1、9解析几何解析几何（含解析）（含解析） 一、选择题一、选择题 【2017，10】已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A、 B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A16 B14 C12 D10 【2016，10】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于BA,两点，交C的准线于ED,两点，已知 24AB,52DE，则C的焦点到准线的距离为（ ） A2 B4 C6 D8 【2016，5】已知方程1 3 2 2 2 2 nm y nm x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的
2、取值范围是（ ） A)3 , 1( B)3, 1( C)3 , 0( D)3, 0( 【2015， 5】 已知 00 (,)M xy是双曲线C： 2 2 1 2 x y上的一点， 12 ,F F是C的两个焦点， 若 12 0MF MF， 则 0 y的取值范围是（ ） A 33 (,) 33 B 33 (,) 66 C 2 2 2 2 (,) 33 D 2 3 2 3 (,) 33 【2014，4】已知F是双曲线C： 22 3 (0)xmym m的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 A3 B3 C3m D3m 【2014，10】已知抛物线C： 2 8yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，
3、Q是直线PF与C的一个 交点，若4FPFQ，则|QF=（ ） A 7 2 B 5 2 C3 D2 【2013，4】已知双曲线 C： 22 22 =1 xy ab (a0，b0)的离心率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程为( ) Ay 1 4 x By 1 3 x Cy 1 2 x Dy x 【2013，10】已知椭圆 E： 22 22 =1 xy ab (ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( ) A 22 =1 4536 xy B 22 =1 3627 xy C 22 =1 2718 xy D 22 =1
4、 189 xy 【2012，4】设 1 F、 2 F是椭圆 E： 22 22 xy ab （0ab）的左、右焦点，P 为直线 3 2 a x 上一点， 21 F PF是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ） A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 5 【2012，8】等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线 2 16yx的准线交于 A，B 两点， | 4 3AB ，则 C 的实轴长为（ ） A2 B2 2 C4 D8 【2011，7】设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点，AB为 C 的实轴长的 2
5、倍，则 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D3 二、填空题二、填空题 【2017，15】已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点若MAN=60 ，则 C 的离心率为_ 【2015， 14】 一个圆经过椭圆 22 1 164 xy 的三个顶点， 且圆心在x轴的正半轴上， 则该圆的标准方程为 【2011，14】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点 12 ,F F在x轴上，离心率为 2 2 过 1 F的直线 L 交 C 于,A B两点，且 2 ABFV的周长
6、为 16，那么C的方程为 三、解答题三、解答题 【2017，20】已知椭圆 C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点 P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ） 中恰有三点在椭圆 C 上 （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率 的和为1，证明：l 过定点 【2016， 20】 设圆0152 22 xyx的圆心为A， 直线l过点)0 , 1 (B且与x轴不重合，l交圆A于DC, 两点，过B作AC的平行线交AD于点E （）证明EBEA 为定值，并写出点E的轨
7、迹方程； （） 设点E的轨迹为曲线 1 C， 直线l交 1 C于NM,两点， 过B且与l垂直的直线与圆A交于QP,两 点，求四边形MPNQ面积的取值范围 【2015，20】在直角坐标系xOy中，曲线C： 2 4 x y 与直线l：ykxa（0a）交于,M N两点 （）当0k 时，分别求C在点M和N处的切线方程； （）在y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由 【2014，20】已知点A（0，-2） ，椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，F是椭圆的焦点， 直线AF的斜率为 2 3 3 ，O为坐标原点 ()求E的方程； （）设过点A的直线l
