增加。次数增加使舍入误差积累值增加。图图3.4 数值积分法误差与积分步长的关系数值积分法误差与积分步长的关系 例例3.3 例例3.1中的一阶微分方程中的一阶微分方程 ，初始条件为初始条件为 积分步长为积分步长为 ，在区间，在区间0，0.5 分别应用：分别应用：1）欧拉法；）欧拉法；2）梯形法；）梯形法；3）三阶）三阶
23、Runge-Kutta法计算法计算y的近似值，比较不同阶次数值积分法的局部的近似值，比较不同阶次数值积分法的局部 截断误差。截断误差。42 tyy5.0)0(y1.0 htn n固定步长：在整个仿真计算过程中，积分步长固定步长：在整个仿真计算过程中，积分步长h始终保持不变。始终保持不变。n变步长：在仿真积分计算每一步，首先估计计算误差；判断误差变步长：在仿真积分计算每一步，首先估计计算误差；判断误差是否在允许误差范围内：是否在允许误差范围内：若是，则该步计算有效；若是，则该步计算有效；否则计算无效，设法减小步长，重新计算。否则计算无效，设法减小步长，重新计算。n在变步长积分中，必须解决误差估计
24、方法和步长调整策略问题。在变步长积分中，必须解决误差估计方法和步长调整策略问题。积分步长的选择与控制积分步长的选择与控制 在数值积分法中，积分步长的选择不仅受计算工作量和误差的影响，在数值积分法中，积分步长的选择不仅受计算工作量和误差的影响，还与系统的动态响应特性相关。还与系统的动态响应特性相关。在数值积分中，系统各个组成部分之间可能存在着相差很大的部分：在数值积分中，系统各个组成部分之间可能存在着相差很大的部分：l 若按变化平缓部分选择的积分步长若按变化平缓部分选择的积分步长h，对于变化剧烈的部分步长太大，对于变化剧烈的部分步长太大，不能反映系统的（特别是开始时的）动态响应；不能反映系统的（
25、特别是开始时的）动态响应；l 若按变化剧烈的部分选择步长，则对于变化平缓部分的计算工作量若按变化剧烈的部分选择步长，则对于变化平缓部分的计算工作量太大，且没有必要的。太大，且没有必要的。因此对整体系统，积分步长选择常常存在很大矛盾，因此对整体系统，积分步长选择常常存在很大矛盾，解决途径：解决途径：变步长数值积分变步长数值积分。数值解的稳定性是在某种算法条件下（例如积分步长），与初始数值解的稳定性是在某种算法条件下（例如积分步长），与初始误差、舍入误差和截断误差有关的积累误差不随计算步数的增加而振荡误差、舍入误差和截断误差有关的积累误差不随计算步数的增加而振荡或发散，则该算法是稳定的，否则就不是
26、稳定的或发散，则该算法是稳定的，否则就不是稳定的。数值解的稳定性数值解的稳定性例如一阶微分方程例如一阶微分方程 ydtdy8 1)0(y应用欧拉算法，当积分步长应用欧拉算法，当积分步长h 0.10，0.25和和0.40时，其误差如表时，其误差如表3.5所示。所示。误差不随计算步数的增加而误差不随计算步数的增加而快速增加，数值解稳定快速增加，数值解稳定 误差呈振荡趋势，误差呈振荡趋势，其数值解不稳定其数值解不稳定 数值解发散数值解发散 本章内容本章内容3.1 微分方程的数值积分数值解微分方程的数值积分数值解 3.1.1 数值积分法数值积分法 3.1.2 数值积分法的分类数值积分法的分类 3.1.
