1、1 第二章第二章 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质目目 录录1、静电场中的导体、静电场中的导体2、电容、电容 电容器电容器3、静电场中的电介质、静电场中的电介质4、有电介质存在的静电场的基本定理、有电介质存在的静电场的基本定理 5、静电场的能量、静电场的能量2 引言：引言：由于电场与物质之间相互影响、相互制约，故只能根由于电场与物质之间相互影响、相互制约，故只能根据静电场遵守的普遍规律（如高斯定理、环路定理）去研究电据静电场遵守的普遍规律（如高斯定理、环路定理）去研究电场与电荷之间关系，并联系物质本身的电性质，来同时确定物场与电荷之间关系，并联系物质本身的电性质，来同时确定物质上的
2、电荷分布与电场的空间分布质上的电荷分布与电场的空间分布.静电场中的导体静电场中的导体一、静电感应和静电平衡一、静电感应和静电平衡v 静电感应静电感应 在外电场作用下在外电场作用下,自由电子做宏观的定向自由电子做宏观的定向移动移动,电荷在导体上重新分布电荷在导体上重新分布,使导体带电使导体带电.v 静电平衡状态静电平衡状态 在平衡状态下，导体内部和表面都在平衡状态下，导体内部和表面都没有电荷的宏观移动没有电荷的宏观移动.E+-EE=03v 静电平衡时的特点静电平衡时的特点场强特点：场强特点：0 内内E表面表面表面表面 E 静电平衡条件是由导体的电结构特征和静电平衡的要求决静电平衡条件是由导体的电
3、结构特征和静电平衡的要求决定的定的,与导体的形状与导体的形状,大小无关大小无关.由于导体表面必为等势面，所以有导体时，导体外的场强由于导体表面必为等势面，所以有导体时，导体外的场强分布必受导体表面形状的控制和调整。静电透镜就是根据这分布必受导体表面形状的控制和调整。静电透镜就是根据这种基本原理设计的。种基本原理设计的。电势特点电势特点:导体是等势体导体是等势体(静电平衡条件的另一种表述静电平衡条件的另一种表述);导体表面是等势面导体表面是等势面.EEE 0内内其中：其中：是感应电荷是感应电荷q 产生的场。产生的场。E 在导体内在导体内4静电透镜电场等势面分布示意图静电透镜电场等势面分布示意图5
4、二、导体上电荷的分布规律二、导体上电荷的分布规律 导体所带电荷只能分布在导体表面导体所带电荷只能分布在导体表面,导体内部导体内部(包括内表包括内表 面面)净电荷处处为零净电荷处处为零.处于静电平衡状态的导体，其电荷分布有以下特点处于静电平衡状态的导体，其电荷分布有以下特点证明证明:对导体对导体 体内任意闭合曲面体内任意闭合曲面S，S导体导体PdV由由高斯定理高斯定理 vsdVSdE 01而静电平衡条件而静电平衡条件0 0 内内E6 导体表面上各处的面电荷密度与该处表面外紧相邻的电场导体表面上各处的面电荷密度与该处表面外紧相邻的电场强度大小成正比强度大小成正比.即即E SE内内=00d iqSE
5、E0 0ddddd SSESESESESESE 上底上底侧面侧面下底下底上底上底E0 由导体静电平衡条件由导体静电平衡条件:表面附近场强垂直于表面，故得表面附近场强垂直于表面，故得证明证明:如图，取与表面平行的导体内外附近两个小面元如图，取与表面平行的导体内外附近两个小面元 为为底面，侧面垂直表面的小圆柱面底面，侧面垂直表面的小圆柱面.由由高斯定理高斯定理S 7 孤立导体的面电荷密度与其表面的曲率有关孤立导体的面电荷密度与其表面的曲率有关,曲率越大面曲率越大面 电荷密度越大电荷密度越大.说明：设细导线连接两球体说明：设细导线连接两球体,整体可看成孤立体整体可看成孤立体,且两球保且两球保持等势体
6、持等势体;细导线很长细导线很长,忽略两球之间的静电感应忽略两球之间的静电感应,两球可近似两球可近似看成孤立导体看成孤立导体BrARqQRQUA041 A球球rqUB041 B球球BAUU RrrR v 表面突出尖锐部分曲率大表面突出尖锐部分曲率大,电荷密度大电荷密度大;v 表面比较平坦部分曲率小表面比较平坦部分曲率小,电荷密度小电荷密度小;v 表面凹进部分曲率为负表面凹进部分曲率为负,电荷密度最小电荷密度最小.结论：对于孤立带电体，其电荷分布将只取决于导体自身的形状结论：对于孤立带电体，其电荷分布将只取决于导体自身的形状8尖端放电尖端放电(电晕现象电晕现象):对于具有尖端的带电导体对于具有尖端
