1、84-1通信原理第第3章章 随机过程随机过程84-2通信原理l第第1章章 绪论绪论l第第2章章 确知信号确知信号l第第3章章 随机信号随机信号l第第4章章 信道信道l第第5章章 模拟调制系统模拟调制系统l第第6章章 数字基带传输系统数字基带传输系统l第第7章章 数字带通传输系统数字带通传输系统l第第8章章 新型数字带通调制技术新型数字带通调制技术l第第9章章 模拟信号的数字传输模拟信号的数字传输l第第10章章 数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收l第第11章章 差错控制编码差错控制编码l第第12章章 正交编码与伪随机序列正交编码与伪随机序列l第第13章章 同步原理同步原理84-3图1-5 数字
2、通信系统模型数字通信系统模型图1-4 模拟通信系统模型模拟通信系统模型84-4第第3章章 随机过程随机过程l3.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 3.1.1 随机过程的分布函数 3.1.2 随机过程的数字特征l3.2 平稳随机过程平稳随机过程 3.2.1 定义 3.2.2 各态历经性 3.2.3 平稳过程的自相关函数 3.2.4 平稳过程的功率谱密度l3.3 高斯随机过程高斯随机过程 3.3.1 定义 3.3.2 重要性质 3.3.3 高斯随机变量84-5第第3章章 随机过程随机过程l3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统l3.5 窄带随机过程窄带随机过程 3.5.1
3、 c(t)和s(t)的统计特性 3.5.2 a(t)和(t)的统计特性l3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声l3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声84-6所有希腊字母及读音所有希腊字母及读音l序号 大写 小写 英文注音 国际音标注音 中文注音 l1 alpha a:lf 阿尔法 l2 beta bet 贝塔 l3 gamma ga:m 伽马 l4 delta delt 德尔塔 l5 epsilon epsilon 伊普西龙 l6 zeta zat 截塔 84-7所有希腊字母及读音所有希腊字母及读音l7 eta eit 艾塔 l8 thet it 西塔 l9 iot
4、aiot 约塔 l10 kappa kap 卡帕 l11 lambda lambd 兰布达 84-8所有希腊字母及读音所有希腊字母及读音l12 mu mju 缪 l13 nu nju 纽 l14 xi ksi 克西 l15 omicron omikron 奥密克戎 l16 pi pai 派 l17 rho rou 肉 l18 sigma sigma 西格马 84-9所有希腊字母及读音所有希腊字母及读音l19 tau tau 套 l20 upsilon jupsilon 宇普西龙 l21 phi fai 佛爱 l22 chi phai 西 l23 psi psai 普西 l24 omega om
5、iga 欧米伽 84-10第第3章章 随机过程随机过程l3.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念n什么是随机过程？u随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：u角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。u角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。84-11第第3章章 随机过程随机过程【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形 p样本函数i(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。p随机过程：(t)=1(t),2(t),n(t)是全部样本函数的集合。84-12第第3章章 随机过程随机过程u角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。p在
6、任一给定时刻t1上，每一个样本函数i(t)都是一个确定的数值i(t1)，但是每个i(t1)都是不可预知的。p在一个固定时刻t1上，不同样本的取值i(t1),i=1,2,n是一个随机变量，记为(t1)。p换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。p因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。p这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。84-13第第3章章 随机过程随机过程n3.1.1随机过程的分布函数u设(t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值(t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数分布函数或概率密概率密度函数度函数来描述。u随机过程(t)
7、的一维分布函数：u随机过程(t)的一维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。)(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf84-14第第3章章 随机过程随机过程u随机过程(t)的二维分布函数：u随机过程(t)的二维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。u随机过程(t)的n维分布函数：u随机过程(t)的n维概率密度函数：221121212)(,)(),;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx(
8、)tx(xxttxxFttxxf，；，；，84-15第第3章章 随机过程随机过程n3.1.2 随机过程的数字特征u均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其均值式中 f(x1,t1)(t1)的概率密度函数由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t，x1改为x，这样上式就变为dxtxxftE),()(1111111),()(dxtxfxtE84-16第第3章章 随机过程随机过程 (t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心:dxtxxftE),()(1a(t)84-17第第3章章 随机过程随机过程u方差方差常记为 2(t)
9、。这里也把任意时刻t1直接写成了t。因为所以，方差方差等于均方值与均值平方之差，它表示表示随机过程在时刻随机过程在时刻 t 对于均值对于均值a(t)的偏离程度。的偏离程度。2)()()(tatEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD212)(),(tadxtxfx均方值均值平方84-18第第3章章 随机过程随机过程u相关函数式中，(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。u协方差函数式中 a(t1)a(t2)在t1和t2时刻得到的(t)的均值 f2(x1,x2;t1,t2)(t