8、与E相交于,P Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程 【2013，20】已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆 心 P 的轨迹为曲线 C (1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径 最长时，求|AB| 【2012，20】设抛物线 C：pyx2 2 （0p）的焦点为 F，准线为l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交l于 B，D 两点 （1）若BFD=90 ，ABD 的面积为24，求p的值及圆 F 的方程； （2）若 A
9、，B，F 三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与 C 只有一个公共点，求坐标原点 到m，n距离的比值 【2011，20】在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足/ /MBOA uuu ruur ， MA ABMB BA uuu r uu u ruuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线 C （）求 C 的方程； （）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值 9解析几何解析几何（解析版）（解析版） 一、选择题一、选择题 【2017，10】已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两
10、条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A、 B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A16 B14 C12 D10 【解析】设AB倾斜角为作 1 AK垂直准线， 2 AK垂直x轴，易知 1 1 cos 22 AFGFAK AKAF PP GPP （几何关系） （抛物线特性） ， cosAFPAF，同理 1cos P AF ， 1cos P BF ， 22 22 1cossin PP AB ， 又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为 2 ， 2 2 22 cos sin 2 PP DE ，而 2 4yx，即2P 22 11 2 sinco
11、s ABDEP 22 22 sincos 4 sincos 22 4 sincos 2 4 1 sin 2 4 2 16 16 sin 2 ，当且仅当 4 取等号，即ABDE最小值为16，故选 A； 【法二】依题意知： 2 2 sin P AB ， 2 2 22 cos sin 2 PP DE ，由柯西不等式知： 2 2222 11(1 1) 22816 sincossincos ABDEPPP ，当且仅当 4 取等号，故选 A； 【2016，10】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于BA,两点，交C的准线于ED,两点，已知 24AB,52DE，则C的焦点到准线的距离为（ ） A2 B4 C6 D
12、8 【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线为 2 2ypx0p ，设圆的方程为 222 xyr，如图： 设 0,2 2 A x，, 5 2 p D ，点 0,2 2 A x在抛物线 2 2ypx上， 0 82px；点, 5 2 p D 在圆 222 xyr上， F 2 2 5 2 p r ；点 0,2 2 A x在圆 222 xyr上， 22 0 8xr；联立解得：4p ，焦点到准线的距离为4p 故选 B 【2016，5】已知方程1 3 2 2 2 2 nm y nm x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的 取值范围是（ ） A)3 , 1( B)3, 1(
13、 C)3 , 0( D)3, 0( 【解析】 22 22 1 3 xy mnmn 表示双曲线，则 22 30mnmn ， 22 3mnm 由双曲线性质知： 2222 34cmnmnm， 其中c是半焦距， 焦距22 24cm ， 解得1m 13n ，故选 A 【2015， 5】 已知 00 (,)M xy是双曲线C： 2 2 1 2 x y上的一点， 12 ,F F是C的两个焦点， 若 12 0MF MF， 则 0 y的取值范围是（ ） A 33 (,) 33 B 33 (,) 66 C 2 2 2 2 (,) 33 D 2 3 2 3 (,) 33 解析：从 12 0MF MF入手考虑， 12
14、 0MF MF可得到以 12 FF为直径的圆与C的交点 1234 ,M MM M（不妨设 12 ,M M在左支上， 34 ,MM在右支上） ，此时 1112 M FM F， 1112 2 2M FM F， 12 2 3FF ， 1 1 2 1112012 11 | 22 M F F SM F M FyFF 解得 0 3 | 3 y ，则M在 双曲线的 12 M M或 34 M M上运动， 0 y 33 (,) 33 ，故选 A. 【2014，4】已知F是双曲线C： 22 3 (0)xmym m的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 A.3 B.3 C.3m D.3m 【解析】 ：由C： 2