7、的带电导体,在尖端处的场强特别强在尖端处的场强特别强.空气中空气中残留的离子在强电场作用下将剧烈运动残留的离子在强电场作用下将剧烈运动,并获得足够大的动能并获得足够大的动能与空气分子碰撞而产生大量的离子，使其电离与空气分子碰撞而产生大量的离子，使其电离.电离的粒子与电离的粒子与尖端上的电荷中和，即形成所谓的尖端放电，同时形成可看尖端上的电荷中和，即形成所谓的尖端放电，同时形成可看得见的光晕，称做电晕得见的光晕，称做电晕.尖端放电的典型应用就是避雷针尖端放电的典型应用就是避雷针.导体尖端能产生强电场这一现象，在现代科学技术中导体尖端能产生强电场这一现象，在现代科学技术中有相当广泛的应用有相当广泛
8、的应用.利用该原理制造的场致发射显微镜其放利用该原理制造的场致发射显微镜其放大率可高达大率可高达200万倍，是分析金属微观结构的有效设备万倍，是分析金属微观结构的有效设备.v注意：导体表面电荷的面密度不仅与该处的曲率半径有关，注意：导体表面电荷的面密度不仅与该处的曲率半径有关，还与周围的带电体有关，关系复杂还与周围的带电体有关，关系复杂.9场致发射显微镜场致发射显微镜范德格拉夫静电加速器范德格拉夫静电加速器10三、导体空腔和静电屏蔽三、导体空腔和静电屏蔽静电平衡时导体空腔电荷分布特点静电平衡时导体空腔电荷分布特点:1.导体空腔无带电体的情况导体空腔无带电体的情况 腔内无带电体时腔内无带电体时,
9、导体的电荷只分布在它的外表面上导体的电荷只分布在它的外表面上,空腔空腔内处处场强为零，空腔内的电势处处相等内处处场强为零，空腔内的电势处处相等.反证：设内表面上有等量异号电荷反证：设内表面上有等量异号电荷 画一根电力线画一根电力线 电力线首尾处电势不等电力线首尾处电势不等(和导体等势相矛盾和导体等势相矛盾)内表面不可内表面不可能有电荷。能有电荷。若导体腔内无其它带电体若导体腔内无其它带电体证明证明:在导体腔内、外表面之间作一高斯面在导体腔内、外表面之间作一高斯面.由高斯定理得内表由高斯定理得内表面上面上010 isqSdE112.导体空腔有带电体的情况导体空腔有带电体的情况 腔内有其它带电体时
10、腔内有其它带电体时,导体空腔的内表面所带电荷与腔内导体空腔的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零电荷的代数和为零.空腔内各点的场强分布由空腔内电荷及空空腔内各点的场强分布由空腔内电荷及空腔内表面电荷的分布唯一地确定。腔内表面电荷的分布唯一地确定。证明：（证明：（1）在导体空腔内、外表面之间作高斯）在导体空腔内、外表面之间作高斯 面，由高斯定面，由高斯定 理得理得 010 isqSdE可见，可见，S面内总电量为零。而空腔内有带电体面内总电量为零。而空腔内有带电体q，故内表面，故内表面必定带电必定带电q。（2）由于静电平衡时，导体内场强处处为零，电场线不）由于静电平衡时，导体内场强处处为零，电场线
11、不能穿越，因此，导体空腔将空间能穿越，因此，导体空腔将空间“分割分割”成了两部分。成了两部分。腔内场腔内场强分布由腔内带电体及内表面电荷的分布唯一地确定，不受强分布由腔内带电体及内表面电荷的分布唯一地确定，不受外部场强的影响，起着静电屏蔽的作用。外部场强的影响，起着静电屏蔽的作用。12 若将空腔导体接地，使外表面不再带电，外部便无电场，若将空腔导体接地，使外表面不再带电，外部便无电场，从而可保护腔外空间不受腔内带电体的影响从而可保护腔外空间不受腔内带电体的影响外壳不接地外壳不接地外壳接地外壳接地 总之，接地的导体空腔可以有效地消除内、外电荷产生的总之，接地的导体空腔可以有效地消除内、外电荷产生
12、的电场的相互影响电场的相互影响,实现实现静电屏蔽静电屏蔽.金属壳是极好的导体空腔。金属壳是极好的导体空腔。讨论：导体空腔虽然能使它包围的空间不受外部电荷产生的讨论：导体空腔虽然能使它包围的空间不受外部电荷产生的 电场的影响，但无法阻止空腔内部电荷对外部电场的影响电场的影响，但无法阻止空腔内部电荷对外部电场的影响 13例题例题2-1-1:无限大带电平面场中平行放置一无限大金无限大带电平面场中平行放置一无限大金属平板属平板.求求:金属板两面电荷面密度？金属板两面电荷面密度？联立联立(1)和和(2)可得可得:220201 设带电平面面电荷密度设带电平面面电荷密度 0,导体感应两面电荷面密度导体感应两