10、)的二维概率密度函数。2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221121),;,()()()()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 84-19第第3章章 随机过程随机过程p相关函数和协方差函数之间的关系若a(t1)=a(t2)，则B(t1,t2)=R(t1,t2)u互相关函数式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。因此，R(t1,t2)又称为自相关函数。)()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttR84-20第第3章章 随机过程随机过程l3.2 平稳随机
11、过程平稳随机过程n3.2.1 平稳随机过程的定义u定义：若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；84-21第第3章章 随机过程随机过程u性质：严平稳随机过程表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：而二维分布函数只与时间间隔=t2 t1有关：u数字特征：可见，（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。)(),(11111xftxf);,(),
12、;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 84-22第第3章章 随机过程随机过程u数字特征：可见，（1）其均值与t 无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔 有关。把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。adxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR
13、 84-23第第3章章 随机过程随机过程n3.2.2 各态历经性u问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?u回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。u下面，我们来讨论各态历经性的条件。84-24第第3章章 随机过程随机过程u各态历经性条件设
14、：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa84-25第第3章章 随机过程随机过程u“各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。u具有各态历经的随机过程一定是平稳过程
15、，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。84-26第第3章章 随机过程随机过程u 例例3-1 设一个随机相位的余弦波为其中，A和c均为常数；是在(0,2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。【解】【解】(1)先求(t)的统计平均值：数学期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc84-27第第3章章 随机过程随机过程自相关函数令t2 t1=，得到可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，
16、所以(t)是广义平稳过程。0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc84-28第第3章章 随机过程随机过程(2)求(t)的时间平均值比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,R
17、Raa84-29第第3章章 随机过程随机过程n3.2.3 平稳过程的自相关函数u平稳过程自相关函数的定义：同前u平稳过程自相关函数的性质p (t)的平均功率p 的偶函数p R()的上界即自相关函数R()在=0有最大值。p (t)的直流功率p 表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有 R(0)=2 。)()0(2tER)()(RR)0()(RR22a)()(tER2)()0(RR84-30第第3章章 随机过程随机过程n3.2.4 平稳过程的功率谱密度u定义：p对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为式中，FT(f)是f(t)的截短函数fT(t)所对应的频谱函数TfFmi lfP
18、TTf2)()(84-31第第3章章 随机过程随机过程p对于平稳随机过程(t)，可以把f(t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故(t)的功率谱密度可以定义为TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(84-32第第3章章 随机过程随机过程u功率谱密度的计算p维纳-辛钦关系 周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有简记为以上关系称为维纳维纳-辛钦辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关
19、系式。dfefPRdeRfPdePRdeRPfjfjjj22)()()()()(21)()()()()(fPR84-33第第3章章 随机过程随机过程p在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即 两边取傅里叶变换：即式中 dffPR)()0()()(RR)()(RRFF)()(fPfPf)()(fPR)(RfPf84-3
20、4第第3章章 随机过程随机过程功率谱密度P(f)具有非负性和实偶性，即有和这与R()的实偶性相对应。0)(fP)()(fPfP84-35第第3章章 随机过程随机过程p例例3-2 求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数和功率谱密度。【解】【解】在例例3-1中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有 以及由于有所以，功率谱密度为平均功率为 cARcos2)(2)()(PR)()(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS84-36第第3章章 随机过程随机过程l 3.3 高斯随机
21、过程（正态随机过程）高斯随机过程（正态随机过程）n3.3.1 定义u如果随机过程(t)的任意n维（n=1,2,.）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。u n维正态概率密度函数表示式为：式中 njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEa84-37第第3章章 随机过程随机过程式中|B|归一化协方差矩阵的行列式，即|B|jk 行列式|B|中元素bjk的代数余因子 bjk 为归一化协方差函数，即 11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)
22、()(84-38第第3章章 随机过程随机过程n 3.3.2 重要性质u由高斯过程的定义式可以看出,高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。u广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。是广义平稳的，则也严平稳。njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；