15、2 3 (0)xmym m，得 22 1 33 xy m ， 2 33,33cmcm 设 33,0Fm，一条渐近线 3 3 yx m ，即0xmy，则点F到C的一条渐近线的距离 33 1 m d m =3，选 A. 【2013，4】已知双曲线 C： 22 22 =1 xy ab (a0，b0)的离心率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程为( ) Ay 1 4 x By 1 3 x Cy 1 2 x Dy x 解析：选解析：选 C， 5 2 c e a ， 222 2 22 5 4 cab e aa ，a24b2， 1 = 2 b a ，渐近线方程为 1 2 b yxx a . 【2013，10】
16、已知椭圆 E： 22 22 =1 xy ab (ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( ) A 22 =1 4536 xy B 22 =1 3627 xy C 22 =1 2718 xy D 22 =1 189 xy 解析：选解析：选 D，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B 在椭圆上， 22 11 22 22 22 22 1, 1, xy ab xy ab ，得 12121212 22 =0 xxxxyyyy ab ，即 2 1212 2 1212 = yyyyb axxxx ， AB 的中点为
17、(1，1)，y1y22，x1x22，而 12 12 yy xx kAB 011 = 3 12 ， 2 2 1 = 2 b a . 又a2b29，a218，b29. 椭圆 E 的方程为 22 =1 189 xy .故选 D. 【2012，4】设 1 F、 2 F是椭圆 E： 22 22 xy ab （0ab）的左、右焦点，P 为直线 3 2 a x 上一点， 21 F PF是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ） A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 5 【解析】如图所示， 21 F PF是等腰三角形， 2121 30F FPF PF， 212 | | 2F PFFc， 2
18、60PF Q， 2 30F PQ， 2 |FQc，又 2 3 | 2 a F Qc， 所以 3 2 a cc，解得 3 4 ca，因此 3 4 c e a ，故选择 C 【2012，8】等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线 2 16yx的准线交于 A，B 两点， | 4 3AB ，则 C 的实轴长为（ ） A2 B2 2 C4 D8 【解析】设等轴双曲线 C 的方程为 22 22 1 xy aa ， 即 222 xya（0a） ，抛物线 2 16yx的准线方程为4x， 联立方程 222 4 xya x ，解得 22 16ya， 因为| 4 3AB ，所以 222 |(2|)
19、448AByy，从而 2 12y ， 所以 2 1612a， 2 4a ，2a，因此 C 的实轴长为24a，故选择 C 【2011，7】设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点，AB为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D3 解析：通径|AB|= 2 2 2 b a a 得 22222 22baaca，选 B 二、填空题二、填空题 【2017，15】已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、
20、N 两点若MAN=60 ，则 C 的离心率为_ （15）【解析】如图，OAa，ANAMb， 60MAN， 3 2 APb， 22 22 3 4 OPOAPAab ， 22 3 2 tan 3 4 b AP OP ab ， 又tan b a ， 22 3 2 3 4 b b a ab ， 解得 22 3ab， 2 2 12 3 11 33 b e a ； 【法二】如上图可知( ,0)A a到渐进线0bxay的距离为 22 abab dAP c ab ， 1 ,60 ,coscos30 2 ab APAMNa c ANAMbAMN ANbce 又 ， 2 3 3 e ； 【法三】如图在等边三角形A
21、MN中 3 , 2 APb FHb 由OAPOFH知 3 2 3 2 3 b aa e cbc ； 【法四】如图，由等面积法可得，在三角形OAN中， 132 3 2223 abc cbe a ； 【法五】因为,AMb OAa且渐进线 bx y a 可得三角形OAN为 双曲线三角线（即三边分别为, ,a b c） ，有几何意义易得30MAPMOA 2 32 3 tan,1 33 bb MOAe aa ； 【2015， 14】 一个圆经过椭圆 22 1 164 xy 的三个顶点， 且圆心在x轴的正半轴上， 则该圆的标准方程为 . 解析：由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点(0,2),