27、3 单步法单步法 3.1.4 多步数值积分法多步数值积分法 3.1.5 关于数值积分的误差关于数值积分的误差3.2 从传递函数到从传递函数到Z函数的转换函数的转换 3.2.1 Z域的离散相似模型域的离散相似模型 3.2.2 从传递函数到从传递函数到Z函数的算子替换法函数的算子替换法3.3 从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换3.4 连续时间结构框图典型环节的离散相似连续时间结构框图典型环节的离散相似 3.2 从传递函数到从传递函数到Z函数的转换函数的转换 nZ域离散相似模型域离散相似模型-Z函数函数离散采样离散采样 零阶信号重构器零阶信号重构器离
28、散采样离散采样 一阶信号重构器一阶信号重构器离散采样离散采样 三角形信号重构器三角形信号重构器n从传递函数从传递函数G(s)转换为转换为Z函数函数G(z)的算子替换方法的算子替换方法欧拉法（零阶近似）欧拉法（零阶近似）屠斯丁（屠斯丁（Tustin）法（一阶近似）法（一阶近似）3.2.1 Z 域离散相似模型域离散相似模型(a)连续时间模型连续时间模型(b)连续时间系统的连续时间系统的Z域离散相似化过程域离散相似化过程)(sG)(tu)(tyT)(sGh)(tu)(ty)(sGT)(zG)(mty)(mtu)(tu图图3.6 连续系统的连续系统的Z域离散化过程域离散化过程 连续时间系统的连续时间系
29、统的Z域离散相似化过程域离散相似化过程 T)(sGh)(tu)(ty)(sGT)(zG)(mty)(mtu)(tun 采样：输入连续信号采样：输入连续信号u(t)离散离散 u(tm)n 保持：离散输入信号保持：离散输入信号u(tm)经信号重构器（经信号重构器（Gh(s)）重构，转换为与）重构，转换为与 原输入信号相似的连续信号原输入信号相似的连续信号 ；n 经系统传递函数经系统传递函数 ；n 将将 离散为离散为 。从从u(tm)到到 之间的离散传递函数之间的离散传递函数G(z)表达式为表达式为 零阶信号重构器（零阶信号重构器（zero-order hold）图图3.8 零阶信号重构器零阶信号重
30、构器 图图3.9 零阶信号重构器的频谱特性零阶信号重构器的频谱特性 零阶信号重构器的传递函数为零阶信号重构器的传递函数为 代入式（代入式（3.23），得），得 )(1)(sGseZzGTs 一阶信号重构器（一阶信号重构器（first-order hold）一阶信号重构器的传递函数为一阶信号重构器的传递函数为 代入式（代入式（3.23），得），得(b)(a)图中虚线框中的放大图图中虚线框中的放大图(a)一阶信号重构器恢复信号示意图；一阶信号重构器恢复信号示意图；图图3.10 一阶信号重构器一阶信号重构器 )(11T)(sGTseTsZzGTs 三角形信号重构器（三角形信号重构器（triangle
31、-hold）代入式（代入式（3.23），得），得三角形信号重构器的传递函数为三角形信号重构器的传递函数为 图图3.12 三角形信号重构器三角形信号重构器 )(1)(sGseTeZzGsTTs 表表3.6 不同信号重构器和系统脉冲传递函数不同信号重构器和系统脉冲传递函数 分别采用零阶、一阶和三角形信号重构器求系分别采用零阶、一阶和三角形信号重构器求系统的统的Z函数。函数。e.g.3.4 系统传递函数为系统传递函数为解解：（1）采用零阶信号重构器采用零阶信号重构器,根据表根据表3.6可得可得sTsesGh 1)(11)(ssG 111111111111111 1 11111111111)1(111
32、)1(11)(1)(zezeTzezezezzezzezzssZzzssZzzssGZzzzGTTTTT 221)1()(TsTseTsTsGh 11)(ssG（2）采用一阶信号重构器采用一阶信号重构器 1211212112222222111111)1()1(1 1 )()1(1)(zzzzzzzzsZzzsssZzzTTssGTsZzzzG 21)(sTseTTsesGh11)(ssG（3）采用三角形信号重构器采用三角形信号重构器 11111112112122222211111)1(111111)1(11 1 )(1)(zezezezzzzsssZzzssZzzTTssGZzzzG 3.2.