23、84-39第第3章章 随机过程随机过程u如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j k，有bjk=0，则其概率密度可以简化为 这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。u高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxf84-40第第3章章 随机过程随机过程n 3.3.3 高斯随机变量u定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概
24、率密度函数为式中a 均值 2 方差曲线如右图：221()()exp22xaf x84-41第第3章章 随机过程随机过程u性质pf(x)对称于直线 x=a，即p pa表示分布中心，称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当a=0和=1时，称为标准化的正态分布：xafxaf1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(21()exp22xf x84-42高斯曲线matlab仿真实现（a=0,sigma=1)84-43高斯曲线matlab仿真实现l%文件名文件名 e_gauss.ml%高斯曲线高斯曲线lclear;la=0;sigma=1;lx=-10:0.0001:10;ly=
25、(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-a).2)/(2*sigma.2);lplot(x,y);lxlabel(变量变量x);lylabel(幅值幅值(y);ltitle(正态分布的概率密度（高斯曲线）正态分布的概率密度（高斯曲线）);84-44a=0,sigma=384-45a=3,sigma=184-46第第3章章 随机过程随机过程u在通信系统的性能分析中，经常需要计算高斯随机变量 小于或等于某一取值x的概率P(x)，它等于概率密度 f(x)的积分。u正态分布函数这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出：p用误差函数表示正态分布函数221
26、()()()exp22xzaF xPxdz84-47第第3章章 随机过程随机过程u正态分布函数这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出：p用误差函数表示正态分布函数：令 则有 及 式中 误差函数，可以查表求出其值。221()()()exp22xzaF xPxdz2/)(aztdtdz22()/2()22121122xatF xedtxaerf202()xterf xedt84-48第第3章章 随机过程随机过程p用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：式中当x 2时，2211)(axerfcxF22()1()txerfc xerf xedt 21()xerfc
27、 xex84-49第第3章章 随机过程随机过程p用Q函数表示正态分布函数：Q函数定义：Q函数和erfc函数的关系：Q函数和分布函数F(x)的关系：Q函数值也可以从查表得到。2/21()2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(84-50第第3章章 随机过程随机过程l3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统n确知信号通过线性系统（复习）：式中 vi 输入信号，vo 输出信号对应的傅里叶变换关系：n随机信号通过线性系统：u假设：i(t)是平稳的输入随机过程，a 均值，Ri()自相关函数，Pi()功率谱密度；求输出过程o(
28、t)的统计特性，即它的均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。dtvhtvthtvii)()()()()(0)f()f()f(0iVHVdthti)()()(084-51第第3章章 随机过程随机过程u1.输出过程输出过程 o(t)的均值的均值 对下式两边取统计平均：得到设输入过程是平稳的，则有 式中，H(0)是线性系统在 f=0处的频率响应，因此输出过程的均值是一个常数。dthti)()()(0dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatE84-52第第3章章 随机过程随机过程u2.输出过程输出过程 o(t)的自相关函数：的自相关函数：根据自相
29、关函数的定义根据输入过程的平稳性，有于是 上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。平稳的。ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(11111010110)()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi 84-53第第3章章 随机过程随机过程u3.输出过程输出过程 o(t)的功率谱密度的功率谱密度对下式进行傅里叶变换：得出令 =+-，代入上式，得到即结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘输出过程
30、的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。以系统频率响应模值的平方。应用：由Po(f)的反傅里叶变换求Ro()()()()(),(0110RddRhhttRi deRfPj)()(00deddRhhji)()()(0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii84-54第第3章章 随机过程随机过程u4.输出过程输出过程 o(t)的概率分布的概率分布p如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。程也是高斯型的。因为从积分原理看，可以表示为：由于已假设i
31、(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个“和”也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(084-55第第3章章 随机过程随机过程l3.5 窄带随机过程窄带随机过程 n什么是窄带随机过程？若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f fc的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带随机过程。84-56第第3章章 随机
32、过程随机过程n典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数 84-57第第3章章 随机过程随机过程n窄带随机过程的表示式式中，a(t)随机包络，(t)随机相位 c 中心角频率显然，a(t)和(t)的变化相对于载波cos ct的变化要缓慢得多。（随机缓慢变化的包络）0)(,)(cos)()(tatttatc84-58第第3章章 随机过程随机过程n窄带随机过程表示式展开可以展开为式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量可以看出：(t)的统计特性由a(t)和(t)或c(t)和s(t)的统计特性确定。若(t)的统计特性已知，则a(t)和(t)或c(t)和s(t)的统计特性也随之确定。0)(,)(cos)()(