13、面电荷面密度 1 和和 2(均设为正均设为正)电荷守恒电荷守恒:021 (1)解解:0 1 20222020100 (2)0210 EEE导体内场强为零导体内场强为零(三层电荷产生三层电荷产生)14例题例题2-1-2 导体球导体球A(带电带电q)与导体球壳与导体球壳B(带电带电Q)同心同心放置放置.求求:1)各表面电荷分布各表面电荷分布;2)A的电势的电势UA,B的电势的电势UB;3)将将B接地接地,各表面电荷分布各表面电荷分布;4)将将B的地线拆掉的地线拆掉,再将再将A接地接地,此时各表面电荷分布此时各表面电荷分布.解：解：1)导体球导体球A的电荷的电荷q 只分布在只分布在A 的的表面，导体
14、表面，导体B有两个表面有两个表面,在两表在两表面上电荷均匀分布面上电荷均匀分布.在两表面间做在两表面间做一高斯面可知一高斯面可知qQB 内内由电荷守恒由电荷守恒qQQB 外外AqQBAq-qBQ+q1530201020204444d)(4d32133221RqQRqRqrrqQrrql dEl dEl dEl dEURRRRRRRRAA 302010444RqQRqRqUA 方法二：电势叠加法方法二：电势叠加法,导体组可看成三层均匀带电球面导体组可看成三层均匀带电球面Aq-qBQ+q方法一：场强积分方法一：场强积分2)A的电势的电势UA16方法一：场强积分方法一：场强积分B的电势的电势UB:3
15、02044d)(3332RqQrrqQl dEl dEl dEURRRRBB 303030304444RqQRqQRqRqUB 方法二：电势叠加法方法二：电势叠加法Aq-qBQ+q17根据电势叠加根据电势叠加:0444302010应该应该 RqqRqRqUAqRRRRRRRRq31322121 得得3)将将B接地接地,A分布分布q,B内表面分布内表面分布 q,外外表面为零表面为零;AqqB4)将将B地线拆掉后地线拆掉后,将将A接地接地,此时此时A上电上电荷为荷为 q,B内表面内表面 q ,外表面为外表面为q+q.ABq q qq 18例题例题2-1-3 一个金属球内有两个球形空腔，两空腔中心一
16、个金属球内有两个球形空腔，两空腔中心相距为相距为a，它们的联线通过球心；在两腔中心各有一个，它们的联线通过球心；在两腔中心各有一个点电荷，电量分别为点电荷，电量分别为 。球外有一电荷量为。球外有一电荷量为q的点电的点电荷，处在荷，处在 到到 的延长线上，到的延长线上，到 的距离为的距离为b。已知。已知金属球上所有电荷量的代数和为零。试求金属球上的电金属球上所有电荷量的代数和为零。试求金属球上的电荷作用在荷作用在 的力。的力。21,qq1q2q1q2q1q2qqab19解金属球上的电荷包括金属球外表面上的电荷和两腔内解金属球上的电荷包括金属球外表面上的电荷和两腔内表面上的电荷。根据对称性和高斯定
17、理，两腔内表面上的电表面上的电荷。根据对称性和高斯定理，两腔内表面上的电荷量分别为荷量分别为 和和 ，它们都均匀分布在各自内腔表面上，它们都均匀分布在各自内腔表面上。故。故 作用在作用在 上的力为上的力为1q 1q 2q2q 由于金属球上所有电荷量的代数和为零，故在它的外表面的由于金属球上所有电荷量的代数和为零，故在它的外表面的电荷量为电荷量为 ，其中，其中 和和 都均匀分布在外表面上都均匀分布在外表面上，故作用在，故作用在 上的力都为零。上的力都为零。qqq 211q2q2q2q 由于是均匀分布在球面上，故它作用在由于是均匀分布在球面上，故它作用在 的力为零。的力为零。即即 2q022 F
18、122210122120214141eaqqeaqqF 式中式中 是从是从 指向指向 的单位矢量的单位矢量1q2q12e20q q 是是 所引起的感应电荷，所引起的感应电荷，和和 在导体内产生的场强互在导体内产生的场强互相抵消，处处为零，故相抵消，处处为零，故 作用在作用在 上的力便等于上的力便等于 作用在作用在 上的力的负值，即上的力的负值，即q qq q2q2q 12220241ebaqqF 122210222124ebaqaqqFFF于是得出，金属球上的电荷作用在于是得出，金属球上的电荷作用在 上的力为上的力为2q21 电容电容 电容器电容器定义定义电容电容:UQC 一、孤立导体的电容一
19、、孤立导体的电容RQU04 孤立孤立导体球的电势导体球的电势:当当R确定时确定时,const.40 RUQ例例:用孤立导体球要得到用孤立导体球要得到1F 的电容，球半径为大？的电容，球半径为大？eRR39010)m(1099.841 单位单位:1F（法拉（法拉）=1C/V=pFFmF1263101010 RQ22二、导体组的电容二、导体组的电容21UUQC 由静电屏蔽知道由静电屏蔽知道,导体壳内部的场只由腔内电量导体壳内部的场只由腔内电量Q和几何尺和几何尺寸及介质决定寸及介质决定,由靠近的两金属板所组成的系统由靠近的两金属板所组成的系统就是一种就是一种电电容器容器.其比值则定义为它的电容其比值