33、2 算子替换法算子替换法算子替换法应用算子替换法应用s算子与算子与z算子的转换公式，算子的转换公式，常用的两种替换方法：常用的两种替换方法：欧拉法欧拉法和和屠斯丁法屠斯丁法。1.欧拉法欧拉法)(tuy ssUsYsG1)()()(nnnTuyy 1已知微分方程已知微分方程其传递函数为其传递函数为根据根据 欧拉公式欧拉公式，当积分步长，当积分步长 h=T 时，有时，有两边取两边取 Z 变换变换 zTUzYzzY 1)(zTzUzYzG)1(1 zTs得得 2.屠斯汀（屠斯汀（Tustin）法）法根据根据梯形法梯形法公式，当积分步长公式，当积分步长 h=T 时，有时，有 112 nnnnyyTyy
34、两边取两边取 Z 变换变换)()1(2)()1(zYzTzYz 得得112 zzTs S算子和算子和z算子之间的转换另一种思路算子之间的转换另一种思路TseZ)1(1 zTsz lnT1s 展开台劳级数得展开台劳级数得.1)-z1（Ts截取第一项得到近似式截取第一项得到近似式 截取前二项截取前二项 得到近似式得到近似式112 zzTs（3）离散时间状态表达式）离散时间状态表达式 本章内容本章内容3.1 微分方程的数值积分数值解微分方程的数值积分数值解 3.1.1 数值积分法数值积分法 3.1.2 数值积分法的分类数值积分法的分类 3.1.3 单步法单步法 3.1.4 多步数值积分法多步数值积分
35、法 3.1.5 关于数值积分的误差关于数值积分的误差3.2 从传递函数到从传递函数到Z函数的转换函数的转换 3.2.1 Z域的离散相似模型域的离散相似模型 3.2.2 从传递函数到从传递函数到Z函数的算子替换法函数的算子替换法3.3 从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换3.4 连续时间结构框图典型环节的离散相似连续时间结构框图典型环节的离散相似 3.3 从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换 设连续时间系统的状态空间表达式为设连续时间系统的状态空间表达式为 该连续状态方程的解为该连续状态方程的解为 其
36、中其中 (a)连续时间线性状态空间表达式连续时间线性状态空间表达式(b)线性状态空间表达式的时间离散线性状态空间表达式的时间离散)(txBuAxx DuCxy )(ty)(tu)(tu)(txBuAxx TT)(*tx)(*tu)(tuDuCxy )(tyT)(*ty信号重构器信号重构器)(mtu)(mtx)(mty应用离散相似方法对上述连续系统进行离散相似，如图所示应用离散相似方法对上述连续系统进行离散相似，如图所示 n对输入连续信号对输入连续信号 离散采样离散采样n离散的输入信号离散的输入信号 应用（不同）重构器构成与原输入连续信号应用（不同）重构器构成与原输入连续信号相似的重构连续信号相
37、似的重构连续信号 ；n 经系统状态方程经系统状态方程 ：重构状态变量重构状态变量 经采样输出离散的重构状态变量经采样输出离散的重构状态变量n 和和 经输出方程经输出方程 T T T信信号号重重构构器器)(tu)(txBuAxx TT)(*tx)(*tu)(tuDuCxy )(tyT)(*ty信号重构器信号重构器)(mtu)(mtx)(mty离散离散 设采样间隔为设采样间隔为T，mT 和和(m+1)T 为两个依次相连的采样瞬间，将为两个依次相连的采样瞬间，将tm=mT和和tm+1=(m+1)T分别代入状态方程的解，有分别代入状态方程的解，有)35.3()()()1()1()1(duBemTxeT