33、tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats84-59第第3章章 随机过程随机过程n3.5.1 c(t)和s(t)的统计特性p数学期望：对下式求数学期望：得到 因为(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E(t)=0，所以 tttttcsccsin)(cos)()(ttEttEtcsccsin)(cos)()(E0)(0)(tEtEsc，84-60第第3章章 随机过程随机过程p(t)的自相关函数：由自相关函数的定义式式中因为(t)是平稳的，故有这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与有关。因此，若令 t=0，上式仍应成立
34、，它变为)()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttRccsccsccccsccc)()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc)(),(RttRccsccttRttRRsin),(cos),()(84-61第第3章章 随机过程随机过程因与时间t无关，以下二式自然成立所以，上式变为再令 t=/2c，同理可以求得由以上分析可知，若窄带过程若窄带过程(t)是平稳的，则是平稳的，则 c(t)和和 s(t)也必
35、然是平稳的。也必然是平稳的。ccsccttRttRRsin),(cos),()()(),()(),(cscsccRttRRttRccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()(84-62第第3章章 随机过程随机过程p进一步分析，下两式应同时成立，故有上式表明，同相分量同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)具有相同的自相关函数具有相同的自相关函数。根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到上式表明Rsc()是 的奇函数，所以同理可证 ccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()()()(scRR)()(sccsRR)()(
36、sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csR84-63第第3章章 随机过程随机过程将代入下两式得到即上式表明(t)、c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差。具有相同的平均功率或方差。csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0)0(scR0)0(csR)0()0()0(scRRR222sc84-64第第3章章 随机过程随机过程p根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式 得到因为因为(t)是高斯过程是高斯过程，所以，c(t1)，s(t2)一定是高斯随机变量，从而 c(t)、s(t)也是高斯过程也是高斯过程。p根据可知，c(t)与s(
37、t)在=0处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此 c(t)与与 s(t)也是统计独立的也是统计独立的。tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc时)()(,2222ttttsc时0)0(csR84-65第第3章章 随机过程随机过程u重要结论重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)，它的同相分量它的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同样是平同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的此外，在同一时刻上得到的 c(t)和和 s(t)是互是互不相关的或统计独立
38、的。不相关的或统计独立的。84-66第第3章章 随机过程随机过程n3.5.2 a(t)和(t)的统计特性u联合概率密度函数 f(a,)根据概率论知识有由可以求得),()(),(),(,afafscscsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos2exp21)()(),(2222scscscfff84-67第第3章章 随机过程随机过程于是有式中a 0,=(0 2)2)sin()cos(exp2),(),(222aaafaafsc2222exp2aa84-68第第3章章 随机过程随机过程ua的一维概率密度函数可见，a 服从瑞利服从瑞利(Rayleigh)分布分布
39、。O(_)O 作业：瑞利简介（不超过200字）（单号）高斯简介（不超过200字）（双号）202222exp2),()(daadafaf02exp222aaa84-69第第3章章 随机过程随机过程u的一维概率密度函数可见，服从均匀分布服从均匀分布。20212exp21),()(02220daaadaaff84-70第第3章章 随机过程随机过程u重要结论重要结论一个均值为零，方差为一个均值为零，方差为 2的窄带平稳高斯过程的窄带平稳高斯过程(t)，其，其包络包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是瑞利分布，相位 (t)的一维分布的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，是均匀分布，并且就
40、一维分布而言，a(t)与与 (t)是统计是统计独立的独立的，即有，即有)()(),(fafaf84-71第第3章章 随机过程随机过程l3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声n正弦波加窄带高斯噪声的表示式式中 窄带高斯噪声 正弦波的随机相位，均匀分布在0 2间 A和c 确知振幅和角频率于是有式中)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()()(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnAtrccScccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss84-72第第3章章 随机过程随
41、机过程n正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式包络：相位：0,)()()(22ztztztzsc)20(,)()()(1tztztgtcs84-73第第3章章 随机过程随机过程n正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性u包络的概率密度函数 f(z)利用上一节的结果，如果值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有所以，在给定相位 的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为222sincosnscscAzEAzE2222)sin()cos(21exp21)/,(AzAzzzfscnnsc84-74第第3章章 随机过程随机过程利用与上一节分析a和相似的方法，根据zc，zs与z，之间的随机变量关系