20、则定义为它的电容 实际应用中实际应用中,要设计一种导体组合要设计一种导体组合,使其具备以下两点特使其具备以下两点特点点,这类导体系统称为电容器这类导体系统称为电容器.v 电容大电容大,体积小体积小;v 导体组合的电容不受其它物体的影响导体组合的电容不受其它物体的影响.取无穷远处为电势取无穷远处为电势0点和取大地为电势点和取大地为电势0点应注意什么问题点应注意什么问题?思考题：思考题：23三、三、几种典型的电容器几种典型的电容器及电容及电容dS1)平行板电容器平行板电容器板间场强：板间场强：SQE00 SQdEdUU021 电势差：电势差：dSUUQC0210 电容：电容：rE02 2)圆柱形电
21、容器圆柱形电容器2R1R241200ln22d21RRrrURR 120210ln2RRlUUQC 204rQE 21020114d421RRQrrQURR 122102104RRRRUUQC3)球形电容器球形电容器1R2R25结论结论:v 电容器大小只决定于电容器极板的形状电容器大小只决定于电容器极板的形状,大小大小,相对位置相对位置以及板间电介质的性质以及板间电介质的性质,而与电容器所带电量和两板间电压而与电容器所带电量和两板间电压无关无关.v 计算电容的一般步骤计算电容的一般步骤:1)设电容器两个极板带有等量异号电荷设电容器两个极板带有等量异号电荷;2)求出极板间的电场强度分布求出极板间
22、的电场强度分布;3)计算两板间的电势差计算两板间的电势差;4)由电容器电容的定义式求电容由电容器电容的定义式求电容.例题例题2-2-1：半径都是：半径都是a的两根平行长直导线相距为的两根平行长直导线相距为d（da），求单位长度的电容），求单位长度的电容?（实际上任何导体之间都存在电容，如导线之间、人体与仪器（实际上任何导体之间都存在电容，如导线之间、人体与仪器 之间等，称为之间等，称为分布电荷分布电荷。）。）26解：设两导线单位长度带电解：设两导线单位长度带电 .则二导线垂直截面则二导线垂直截面 联线上联线上p点场强为点场强为 oo ixdxE 1120 adaadln22ln200 adUC
23、ABln20 x xxxdd+-p0 0两导线的电势差为两导线的电势差为dxxdxxdEUBAadaAB 2011227五、电容器的五、电容器的连接连接2.电容器的电容器的连接方式连接方式1.电容器电容器主要性能参数主要性能参数,电容器电容器的标称值的标称值电容量（电容量（C）击穿电压（击穿电压（V）并联并联:21CCC 21QQQ 21UUU 串联串联:QQQ 2121UUU 21111CCC 28例题例题2-2-2 五个电容联接如图，五个电容联接如图，己知己知 ，试求试求A、B间电容间电容.FCFCCCC 0.10.425431 ，1C4C3C2C5CBA解：解：把原图变换成右图，就可看出
24、，因把原图变换成右图，就可看出，因故为对称的桥路电容故为对称的桥路电容.若在若在A、B两点间加上电压，则两点间加上电压，则E、D两点间的电势相等，因此两点间的电势相等，因此 可以去掉，即让可以去掉，即让 ，而不，而不影响的影响的 值，便得值，便得5431CCCC ABC02 C2C1C3C2C5C4CBAED29FCCCCCCCCCCCCAB 0.42211151514343 或者，把或者，把 短路，即让短路，即让 ，也，也 不影响的值，不影响的值，这样便得这样便得2C 2CABC FCCCCCCCCCCCCCAB 0.4422111153415341 两种方法结论相同两种方法结论相同30 静
25、电场中的电介质静电场中的电介质1.电介质与导体的区别电介质与导体的区别一、电介质及其极化一、电介质及其极化电介质电介质导体导体导电性导电性不导电不导电导电导电在静电场中在静电场中 电子和原子核在电场电子和原子核在电场力作用下在原子范围内力作用下在原子范围内作微观的相对位移作微观的相对位移 自由电子在电自由电子在电场力作用下脱离场力作用下脱离所属原子作宏观所属原子作宏观移动移动 静电平衡时静电平衡时内部场强内部场强E 0内部场强内部场强E=0312.电介质的极化电介质的极化1)电介质微观模型电介质微观模型v 分子正分子正,负电荷分布在一个线度为负电荷分布在一个线度为10 10m数量级体积内数量级