22、(0, 2),(4,0)； （方法一）设圆的半径为r，则有 222 (4)2rr，可得 5 2 r ，故所求圆的标准方程为 22 325 () 24 xy. （方法二）设圆的标准方程为 222 ()(0)xayra，代入点(0,2),(4,0)，解方程组可得 35 , 22 ar半径为r，故所求圆的标准方程为 22 325 () 24 xy. （方法三）设圆的一般方程为 22 0xyDxEyF，代入点(0,2),(0, 2),(4,0)，解方程组可 得3,0,4DEF ,化为标准方程为 22 325 () 24 xy. 【2014，10】已知抛物线C： 2 8yx的焦点为F，准线为l，P是l上
23、一点，Q是直线PF与C的一个 交点，若4FPFQ，则|QF= A. 7 2 B. 5 2 C.3 D.2 【解析】选 C，过 Q 作 QM直线 L 于 M，4FPFQ 3 4 PQ PF ，又 3 44 QMPQ PF ，3QM ，由抛物线定义知3QFQM 【2011，14】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点 12 ,F F在x轴上，离心率为 2 2 过 1 F的直线 L 交 C 于,A B两点，且 2 ABFV的周长为 16，那么C的方程为 解析：由 2 2 416 c a a 得 a=4.c=2 2,从而 b=8, 22 1 168 xy 为所求 三、解答题三、解答题 【2
24、017，20】已知椭圆 C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点 P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ） 中恰有三点在椭圆 C 上 （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率 的和为1，证明：l 过定点 【解析】（1）根据椭圆对称性，必过 3 P、 4 P，又 4 P横坐标为 1，椭圆必不过 1 P，所以过 234 PPP，三点，将 23 3 0 11 2 PP ， ，代入椭圆方程得： 2 22 1 1 3 1 4 1 b ab ，解得 2 4a ， 2
25、 1b ， 椭圆C的方程为： 2 2 1 4 x y （2）当斜率不存在时，设: AA l xmA myB my， ， 22 112 1 AA P AP B yy kk mmm ，得2m ，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足 当斜率存在时，设1l ykxb b， 1122 A xyB xy， 联立 22 440 ykxb xy ，整理得 222 148440kxkbxb， 12 2 8 14 kb xx k ， 2 12 2 44 14 b xx k ，则 22 12 12 11 P AP B yy kk xx 212121 12 xkxbxx kxbx x x 22 2 2 2 8
26、888 14 44 14 kbkkbkb k b k 81 1 411 k b bb ，又 1b ，21bk ，此时64k ， 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 1210864224 x Q P N M A B 22 2 22 22 3636 34121 |1|1 3434 MN mmm MNmyym mm 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 141210864224 x E D A B C 存在k使得0 成立直线l的方程为21ykxk，当2x 时， 1y ，所以l过定点21， 【2016， 20】 设圆0152 22 xyx的圆心为A， 直线l过点)0 , 1 (B且与x轴不重合，
27、l交圆A于DC, 两点，过B作AC的平行线交AD于点E （）证明EBEA 为定值，并写出点E的轨迹方程； （） 设点E的轨迹为曲线 1 C， 直线l交 1 C于NM,两点， 过B且与l垂直的直线与圆A交于QP,两 点，求四边形MPNQ面积的取值范围 【解析】 ： 圆 A 整理为 2 2 116xy，A 坐标1,0，如图， BEACQ，则CEBD，由,ACADDC则， EBDD ，则EBED ， 4 |AEEBAEEDADAB 根据椭圆定义为一个椭圆，方程为 22 1 43 xy ，(0y )； 22 1: 1 43 xy C；设:1l xmy，因为PQl，设:1PQ ym x， 联立 1 lC
28、与椭圆 ： 22 1 1 43 xmy xy 22 34690mymy ，则 圆心A到PQ距离 22 |1 1 |2| 11 mm d mm ， 所以 22 22 2 2 44 34 | 2 |2 16 1 1 mm PQAQd m m ， 2 22 2 22 2 121 114 342411 | |2412,8 3 1 2234 134 3 1 MPNQ m mm SMNPQ m mm m 【2015，20】在直角坐标系xOy中，曲线C： 2 4 x y 与直线l：ykxa（0a）交于,M N两点. （）当0k 时，分别求C在点M和N处的切线方程； （）在y轴上是否存在点P，使得当k变动时，
29、总有OPMOPN？说明理由. 解： （）当0k 时，点(2, )Ma a和( 2, )Na a， 2 x y ，故2xa处的导数值为a，切 线方程为(2)yaa xa，即0axya；同理，2xa 处的导数值为a，切线方程为 (2)yaa xa ，即0axya. （）在y轴上存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN.证明如下： 设(0, )Pb为符合题意的点， 1122 ( ,),(,)M x yN xy，直线,PM PN的斜率分别为 12 ,k k. 直线l与曲线C的方程联立可得 2 440xkxa，则 1212 4 ,4xxk x xa . 121212 12 1212 2()()()yb
