1、 、五一期间，某家庭自助旅游，欲从常州、五一期间，某家庭自助旅游，欲从常州去千岛湖，一天中火车有班，汽车有班去千岛湖，一天中火车有班，汽车有班，那么一天中乘坐这些交通工具从常州到千，那么一天中乘坐这些交通工具从常州到千岛湖有多少种不同的走法？岛湖有多少种不同的走法？2、某电话局的电话号码为、某电话局的电话号码为168-,若后面的五位数字是由若后面的五位数字是由6或或8组成的组成的,则这样的则这样的电话号码一共有电话号码一共有()个个.一、前置性补偿：一、前置性补偿：一、分类计数原理一、分类计数原理 完成一件事完成一件事,有有 n 类办法类办法,在第在第 1 类办法中有类办法中有 m1 种不同的
2、种不同的方法方法,在第在第 2 类办法中有类办法中有 m2 种不同的方法种不同的方法在第在第 n 类办法中类办法中有有 mn 种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种种不同的方法不同的方法.二、分步计数原理二、分步计数原理 完成一件事完成一件事,需要分成需要分成 n 个步骤个步骤,做第做第 1 步有步有 m1 种不同的种不同的方法方法,做第做第 2 步有步有 m2 种不同的方法种不同的方法做第做第 n 步有步有 mn 种不同种不同的方法的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2mn种不同的方种不同的方法法.三、共同点三、共同点把一个
3、原始事件分解成若干个分事件来完成把一个原始事件分解成若干个分事件来完成.四、区别四、区别一个和分类有关一个和分类有关,一个与分步有关一个与分步有关.例例1 1（1 1）在图）在图I I的电路中，只合上一只开的电路中，只合上一只开 关以接通电路，有多少种不同的方法？关以接通电路，有多少种不同的方法？（2 2）在图）在图IIII的电路中，合上两只开关的电路中，合上两只开关 以接通电路，有多少种不同的方法？以接通电路，有多少种不同的方法？总结出两个原理的联系、区别：总结出两个原理的联系、区别：分类计数原理分类计数原理分步计数原理分步计数原理联系联系区别区别1 1区别区别2 2完成一件事，共有完成一件
4、事，共有n n类类办法，关键词办法，关键词“分类分类”完成一件事，共分完成一件事，共分n n个个步骤，关键词步骤，关键词“分步分步”每类办法相互独立，每类办法相互独立，每类方法都能独立地每类方法都能独立地完成这件事情完成这件事情各步骤中的方法相互依各步骤中的方法相互依存，存，只有各个步骤都完只有各个步骤都完成才算完成这件事成才算完成这件事都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题 例例2 2有高中一年级的学生有高中一年级的学生4 4名，高中二年级的名，高中二年级的学生学生5 5名，高中三年级的学生名，高中三年级的学生3 3名，名，（1 1）从中任选一人参加
5、夏令营，有多少种不同）从中任选一人参加夏令营，有多少种不同的选法？的选法？（2 2）从每个年级的学生中各选）从每个年级的学生中各选1 1人参加夏令营，人参加夏令营，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？（3 3）从不同年级中选两名学生参加夏令营，一）从不同年级中选两名学生参加夏令营，一共有多少种不同的选法？共有多少种不同的选法？例例3 3：为了确保电子信箱的安全，在注册时，通：为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱中中（1 1）密码为）密码为4 4位，每位均为位，每位均为0 0到到9 9这这1010个数字中个数字中
6、的一个，这样的密码共有多少个？的一个，这样的密码共有多少个？（2 2）密码为）密码为4 4位，每位是位，每位是0 0到到9 9这这1010个数字中的个数字中的一个，或是从一个，或是从A A到到Z Z这这2626个英文字母中的个英文字母中的1 1个，这个，这样的密码共有多少个？样的密码共有多少个？（3 3）密码为）密码为4-64-6位，每位均为位，每位均为0 0到到9 9这这1010个数字个数字中的一个，这样的密码共有多少个？中的一个，这样的密码共有多少个？排数字问题例例2 用用0,1,2,3,4,5这六个数字这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位可以组成多少个各位数字不允许重
7、复的三位的奇数的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数的自然数?(3)可以组成多少个大于可以组成多少个大于3000,小于小于5421且各位且各位数字不允许重复的四位数数字不允许重复的四位数?175例4、五名学生报名参加四项体育比赛，（1）每人限报一项，报名方法的种数为多少？（2）他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为44444=种.（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可）每个项目只有一个冠军，