26、体积内;v 分子内存在正分子内存在正,负电荷中心负电荷中心;v 分子是由正分子是由正,负点电荷相隔一定距离组成的负点电荷相隔一定距离组成的电偶极子电偶极子.2)电介质类型电介质类型 分子内部电荷分布的对称性决定于分子的正分子内部电荷分布的对称性决定于分子的正,负电荷中心负电荷中心的重合性的重合性.有极分子：正、负电荷中心不重合有极分子：正、负电荷中心不重合.如如 等；等；无极分子：正负电荷中心重合无极分子：正负电荷中心重合.如如 等。等。2222COOHN、COOHHCI、232几种有极分子的固有电矩几种有极分子的固有电矩6.1 10 30H2O0.9 10 30CO4.8 10 30NH33
27、.4 10 30HCl电矩电矩(C.m)电介质电介质3)电介质的极化方式电介质的极化方式a)有极分子的有极分子的取向极化取向极化无电场时无电场时+E有电场时有电场时+束缚束缚电荷电荷外场外场ff 33分子有固有电矩分子有固有电矩0 分子分子p无外电场：由于热运动而杂乱无章无外电场：由于热运动而杂乱无章0 分子分子p按外电场方向排列按外电场方向排列0 分子分子p分子分子p有外电场：有外电场：b)无极分子的无极分子的位移极化位移极化无电场时无电场时 有电场时有电场时+E束缚束缚电荷电荷无外电场：无外电场：0 分子分子p外场外场qq 340 分子分子p 有外电场时，正负电荷中心产生相对位移，按外电场
28、方向有外电场时，正负电荷中心产生相对位移，按外电场方向排列称位移极化排列称位移极化.极化电荷只能在分子范围内移动，故称束缚极化电荷只能在分子范围内移动，故称束缚电荷电荷。因此，两类电介质极化的机制不同因此，两类电介质极化的机制不同,但极化的宏观效果都但极化的宏观效果都是使电介质表面出现束缚电荷是使电介质表面出现束缚电荷.二、电极化强度矢量二、电极化强度矢量pnlnqVpP 分子分子单位：单位：C.m221.电极化强度矢量电极化强度矢量 定义：单位体积内的电矩矢量和定义：单位体积内的电矩矢量和.是描述电介质极化是描述电介质极化程度的物理量程度的物理量.352.电极化强度矢量与束缚电荷之间关系电极
29、化强度矢量与束缚电荷之间关系nPSq dd 束缚面电荷密度束缚面电荷密度:证明：证明：以非极性分子电介质为例，考虑电介质表面小面元以非极性分子电介质为例，考虑电介质表面小面元dS处的电极化处的电极化.以以q表示每个分子的正电荷量，表示每个分子的正电荷量，n表示单位体积内分子数，则表示单位体积内分子数，则由于电极化而移出由于电极化而移出dS面的总电荷为面的总电荷为 如图，在电场如图，在电场E的作用下，分子的正负电的作用下，分子的正负电荷的重心沿电场方向发生位移荷的重心沿电场方向发生位移 .在面元在面元dS取一斜高为取一斜高为 、底面积为、底面积为dS的体积元的体积元dV.则则此体积内所有分子的正
30、电荷重心将移出此体积内所有分子的正电荷重心将移出dS外而成为束缚电荷外而成为束缚电荷.llds nlp36cosqnldSqndVqd SdPdSPqdPnppql cos，nz n 讨论：如图，当讨论：如图，当 为锐角时，为锐角时，电介质表面将出现一层正极化电电介质表面将出现一层正极化电荷；当荷；当 为钝角时，电介质表面为钝角时，电介质表面将出现一层负极化电荷将出现一层负极化电荷.nPPdSqdcos ds nlp37 在电介质内部取一任意闭合曲面在电介质内部取一任意闭合曲面S.则通过整个闭合曲面则通过整个闭合曲面S向外移动极化电荷总量应为向外移动极化电荷总量应为 sSdPq 根据电荷守恒定
31、律，这等于闭合曲面根据电荷守恒定律，这等于闭合曲面S内净余的极化内净余的极化电荷总量的负值，故有电荷总量的负值，故有 sisqSdPiP vssvdVqdVPSdP利用数学上的高斯定理，有利用数学上的高斯定理，有38实验表明，实验表明，各向同性电介质各向同性电介质的极化规律是的极化规律是EEPre00)1(0EE 电介质内部实际的电场强度电介质内部实际的电场强度EEE 0原来的外场原来的外场退极化场退极化场 e:电极化率电极化率,:,:相对介电常数相对介电常数 ，r v E 不是原来的外场强不是原来的外场强,是总场强。是总场强。注意注意:e e v 是单位为是单位为1的量的量.与电介质的性质有
