1、 在动力机械特别是叶轮机械中，有很多零件都具在动力机械特别是叶轮机械中，有很多零件都具有轴对称特性，例如，轮盘，旋转轴，承力环等。若有轴对称特性，例如，轮盘，旋转轴，承力环等。若按空间问题进行分析，往往需要划分很多单元，因此按空间问题进行分析，往往需要划分很多单元，因此未知量庞大。若利用轴对称问题的特点，可将轴对称未知量庞大。若利用轴对称问题的特点，可将轴对称分析由空间问题简化为平面问题。分析由空间问题简化为平面问题。第六章第六章 轴对称问题的有限元法轴对称问题的有限元法一、轴对称条件一、轴对称条件:当分析结构同时满足以下三个条件时，可认为是轴对称问题。当分析结构同时满足以下三个条件时，可认为
2、是轴对称问题。1)轴对称物体轴对称物体 轴对称物体是指它的几何形状是由物体的某一平面图形轴对称物体是指它的几何形状是由物体的某一平面图形绕平面上某一轴旋转而形成的回转体，此平面称为子午面。绕平面上某一轴旋转而形成的回转体，此平面称为子午面。2)边界条件轴对称边界条件轴对称要求结构受到的载荷和位移约束条件具有轴对称性。要求结构受到的载荷和位移约束条件具有轴对称性。若它所受载荷是因结构旋转而产生的惯性力，则旋转轴必须是对称轴若它所受载荷是因结构旋转而产生的惯性力，则旋转轴必须是对称轴A-A。若要考虑重力，轴线若要考虑重力，轴线A-A则必须处于垂直方向，否则重力和惯性力就不会则必须处于垂直方向，否则
3、重力和惯性力就不会满足轴对称条件。满足轴对称条件。3)材料轴对称材料轴对称 要求结构的材料特性具有轴对称性。当材料是各向同性材料要求结构的材料特性具有轴对称性。当材料是各向同性材料时，这种条件是自然满足的。时，这种条件是自然满足的。在轴对称问题中，常以圆柱坐标来表示。为了方便，一在轴对称问题中，常以圆柱坐标来表示。为了方便，一般取柱坐标系般取柱坐标系 当材料是正交各向异性材料时，则材料主轴应与结构的径当材料是正交各向异性材料时，则材料主轴应与结构的径向、切向和轴向一致。向、切向和轴向一致。空间轴对称问题，一般来说是三空间轴对称问题，一般来说是三维问题，但由于对称性，再轴对维问题，但由于对称性，
4、再轴对称载荷作用下所产生的位移，应称载荷作用下所产生的位移，应力与应变必然对力与应变必然对？轴对称。轴对称。与？与？无关。在无关。在？方向上的位移？方向上的位移为零。为零。6 因而一个三维问题，就变成只与因而一个三维问题，就变成只与 有关。有关。rz由对称性可知道，位移、应变、应力都与由对称性可知道，位移、应变、应力都与 无关。无关。我们就可以取其对称面我们就可以取其对称面(子午面子午面)来进行研究。来进行研究。各节点的位移有两个独立分量。各节点的位移有两个独立分量。分别为分别为r方向的径向位移方向的径向位移以及沿以及沿z轴方向的位移轴方向的位移 w二、轴对称物体的离散形式二、轴对称物体的离散
5、形式 轴对称物体的离散化先在子午面内进行，轴对称物体的离散化先在子午面内进行，然后绕对称轴旋转一周。然后绕对称轴旋转一周。轴对称物体的离散形式是用理想铰联系轴对称物体的离散形式是用理想铰联系的有限个的有限个(三三)棱圆环单元棱圆环单元。由于轴对称问题的特点，子午面上的任由于轴对称问题的特点，子午面上的任意一点在变形后仍在该子午面上。意一点在变形后仍在该子午面上。分析轴对称问题采用柱坐标表示。分析轴对称问题采用柱坐标表示。由于轴对称问题的特点，子午面上的任意一点在变形后仍在该子午面上。由于轴对称问题的特点，子午面上的任意一点在变形后仍在该子午面上。轴对称问题的分析实际上是二维分析或退化了的三维分
6、析。轴对称问题的分析实际上是二维分析或退化了的三维分析。周向应变周向应变 虽然与虽然与 无关，无关，00三、直角坐标与圆柱坐标的转换三、直角坐标与圆柱坐标的转换 直角坐标及其位移与圆柱坐标及其位移的转换如图直角坐标及其位移与圆柱坐标及其位移的转换如图6-4所示，其中所示，其中x轴方向轴方向变成圆柱的变成圆柱的r 方向，方向，z轴方向保持不变，而轴方向保持不变，而xoz平面上的像素围绕平面上的像素围绕z轴旋转轴旋转360度，成为轴对称的实体。度，成为轴对称的实体。213ryz因此对该轴对称物体在进行分析时，可以取其截面表示。因此对该轴对称物体在进行分析时，可以取其截面表示。uuvuwwxryrz