8、每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有的可能性有5种故有种故有n=5=种种.5445三三.例题品味例题品味例5、a,b,c,d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法共有多少种？解：依题意，符合要求的排法可分为第一个排b,c,d中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：所以符合题意的不同排法共有9种.三三.例题品味例题品味 1、如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜色使用多
9、次色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不同的涂色方案有多少种？同的涂色方案有多少种？若用若用2色、色、4色、色、5色色等等,结果又怎样呢？结果又怎样呢？答答:它们的涂色方案种数它们的涂色方案种数分别是分别是 0、4322=48、5433=180种等。种等。思考：思考：染色问题:例例1 有有n种不同颜色为下列两块广告牌着色种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在要求在四个区域中相邻四个区域中相邻(有公共边界有公共边界)区域中不区域中不用同一种颜色用同一种颜色.(1)若若n=6,为为(1)着色时共有多少种方法着色时共有多少种方法?(2)若为若为(2)着色时共有着色时共
10、有120种不同方法种不同方法,求求n (1)(2)例例6、某城市在中心广场建造一某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为个花圃，花圃分为6个部分（如右图）个部分（如右图）现要栽种现要栽种4种不同颜色的花，每部分种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有色的花，不同的栽种方法有_种种.（以数字作答）（以数字作答）6 5 4 3 2 1解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求（1）与同色，则也同色或也同色，所以共有N1=43221=48种；所以，共有N=N1+N2+N3=48+4
11、8+24=120种.（2）与同色，则与同色，则或同色，所以共或同色，所以共有有N2=43221=48种；种；（3）与且与同色，与且与同色，则共有则共有N3=4321=24种种 典型例题典型例题 1.5 位同学各有一套不同的复习资料要投寄位同学各有一套不同的复习资料要投寄,若有若有 7 个邮筒个邮筒可供他们使用可供他们使用,则有则有 种不同的投寄方法种不同的投寄方法.75 2.将数字将数字1,2,3,4填入编号为填入编号为1,2,3,4的四个格里的四个格里,每格填一每格填一个数字个数字,则每格的标号与所填数字不同的填法有则每格的标号与所填数字不同的填法有 种种.9 3.三边长均为整数且最大边长为
12、三边长均为整数且最大边长为11的三角形的个数为的三角形的个数为 .36 4.有四个好友有四个好友A、B、C、D经常通电话交流信息经常通电话交流信息,已知在通已知在通了三次电话后这四人都熟悉某条信息了三次电话后这四人都熟悉某条信息,那么第一个电话是那么第一个电话是A打打 的情形共有的情形共有 种种.36 5.将一个四棱锥的每一个顶点上染上一种颜色将一个四棱锥的每一个顶点上染上一种颜色,并使同一条并使同一条棱上的两端点颜色不同棱上的两端点颜色不同,如果只有如果只有 5 种颜色可供选择使用种颜色可供选择使用,则则不同的染色方法总数为不同的染色方法总数为 种种.42032236.在在3000至至8000之间有多少个无重复数字的奇数之间有多少个无重复数字的奇数?、个班分别从个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是还是？乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？设集合A=1，2，3，4,B=5，6，7，则以A到B的所有不同映射共有多少个？、已知集合M=-3，-2，-1，0，1，2a,bM，平面直角坐标系内点P的坐标是（a,b）P可以表示多少个不同的点？P可以表示多少个坐标轴上的点？P可以表示第二象限内的点吗？P可以表示直线y=x上的点吗？
