1、新课标全国卷新课标全国卷理理科数学分类汇编科数学分类汇编 14不等式选讲不等式选讲（含解析）（含解析） 一、解答题一、解答题 【2017，23】已知函数 2 4f xxax， 11g xxx （1）当1a 时，求不等式 f xg x的解集； （2）若不等式 f xg x的解集包含1,1，求a的取值范围 【2016，23】已知函数321)(xxxf （）在答题卡第（24）题图中画出)(xfy 的图像； （）求不等式1)(xf的解集 【2015，24】已知函数 12,0f xxxa a . （I）当1a 时求不等式 1f x 的解集； （II）若 f x的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求
2、 a 的取值范围. x y O 1 1 【2014，24） 】若0,0ab，且 11 ab ab . () 求 33 ab的最小值； （）是否存在, a b，使得236ab？并说明理由. 【2013，24】已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)设 a1，且当 x 1 , 2 2 a 时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围 【2012，24】已知函数( ) |2|f xxax。 （1)当3a时，求不等式3)(xf的解集； （2）若|4|)( xxf的解集包含1，2，求a的取值范围。 【2011，24】设函数( )3f
3、 xxax,其中0a。 （）当1a 时，求不等式( )32f xx的解集； （）若不等式( )0f x 的解集为|1x x ，求 a 的值。 新课标全国卷新课标全国卷理理科数学分类汇编科数学分类汇编 14不等式选讲不等式选讲（解析版）（解析版） 一、解答题一、解答题 【2017，23】已知函数 2 4f xxax， 11g xxx （1）当1a 时，求不等式 f xg x的解集； （2）若不等式 f xg x的解集包含1,1，求a的取值范围 【解析】（1）当1a 时， 2 4f xxx ，是开口向下，对称轴 1 2 x 的二次函数 21 11211 21 xx g xxx xx ， ，x ，
4、，当 (1,)x时，令 2 42xxx，解得 171 2 x ， g x在 1，上单调递增， f x在1，上单调递减，此时 f xg x解集为 171 1 2 ， 当1 1x ，时， 2g x ， 12f xf 当1x ，时， g x单调递减， f x单调递增，且112gf 综上所述， f xg x解集 171 1 2 ， （2）依题意得： 2 42xax 在 1 1 ，恒成立即 2 20xax在 1 1 ，恒成立 则只须 2 2 1120 1120 a a ，解出：11a 故a取值范围是 1 1 ， 【2016，23】已知函数321)(xxxf （）在答题卡第（24）题图中画出)(xfy 的
5、图像； （）求不等式1)(xf的解集 【解析】 ： 如图所示： x y O 1 1 41 3 321 2 3 4 2 xx f xxx xx ， ， ， , 1f x , 1x，41x，解得5x 或3x , 1x 3 1 2 x ，321x，解得1x 或 1 3 x ， 1 1 3 x 或 3 1 2 x 3 2 x，41x，解得5x 或3x ， 3 3 2 x 或5x 综上， 1 3 x 或13x或5x 1f x，解集为 1 135 3 UU， 【2015，24】已知函数 12,0f xxxa a . （I）当1a 时求不等式 1f x 的解集； （II）若 f x的图像与 x 轴围成的三角
6、形面积大于 6，求 a 的取值范围. 解析：（I）（方法一） 当1a 时， 不等式( )1f x 可化为1211xx ， 等价于 1 1 221 x xx 或 11 1221 x xx 或 1 1 221 x xx ，解得 2 2 3 x. （方法二）当1a 时，不等式( )1f x 可化为1211xx ，结合绝对值的几何意义，不等式 的含义为：数轴上一点 x 到点1的距离与它到 1 的距离的 2 倍之差大于 1. 设点 x 到1的距离为 1 d，到1的距离为 2 d，结合 数 轴 可 知 ： 若x在 1,1内 ， 则 有 12 12 2 21 dd dd 解得 2 1 3 d ；故 2 (
7、,1 3 x. 若 x 在(1,)内，则有 12 12 2 21 dd dd 解得 2 1d ；故(1,2)x. 综上可得 2 2 3 x. （）由题设可得， 1 2 ,1 ( )31 2 , 1 1 2 , xa x f xxaxa xa xa ， 所以函数( )f x的图像与x轴围成的三角形的 三个顶点分别为 21 (,0) 3 a A ，(21,0)Ba，( , +1)C a a，所以 ABC 的面积为 2 2 (1) 3 a.由题设得 2 2 (1) 3 a6，解得2a.所以a的取值范围为（2，+）. 【2014，24） 】若0,0ab，且 11 ab ab . () 求 33 ab的
8、最小值； （）是否存在, a b，使得236ab？并说明理由. 【解析】 ：() 由 112 ab abab ，得2ab，且当2ab时等号成立， 故 3333 34 2aba b，且当2ab时等号成立， 33 ab的最小值为4 2. 5 分 （）由6232 6abab，得 3 2 ab ，又由()知2ab，二者矛盾， 所以不存在, a b，使得236ab成立. 10 分 【2013，24】已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)设 a1，且当 x 1 , 2 2 a 时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围 解：(1)
9、当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30. 设函数 y|2x1|2x2|x3， -1 1 x -1 1 x 则 y 1 5 , 2 1 2,1, 2 36,1. x x xx xx 其图像如图所示从图像可知，当且仅当 x(0,2)时，y0. 所以原不等式的解集是x|0x2 (2)当 x 1 , 2 2 a 时，f(x)1a. 不等式 f(x)g(x)化为 1ax3. 所以 xa2 对 x 1 , 2 2 a 都成立 故 2 a a2，即 4 3 a . 从而 a 的取值范围是 4 1, 3 . 【2012，24】已知函数( ) |2|f xxax。 （1)当3a时，求
10、不等式3)(xf的解集； （2）若|4|)( xxf的解集包含1，2，求a的取值范围。 【解析】 （1）当3a时， 52 (2) ( ) |3|2|1(23) 25(3) x x f xxxx xx 。 所以不等式3)(xf可化为 2 523 x x ，或 23 13 x ，或 3 253 x x 。 解得1x，或4x。 因此不等式3)(xf的解集为|1x x 或4x 。 （2）由已知|4|)( xxf即为|2| |4|xaxx， 也即| |4|2|xaxx。 若|4|)( xxf的解集包含1，2，则1,2x ，| |4|2|xaxx， 也就是1,2x ，| 2xa， 所以1,2x ， 2 2
11、 xa xa ，从而 12 22 a a ， 解得30a 。因此a的取值范围为 3,0a 。 【2011，24】设函数( )3f xxax,其中0a。 （）当1a 时，求不等式( )32f xx的解集； （）若不等式( )0f x 的解集为|1x x ，求 a 的值。 解： （I）当1a 时， 32f xx可化为12x 由此可得3x 或1x ，故不等式 32f xx的解集为3x x 或1x . （II）由 0f x 得30xax 此不等式化为不等式组 30 xa xax 或 30 xa axx 即 4 xa a x 或 2 xa a x . 由于0a ，所以不等式组的解集为 2 a x x . 由题设可得1 2 a ，故2a .