42、可以求得在给定相位 的条件下的z与的联合概率密度函数然后求给定条件下的边际分布，即sincoszzzzsc)/,()/,(sczzfzf)()(z,zzsc,)/,(sczzfz)cos(221exp22222AzAzznndAzAzzdzfzfnnn)cos(exp2exp2)/,()/(22022222084-75第第3章章 随机过程随机过程由于故有式中I0(x)第一类零阶修正贝塞尔函数因此由上式可见，f(,z)与无关，故的包络z的概率密度函数为称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。)(cosexp21020 xIdx20220)cos(exp21nnAzIdAz202222)(21
43、exp)/(nnnAzIAzzzf0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn84-76第第3章章 随机过程随机过程u讨论p当信号很小时，即A 0时，上式中(Az/n2)很小，I0(Az/n2)1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。p当(Az/n2)很大时，有这时上式近似为高斯分布，即0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnnxexIx2)(0222)(exp21)(nnAzzf84-77第第3章章 随机过程随机过程p包络概率密度函数 f(z)曲线瑞利分布瑞利分布高斯分布高斯分布莱斯分布莱斯分布84-78第第3章章 随机过程随机过程n正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性F
44、()A=0,均匀相位均匀相位84-79第第3章章 随机过程随机过程l3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声n1.白噪声n(t)u定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 双边功率谱密度双边功率谱密度或 单边功率谱密度单边功率谱密度式中 n0 正常数u白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：2)(0nfPn)(f0)(nfPn)(0 f)(2)(0nR84-80第第3章章 随机过程随机过程u白噪声和其自相关函数的曲线：84-81第第3章章 随机过程随机过程u白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大
45、，即或p因此，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。p实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。p如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高高斯白噪声斯白噪声。p高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。f2n)0(0dR)0(2)0(0nR84-82第第3章章 随机过程随机过程n2.低通白噪声低通白噪声u定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通信道
46、，则输出的噪声称为低通白噪声低通白噪声。u功率谱密度p由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在|f|fH内，通常把这样的噪声也称为带限白噪声带限白噪声。u自相关函数其它02)(0HnffnfPHHHfffnR22sin)(084-83第第3章章 随机过程随机过程u功率谱密度和自相关函数曲线p由曲线看出，这种带限白噪声只有在上得到的随机变量才不相关。),3,2,1(2/kfkH84-84第第3章章 随机过程随机过程n3.带通白噪声带通白噪声u定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声带通白
47、噪声。u功率谱密度设理想带通滤波器的传输特性为式中fc 中心频率，B 通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为fBffBffHcc其他0221)(fBffBfnfPccn其它0222)(084-85第第3章章 随机过程随机过程u自相关函数dfendfefPRfjBfBffjncc222022)()(dfenfjBfBfcc22202cfBBBn2cossin0？动手做一做？动手做一做84-86第第3章章 随机过程随机过程u带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线84-87第第3章章 随机过程随机过程n窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声u通常，带通滤波器的 B fc，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄
48、带高斯白噪声。u窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节。u平均功率BnN084-88第第3章章 随机过程随机过程l3.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 3.1.1 随机过程的分布函数 3.1.2 随机过程的数字特征l3.2 平稳随机过程平稳随机过程 3.2.1 定义 3.2.2 各态历经性 3.2.3 平稳过程的自相关函数 3.2.4 平稳过程的功率谱密度l3.3 高斯随机过程高斯随机过程 3.3.1 定义 3.3.2 重要性质 3.3.3 高斯随机变量84-89第第3章章 随机过程随机过程l3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统l3.5 窄带随机过程窄带随机过程
49、 3.5.1 c(t)和s(t)的统计特性 3.5.2 a(t)和(t)的统计特性l3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声l3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声84-9084-91老照片（1）84-92第3章 随机过程 （重点、考点）l1.概念概念l随机过程的定义；狭义平稳和广义平稳；各态历随机过程的定义；狭义平稳和广义平稳；各态历经的含义与意义；高斯过程的性质；窄带过程的经的含义与意义；高斯过程的性质；窄带过程的两个结论；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；两个结论；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；功率谱密度的意义功率谱密度的意义l2.计算计算l数字特征（均值、方差、相
50、关函数）；一维概率数字特征（均值、方差、相关函数）；一维概率密度函数和分布函数；平稳过程自相关函数的性密度函数和分布函数；平稳过程自相关函数的性质；维纳质；维纳-辛钦定理；随机过程的总（平均）功辛钦定理；随机过程的总（平均）功率；平稳过程、高斯过程、白噪声通过线性系统率；平稳过程、高斯过程、白噪声通过线性系统84-93第3章 随机过程 思考题3-1l何谓随机过程？何谓随机过程？n随机过程是一类随时间变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。l随机过程具有什么特点？随机过程具有什么特点？n随机过程是所有样本函数的集合n在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合84-94第3章 随机过程 思考题3-2