7、z 第二节第二节 轴对称问题的力学基础轴对称问题的力学基础一、空间轴轴对称问题的几何方程一、空间轴轴对称问题的几何方程直角坐标的位移、应变与圆柱坐标的位移、应变的转换为直角坐标的位移、应变与圆柱坐标的位移、应变的转换为xuxruryvx()uuurrrzwzzwzxzuwzxxzuwzrxyuvyxruurryzvwzyzuwzr 由于轴对称的因素，由于轴对称的因素，00Aurur()uuuurrrrzwzxzuwzr0ruurr0zrwzr010 0rzrzrurwzzr 与平面问题比较，多了一项与平面问题比较，多了一项 ,这项应变的产生主要是由于径向位移这项应变的产生主要是由于径向位移 所
8、以，轴对称问题的应力分量就不是三个，而是四个，所以，轴对称问题的应力分量就不是三个，而是四个，即轴向正应力、径向正应力即轴向正应力、径向正应力、周向正应力、周向正应力、和剪应力、和剪应力。,rzrz 引起的，因为径向方向有了位移之后，使原来的周长引起的，因为径向方向有了位移之后，使原来的周长 2 r发生了改变，发生了改变，因而产生周向应变。因而产生周向应变。二、空间轴轴对称问题的物理方程和弹性矩阵二、空间轴轴对称问题的物理方程和弹性矩阵在有初应变情况下的物理方程为在有初应变情况下的物理方程为01()rrrzE 01()zzzrE 01()zrE 02(1)rzrzrzE000(1)()()()
9、(1)(1 2)11rzzrrE000(1)()()()(1)(1 2)11zzzrrE000(1)()()()(1)(1 2)11zzrrE0()2(1)rzrzrzE00000 Trzrz0()D(1)0(1)0(1)0(1)(1 2)(1 2)0002ED与平面应力问题一样，弹性矩阵只与材料的弹性模量与平面应力问题一样，弹性矩阵只与材料的弹性模量 及泊松比有关。及泊松比有关。E00.5对称正定矩阵。对称正定矩阵。第三节第三节 单元分析单元分析一、单元节点位移向量一、单元节点位移向量 在圆柱坐标上，取一个绕在圆柱坐标上，取一个绕z轴旋转而成的三角形截面，其轴旋转而成的三角形截面，其轴对称环
10、状元素如图所示。子午面上任意一个三角形单元轴对称环状元素如图所示。子午面上任意一个三角形单元123的单元节点位移向量为的单元节点位移向量为112233eTduwuwuw213ryz二、位移插值函数二、位移插值函数111122233311 11rzuurzrzurzu111223311 11rzNrzrzrz123euuduu 123eeuuuNdNNNd 112323ewwwNdNNNww121233123123000000uuNNNuuNNNwwww 沿沿z轴方向的轴向位移轴方向的轴向位移w，可比照，可比照r方向的径向位移方向的径向位移u证明，位证明，位移与形函数的关系为移与形函数的关系为2
11、022-12-17有限单元法简介16二、几何矩阵二、几何矩阵121233123123010000 0000euruNNNurBdNNNwzwwzr123123010000 0000rNNNrBNNNzzr312312312331122000000000NNNrrrNNNzzzNNNrrrNNNNNNzrzrzr(,)iiiiN r zabrc z已知三角形单元的形状函数具有如下形式已知三角形单元的形状函数具有如下形式iiNbriiNcz由此可知，几何矩阵由此可知，几何矩阵 第第1行、第行、第2行、第行、第4行元素均为常数，行元素均为常数，但第但第3行元素为坐标的函数行元素为坐标的函数 Biii
12、iNabrc zrr 轴对称问题的三角形单元不是常应变单元，因而也不是常轴对称问题的三角形单元不是常应变单元，因而也不是常应力单元。这是与平面问题中三角形单元的形式是不同的。应力单元。这是与平面问题中三角形单元的形式是不同的。三、应力矩阵与位移场的关系三、应力矩阵与位移场的关系 D四、轴对称问题的应变能四、轴对称问题的应变能111 222TTe TTeVVVUdVDdVdBD B ddV五、利用最小势能法求出刚度矩阵。五、利用最小势能法求出刚度矩阵。由最小势能法知道，应变能对位移向量的微分，可得到等效力由最小势能法知道，应变能对位移向量的微分，可得到等效力的向量。而等效力向量又可表示为刚度矩阵
13、与位移向量的乘积的向量。而等效力向量又可表示为刚度矩阵与位移向量的乘积eeUKdd eTVKBD B dV20 eTAKBD B rd drdz 注意：轴对称单元是三维实体，因此这里的积分为三重积注意：轴对称单元是三维实体，因此这里的积分为三重积分。但由于被积函数与角度无关。分。但由于被积函数与角度无关。2 TABD B rdrdz20 eTAKBD B rd drdz 一种常见的简化计算方法是，把每一个单元的坐标一种常见的简化计算方法是，把每一个单元的坐标 rz近似地当作常量，对三角形单元可取近似地当作常量，对三角形单元可取 123()/3crrrrr123()/3czzzzz于是单元被近似