38、mxTmmTTmAAT )34.3()()0()1()33.3()()0()1(0)1()1(0)(duBexeTmxduBexemTxTmTmATmAmTmTAAmT 式式(3.34)减去式减去式(3.33)与与eAT的乘积，得的乘积，得)36.3()()()1(0)(duBemTxeTmxTTAAT 离散时间状态空间表达式的离散模型（零阶、一阶）离散时间状态空间表达式的离散模型（零阶、一阶）式（式（3.35）中）中 与与m无关，令无关，令m0，可得，可得 设在输入端加采样间隔为设在输入端加采样间隔为T的开关和零阶信号重构器，有的开关和零阶信号重构器，有 u(mT+T)u(mT),0 t T
39、 输入信号零阶重构的离散状态空间表达式输入信号零阶重构的离散状态空间表达式(3.39)1()1()1()()()()()1(TmDuTmCxTmymTuTmTxTTmxm 其中其中 TTAmBdeT0)()(utmTTm)1()(mTu)1(Tmu 实际值实际值零阶重构近似零阶重构近似输入量输入量u(t)的采样和零阶重构近似的采样和零阶重构近似如图所示，式是在假设输入量如图所示，式是在假设输入量在采样间隔中保持常量推导出在采样间隔中保持常量推导出来的，但实际上来的，但实际上u(t)是变化的，是变化的，所以零阶重构近似处理的误差所以零阶重构近似处理的误差如图示。如图示。若在输入端加采样间隔为若在
40、输入端加采样间隔为T的开关和一阶信号重构器，的开关和一阶信号重构器，有有(3.41)()()1()()()(mTumTutTTmumTumTutmTu则则 (3.42)1()1()1()()()()()()()1(1TmDuTmCxTmymTuTmTuTmTxTTmxmm 其中其中utmTTm)1()(mTu)1(Tmu 实际值实际值一阶重构近似一阶重构近似 输入信号一阶重构的离散时间状态空间表达式输入信号一阶重构的离散时间状态空间表达式 转移矩阵转移矩阵 ，的近似计算的近似计算 在状态方程的时域离散相似中，关键问题是计算系统的转移矩阵在状态方程的时域离散相似中，关键问题是计算系统的转移矩阵
41、和和 。在式（。在式（3.32）中给出了求解）中给出了求解 的的拉氏逆变拉氏逆变换公式（解析解）换公式（解析解），但是在高阶或多输入多输出系统很难通过解析方法但是在高阶或多输入多输出系统很难通过解析方法求解，但是可以应用数值方法进行近似计算。求解，但是可以应用数值方法进行近似计算。应用数值方法进行求解是基于泰勒级数展开方法应用数值方法进行求解是基于泰勒级数展开方法 设设x=AT，对于零阶和一阶信号重构，有，对于零阶和一阶信号重构，有 0!)()(mmATmATeT TTAmBdeT0)()(泰勒级数展开泰勒级数展开 设设x=AT，零阶信号重构零阶信号重构 一阶信号重构一阶信号重构（与零阶信号重
42、构相同）（与零阶信号重构相同）n相似变换法相似变换法n最小多项式计算法最小多项式计算法n 请查阅有关参考文献。请查阅有关参考文献。转换状态空间表达式时间离散模型的其它方法转换状态空间表达式时间离散模型的其它方法 解解：CxyBuAxx )1()1()()()()()1(TmCxTmymTuTmTxTTmxm 求转移矩阵求转移矩阵（拉氏逆变换法）（拉氏逆变换法）（1）e.g.3.4 系统传递函数为系统传递函数为 ，分别用转移矩阵的拉氏，分别用转移矩阵的拉氏逆变换法和级数展开法表示离散时间的状态空间表达式（可控标准型）逆变换法和级数展开法表示离散时间的状态空间表达式（可控标准型）（2）级数展开法）
43、级数展开法 )1()1()()()()()1(TmCxTmymTuTmTxTTmxm 22211002010101010!2!1!0!TTETATATAkTAkkk 取前三项近似，得取前三项近似，得 BkATTTkkm 0)!1()()(取前三项近似，得取前三项近似，得 11611201)(32TTTTm 本章内容本章内容3.1 微分方程的数值积分数值解微分方程的数值积分数值解 3.1.1 数值积分法数值积分法 3.1.2 数值积分法的分类数值积分法的分类 3.1.3 单步法单步法 3.1.4 多步数值积分法多步数值积分法 3.1.5 关于数值积分的误差关于数值积分的误差3.2 从传递函数到从