32、关与电介质的性质有关,若是均匀电介质，若是均匀电介质，则各点的则各点的 值相同值相同.若是不均匀电介质，则呈现不同的极化规若是不均匀电介质，则呈现不同的极化规律如各向异性电介质、铁电体（压电效应）、永电体等律如各向异性电介质、铁电体（压电效应）、永电体等.3、电介质的极化规律、电介质的极化规律39例题例题2-3-1 半径半径R 的介质球被均匀极化的介质球被均匀极化,极化强度为极化强度为求求:1)介质球表面电荷的分布介质球表面电荷的分布;2)极化电荷在球心处极化电荷在球心处 的场的场强强?P由此可知由此可知,右半球面上右半球面上左半球面上左半球面上0 0 02 处处1)球面上任一点球面上任一点
33、cosPnP 解解:Pnx dS 0处处最大最大402)在球面上取环带，则在球面上取环带，则dcossin22RP 在球心处的场在球心处的场 dcossin2cos4dd2020PRqE 00203dcossin2d PPEE 沿沿x 轴方向轴方向Px d dsin2d2Rq 41例题例题2-3-2:平行板电容器原场强为平行板电容器原场强为 .在平行板电容器在平行板电容器中充满极化率为中充满极化率为 的电介质的电介质.求求:电介质中的场强电介质中的场强.E 0E000 EEE又又EPe0 P EEPEEe 000rreEEE 0001 在平行板电容器中充满极化率在平行板电容器中充满极化率 e
34、的介质，其场强为的介质，其场强为解解:0Ee rr 1 思考：以上结论有何意义？思考：以上结论有何意义？42 有电介质存在的静电场的基本定理有电介质存在的静电场的基本定理一、有电介质时的高斯定理一、有电介质时的高斯定理PED 0 引入电位移矢量引入电位移矢量 高斯定理高斯定理:通过任意闭合曲面的电位移通量等于此闭合曲通过任意闭合曲面的电位移通量等于此闭合曲面所包围的自由电荷的代数和面所包围的自由电荷的代数和.有电介质时的高斯定理为有电介质时的高斯定理为 sSqSD0d43 高斯定理在有电介质存在时仍成立高斯定理在有电介质存在时仍成立.但高斯面内所包含的但高斯面内所包含的应是自由电荷应是自由电荷
35、 和极化电荷和极化电荷 ,即即 qqSE001d sSqSPE00d 公式推导公式推导:定义电位移矢量定义电位移矢量PED 0 0qq 又又 ssqSdP将前式乘以将前式乘以 ，与后式相加，即得，与后式相加，即得0 44则得到有介质时的高斯定理则得到有介质时的高斯定理 sSqSD0d说明：说明：电位移矢量电位移矢量D只是一个辅助物理量，真正描述电场的物只是一个辅助物理量，真正描述电场的物 理量仍是理量仍是E.引出引出D的好处是可以绕开极化电荷把静电场规的好处是可以绕开极化电荷把静电场规 律表述出来，同时也为求解电场带来方便律表述出来，同时也为求解电场带来方便.对于各向同性的电介质对于各向同性的
36、电介质 EEPre001 PED 0 EEDr 0值是值是D值的值的 倍倍E上式表明上式表明:（绝对介电常数绝对介电常数）0 r 45故对各向同性电介质，其电场强度计算故对各向同性电介质，其电场强度计算 siSqSD0dED 先用先用1)2)再用再用计算计算D.求求E.对有电介质静电场的高斯定理的微分形式对有电介质静电场的高斯定理的微分形式 vssvdVqdVDSdD00 利用数学上的高斯定理利用数学上的高斯定理由于对任何空间体积上述积分都成立，故有由于对任何空间体积上述积分都成立，故有0 D46二二.有介质电场的环路定理有介质电场的环路定理 自由电荷产生的外电场自由电荷产生的外电场 及极化电
37、荷产生的退极化场及极化电荷产生的退极化场 都都是保守场，均满足环路定理，即是保守场，均满足环路定理，即0EE LLl dEl dE000 00 LLl dEl dEE 0 SdEl dEsL利用数学上的斯托克斯定理，有利用数学上的斯托克斯定理，有环路定理的微分形式环路定理的微分形式0 E47 三三.介质分界面两侧电场之间的边值关系介质分界面两侧电场之间的边值关系 介质分界面两侧的电场场强切向分量连续介质分界面两侧的电场场强切向分量连续.ttEE21 介质分界面两侧电场之间满足的关系称为边值关系介质分界面两侧电场之间满足的关系称为边值关系.研究空研究空间存在不同介质的静电场问题时，边界关系是非常
38、重要的。间存在不同介质的静电场问题时，边界关系是非常重要的。122E1En21T证：证：如图，在电介质的分界面上，如图，在电介质的分界面上，取一极小的矩形环路取一极小的矩形环路L，令其，令其长为长为 ，宽为，宽为 。llll当当 时时，由环路定理知，由环路定理知 021lElEl dEttL0l2211 ttDD 各向同性介质各向同性介质48nnDD21 介质分界面两侧电场的电位移矢量法向分量连续介质分界面两侧电场的电位移矢量法向分量连续.ttEE21 故有故有122D1Dn21Sh证：在介质分界面处，跨越分证：在介质分界面处，跨越分 界面作一极小的圆柱闭合曲界面作一极小的圆柱闭合曲 面面S，