14、地当成了常应变单元。于是单元被近似地当成了常应变单元。123()/3crrrrr123()/3czzzzz 因此，轴对称问题三角形单元的单元刚度矩阵可近似表达为因此，轴对称问题三角形单元的单元刚度矩阵可近似表达为2 eTcKrBD B312312312331122000000 000NNNrrrNNNzzzBNNNrrrNNNNNNzrzrzr第四节第四节 节点等效载荷节点等效载荷 由于轴对称，单元的节点力是作用在整圈圆周形铰上。若设节圆半径为由于轴对称，单元的节点力是作用在整圈圆周形铰上。若设节圆半径为r，单位长铰上作用的径向和轴向分力分别为，单位长铰上作用的径向和轴向分力分别为 213ry
15、zrPzP那么圆周铰上的节点力应为那么圆周铰上的节点力应为 2rrP2zrP一、体积力一、体积力rPzP分别表示旋转体沿径向分别表示旋转体沿径向(如离心惯性力如离心惯性力)和轴向和轴向(如重力如重力)的体积力的体积力分量，则体积力可表示为分量，则体积力可表示为TrzPPP由虚功原理，单元上体积力的等效节点力由虚功原理，单元上体积力的等效节点力 ePF所做的虚功等于体积力所做的虚功等于体积力 所做的虚功所做的虚功 eTTrd drdzePFP eN202d2 eTeTTNrdrdz ePFP2TNrdrdzePFP 1.体积力为自重体积力为自重0rP zP 为重度 于是单元自重移置到于是单元自重
16、移置到1，2，3上的等效节点力为上的等效节点力为02iiNrdrdzePF1,2,3i 1 12 23 3rN rN rN r1 12 23 3()iiN rdrdzN N rN rN r drdz(3)612612jimiirrrN rdrdzrr 0(3)6iirrePF于是自重的等效节点力列阵为于是自重的等效节点力列阵为1230(3)0(3)0(3)6rrrrrr ePF可见，若单元距离对称轴较远，可见，若单元距离对称轴较远，123rrrr则可以将单元的则可以将单元的 1/3自重自重 2/3r等效到每个节点上。等效到每个节点上。2.体积力为离心力体积力为离心力20TTrzPPrP为角速度
17、，为角速度，为密度。于是单元离心力等效到节点为密度。于是单元离心力等效到节点1，2，3上的等效节点力为上的等效节点力为220iirNrdrdzePF21 12 23 3()2iiN r drdzN N rN rN rdrdz利用积分公式得利用积分公式得222123(6)302iij mN r drdzrrrrrr r222(92)150ij mirrr rePF,1,2,3i j m sp132zsplds4s3.表面力表面力其方向以压向单元边界为正，其方向以压向单元边界为正，设单元的设单元的23边作用均布载荷边作用均布载荷 面力的矩阵可表示为面力的矩阵可表示为2332112323TTTsrs
18、zsssszzrrbcppppppllsP与上述两种情况类似，根据虚功原理得，与上述两种情况类似，根据虚功原理得，iisNdsePFP23iszN dsP1,2,3i 由形函数的定义可知道，在由形函数的定义可知道，在23边上有边上有1(,)0N r z 27令令32423Nt3241123Nt 11100010000010TTssttbczppldtttllePF11230100101000010122TTssbpzz llcpl231111004Tszzpbcbc123bzz132crrsp132zsplds4s可见，当单元的边界可见，当单元的边界23作用有集度为作用有集度为 sp132zsplds4sp的垂直均匀力时，等效到节点的垂直均匀力时，等效到节点1上的载荷为零，分上的载荷为零，分配到节点配到节点2和和3上的载荷相同，上的载荷相同，r方向分量为方向分量为 231()/4zzpbz方向分量为方向分量为 231()/4rr pc习题习题6-1两个轴对称等边直角三角形单元，形状、大小、方位都相同，两个轴对称等边直角三角形单元，形状、大小、方位都相同，位置如图所示，弹性模量为位置如图所示，弹性模量为E0.15，泊松比为，试分别计算它们的单元刚度矩阵。，试分别计算它们的单元刚度矩阵。sp()azjlml i()blml ij2l