44、传递函数到Z函数的转换函数的转换 3.2.1 Z域的离散相似模型域的离散相似模型 3.2.2 从传递函数到从传递函数到Z函数的算子替换法函数的算子替换法3.3 从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换从连续时间状态方程到离散时间状态方程的转换3.4 连续时间结构框图典型环节的离散相似连续时间结构框图典型环节的离散相似 3.4 几个典型环节的状态空间表达式离散相似模型几个典型环节的状态空间表达式离散相似模型 积分环节积分环节 比例比例-积分环节积分环节 惯性环节惯性环节 比例比例-惯性环节惯性环节 积分环节积分环节（1）传递函数）传递函数（2）可观标准型的状态空间表达式）可观标准型的状态空间表
45、达式其中其中（3）离散状态表达式）离散状态表达式 比例比例-积分环节积分环节（1）传递函数）传递函数（2）可观标准型的状态空间表达式）可观标准型的状态空间表达式其中其中（3）离散时间状态表达式）离散时间状态表达式 惯性环节惯性环节（1）传递函数）传递函数其中其中（3）离散时间状态表达式）离散时间状态表达式（2）可观标准型的状态空间表达式）可观标准型的状态空间表达式 比例比例-惯性环节惯性环节（1）传递函数）传递函数其中其中（2）可观标准型的状态空间表达式）可观标准型的状态空间表达式 积分环节的四种连续时间数学模型积分环节的四种连续时间数学模型（2）传递函数）传递函数（3）状态空间表达式）状态空
46、间表达式其中其中（1）微分方程）微分方程Kuy（4）结构框图）结构框图 积分环节的四种离散模型积分环节的四种离散模型离散时间周期（离散时间周期（T）（4）离散结构框图）离散结构框图（3）离散状态空间表达式）离散状态空间表达式（1）差分方程）差分方程（欧拉法）欧拉法）TKuyTyyynnnn 1（2）Z函数函数1)(zKTzG1zKT)1(1zTs 算子替换算子替换（欧拉法）（欧拉法）比例积分环节比例积分环节的四种连续时间数学模型的四种连续时间数学模型（2）传递函数）传递函数（3）状态空间表达式）状态空间表达式其中其中（1）微分方程）微分方程1uKKuy（4）结构框图）结构框图 比例积分环节比例
47、积分环节的四种离散模型的四种离散模型（4）离散结构框图）离散结构框图（3）离散状态空间表达式）离散状态空间表达式（1）差分方程）差分方程 （欧拉法）（欧拉法）)(11nnnnnnuKKuTyTyyy（2）Z函数函数算子替换算子替换(图斯汀法图斯汀法)1)1(2)1()(KzzKTzG1)1(2)1(KzzKT112zzTs离散时间周期（离散时间周期（T）惯性环节惯性环节的四种连续时间数学模型的四种连续时间数学模型（2）传递函数）传递函数（3）状态空间表达式）状态空间表达式其中其中（1）微分方程）微分方程Kuayy（4）结构框图）结构框图 惯性环节惯性环节的四种离散时间模型的四种离散时间模型（4
48、）离散）离散Z域结构框图域结构框图（3）离散状态空间表达式）离散状态空间表达式（1）差分方程）差分方程（欧拉法）（欧拉法）)(1nnnnnnayKuTyTyyy（2）Z函数函数 算子替换算子替换（欧拉法）（欧拉法）)1(1zTsaTzKTzG1)(aTzKT1离散周期（离散周期（T）比例惯性环节比例惯性环节的四种连续时间数学模型的四种连续时间数学模型（2）传递函数）传递函数（3）状态空间表达式）状态空间表达式其中其中（1）微分方程）微分方程uKaKuKayy)(11（4）结构框图）结构框图 比例惯性环节比例惯性环节的四种离散时间模型的四种离散时间模型（4）离散）离散Z域结构框图域结构框图（3）离散状态空间表达式）离散状态空间表达式（1）差分方程）差分方程（欧拉法）（欧拉法）)(111nnnnnayuKaKuKTyy（2）Z函数函数算子替换算子替换(欧拉法欧拉法)11)(KaTzKTzG11KaTzKT)1(1zTs离散时间周期（离散时间周期（T）