39、其底为，其底为 ，高为，高为 。Sh当当 时，由高斯定理知时，由高斯定理知0hSSDSDSdDnns022故有故有021nnDD2211 ttDD 各向同性介质各向同性介质nnEE2211 各向同性介质各向同性介质49 介质分界面两侧的电势连续介质分界面两侧的电势连续.21UU nnDD21 当介质分界面上没有自由电荷时，有当介质分界面上没有自由电荷时，有122U1Unhh01211212121hEhEhEl dEUUnnn证：在介质分界面两侧取距界面为证：在介质分界面两侧取距界面为 的的 1，2两点，两点的电势分别为两点，两点的电势分别为 ，当当 时，两点的电势差即为时，两点的电势差即为0h
40、h21,UUnnEE2211 各向同性介质各向同性介质 注意：注意：由上面边值关系可以看出，由于通过分界面的由上面边值关系可以看出，由于通过分界面的E通通量只和场强的法向分量有关，而和与界面平行的切向分量无关，量只和场强的法向分量有关，而和与界面平行的切向分量无关，因此电场线在介质的分界面上是不连续的。而电位移线在介质因此电场线在介质的分界面上是不连续的。而电位移线在介质的分界面上则是连续的的分界面上则是连续的50平行板电容器中正插入电平行板电容器中正插入电介质时的介质时的D线和线和E线线D线线E线线平行板电容器中斜插入电平行板电容器中斜插入电介质时的介质时的D线和线和E线线D线线E线线51v
41、v 唯一性定理：静电平衡条件和边值条件可以把存在于空间唯一性定理：静电平衡条件和边值条件可以把存在于空间的电场分布唯一地确定下来的电场分布唯一地确定下来.电位移线在介质的分界面虽是连续的，但它的方向在越电位移线在介质的分界面虽是连续的，但它的方向在越过界面后却要发生偏折，由上面两式过界面后却要发生偏折，由上面两式2211ttDDnnDD21 122D1Dn21可得可得ntntDDDD222111由图知由图知 ，代入得，代入得ntntDDDD222111tan,tan212121tantanrr电位移线电位移线折射定律折射定律52例题例题2-4-1 金属球半径金属球半径R,带电带电q,放入放入相
42、对介电系数相对介电系数 r 的油中求的油中求:1)球外电场分布球外电场分布;2)紧贴金属球的油面上紧贴金属球的油面上q qrDSDS 24d 24 rqD 204rqDEr 是真空中电场的是真空中电场的1/r 倍。倍。1)过球外油中任一点做球面过球外油中任一点做球面解解:nEnPr )1(02)紧贴金属球面处紧贴金属球面处,指向球心指向球心,与与 相反相反nE204)1()1(RqErrRrr qRqr 1142 Rr53例题例题2-4-2:同轴电缆同轴电缆R1,R2,其间充满电介质其间充满电介质 r1,r2,分界的半径分界的半径为为R.求求:单位长度电缆的电容单位长度电缆的电容在介质中做底面
43、半径为在介质中做底面半径为r 长为长为l 的圆柱面的圆柱面则则llrDSDS 2d)(221RrRrD )(2110101RrRrDErr )(2220202RrRrDErr 设设内外电缆线密度内外电缆线密度为为解解:R2R1R54RRRRrErErEUUrrRRRRRR2201102121ln2ln2ddd2121 RRRRUUCrrrr211221021lnln2 利用电容器电容的计算公式，得利用电容器电容的计算公式，得55例题例题2-4-3 平行金属板平行金属板,带电带电 0及及 ,板间板间U0=300V.若若保持板上电荷不变保持板上电荷不变,板间一半空间充介质板间一半空间充介质 r=5
44、.求求:1)板间电压板间电压;2)电介质上、下表面束缚电荷面密度电介质上、下表面束缚电荷面密度;3)电容电容;4)若改为如图二若改为如图二所示的情况所示的情况,又又如何？如何？000 E则则dEU00 充介质后电荷重新分布充介质后电荷重新分布,设设左半部左半部E1,D1,1，右半部，右半部 E2,D2,2左半部取高斯面如图左半部取高斯面如图1)设板面积设板面积S,间距间距d,充介质前充介质前 带电带电 0解解:0 S图一图一（图一）（图一）图二图二56SDSDSDSDSDSDS 11111ddddd下底下底侧面侧面下底下底上底上底则则11 DrrDDE 010111 同理，右半部同理，右半部2
45、2 D02022 DE该高斯面包围的自由电荷为该高斯面包围的自由电荷为 ，故，故S 1 S图一图一57左右两部分电势相等左右两部分电势相等dEdE21 21EE r 12 因为金属板总电量保持不变。因为金属板总电量保持不变。故故SSS02122 0212 00112 rr00212 r S58000022112)1(2EEErr )V(100300512121200 UdEEdUrr 2)电介质上、下表面束缚电荷面密度电介质上、下表面束缚电荷面密度00101011)1(2)1()1(rrrrrEP0011341)1(2 rrnPP S59000002222212212122USUSUSUQCr
46、rr C1,C2 并联并联000000002132121222CCUSUSUSCCCrrr 3)电容电容00000111121221122USUSUSUQCrrrrr 604)若保持电荷不变，充介质如图若保持电荷不变，充介质如图则则0 DrDE 0011 0002 DE0000212222dddEdEUr 0000532121UUdrrrr 61dSSdESUQCrr 000010111222 dSdSdESUQC000020222222 C1,C2 串联串联00002121351212)1(2CCdSdSCCCCCrrrrrr 620000011)1()1(rrrrrEP 001541 rr
47、nPPv注：以上填充介质后注：以上填充介质后是由特例导出的。但结论普遍成立，成立的条件是：是由特例导出的。但结论普遍成立，成立的条件是：1)电介质充满整个空间；电介质充满整个空间；2)介质表面是等势面。介质表面是等势面。rEE 0 01 rr 在电介质表面有在电介质表面有思考：若平板电容器两板极接在固定电源上，上述情况将如变化？思考：若平板电容器两板极接在固定电源上，上述情况将如变化？63 静电场的能量静电场的能量一、点电荷之间的相互作用能一、点电荷之间的相互作用能 以三个点电荷的系统为例以三个点电荷的系统为例.设想依次把设想依次把 三个点电荷从无穷三个点电荷从无穷远处移到所在位置（如图）远处
48、移到所在位置（如图）.根据电场力的叠加原理根据电场力的叠加原理,迁移迁移 各点各点电荷时外力反抗电场力所作的功分别为电荷时外力反抗电场力所作的功分别为01 A1222UqA q1q2q3r12r23r13 任何物体的带电过程，都是电荷之间的相对移动过程，外任何物体的带电过程，都是电荷之间的相对移动过程，外力必须克服电场力做功，转化为系统能量的增量，所以任何带力必须克服电场力做功，转化为系统能量的增量，所以任何带电系统都具有能量电系统都具有能量.23021301323133344)(rqrqqUUqA64因此，该系统所具有的电势能应为：因此，该系统所具有的电势能应为：23021301312012
49、321444rqrqqrqqAAAW 3133221121212121iiiUqUqUqUq 23021301323031201213031202144444421rqrqqrqrqqrqrqq65Ui 为除为除qi 以外其他点电荷在以外其他点电荷在qi 处产生的电势的代数和处产生的电势的代数和 ninijjjiiniiiUqUqW111int2121推广：推广：intW点电荷系的相互作用能点电荷系的相互作用能 为为 nijjjijnijjjiirqUU1014 故点电荷组的相互作用能等于点电荷组中每个点电荷在故点电荷组的相互作用能等于点电荷组中每个点电荷在其他点电荷电场中电势能之和的其他点电
50、荷电场中电势能之和的1/2倍倍.66例题例题2-5-1：如图所示，在一边长为：如图所示，在一边长为d的立方体的每的立方体的每个顶点上放有一个点电荷个顶点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个，立方体中心放有一个点电荷点电荷+2e，求此带电系统的相互作用能量，求此带电系统的相互作用能量.解：解：方法一方法一 8个顶点上的负电荷的相个顶点上的负电荷的相互作用能为互作用能为12对，即对，即de02412 6个面上对角顶点负电荷的相个面上对角顶点负电荷的相互作用能为互作用能为12对，即对，即de241202e e e e e e e e2 e 67对对角顶点负电荷间的相互作用能对对角顶点负电荷间的相