30、ybkx xab xxk ab kk xxx xa ，当ba时， 12 0kk，则直线 ,PM PN的倾斜角互补，故OPMOPN，即(0,)Pa符合题意. 【2014，20】已知点A（0，-2） ，椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，F是椭圆的焦点， 直线AF的斜率为 2 3 3 ，O为坐标原点. ()求E的方程； （）设过点A的直线l与E相交于,P Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程. 【解析】 ：() 设,0F c，由条件知 22 3 3c ，得3c 又 3 2 c a ， 所以， 222 1bac ,故E的方程 2 2 1 4 x y. .6 分
31、 （）依题意当lx轴不合题意，故设直线 l：2ykx，设 1122 ,P x yQ x y 将2ykx代入 2 2 1 4 x y，得 22 1416120kxkx， 当 2 16(43)0k ，即 2 3 4 k 时， 2 1,2 2 82 43 1 4 kk x k 从而 22 2 12 2 4143 1 1 4 kk PQkxx k ，又点 O 到直线 PQ 的距离 2 2 1 d k ，所以OPQ 的面积 2 2 14 43 21 4 OPQ k Sd PQ k ，设 2 43kt，则0t ， 2 44 1 4 4 OPQ t S t t t ， 当且仅当2t ， 7 2 k 等号成立
32、，且满足0 ， 所以当OPQ 的面积最大时，l的方程为： 7 2 2 yx 或 7 2 2 yx . 12 分 【2013，20】已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆 心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径 最长时，求|AB|. 解：由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23. 设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与
33、圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为3的椭圆(左顶点 除外)，其方程为 22 =1 43 xy (x2) (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x， y)， 由于|PM|PN|2R22， 所以 R2， 当且仅当圆 P 的圆心为(2,0) 时，R2. 所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x2)2y24. 若 l 的倾斜角为 90 ，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|2 3. 若 l 的倾斜角不为 90 ，由 r1R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 1 |
34、 | QPR QMr ，可求得 Q(4,0)，所以可设 l：yk(x4) 由 l 与圆 M 相切得 2 |3 | =1 1 k k ，解得 k 2 4 . 当 k 2 4 时，将 2 2 4 yx代入 22 =1 43 xy ，并整理得 7x28x80，解得 x1,2 46 2 7 . 所以|AB| 2 21 18 1| 7 kxx. 当 2 4 k 时，由图形的对称性可知|AB| 18 7 . 综上，|AB|2 3或|AB| 18 7 . 【2012，20】设抛物线 C：pyx2 2 （0p）的焦点为 F，准线为l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交l于 B，
35、D 两点 （1）若BFD=90 ，ABD 的面积为24，求p的值及圆 F 的方程； （2）若 A，B，F 三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与 C 只有一个公共点， 求坐标原点到m，n距离的比值 【解析】 （1）若BFD=90 ，则BFD 为等腰直角三角形， 且|BD|=2p，圆 F 的半径|2rFAp， 又根据抛物线的定义可得点 A 到准线l的距离 |2dFAp 因为ABD 的面积为24， 所以 1 |4 2 2 BD d，即 1 224 2 2 pp， 所以 2 4p ，由0p，解得2p 从而抛物线 C 的方程为 2 4xy， 圆 F 的圆心 F（0，1） ，半径| 2 2rFA，
36、因此圆 F 的方程为 22 (1)8xy （2）若 A，B，F 三点在同一直线m上， 则 AB 为圆 F 的直径，ADB=90 ， 根据抛物线的定义， 得 1 | | 2 ADFAAB， 所以30ABD， 从而直线m的斜率为 3 3 或 3 3 当 直 线m的 斜 率 为 3 3 时 ， 直 线m的 方 程 为 3 32 p yx， 原 点 O 到 直 线m的 距 离 1 2 2 3 1 () 3 p d 依题意设直线n的方程为 3 3 yxb，联立 2 3 3 2 yxb xpy ，得 2 2 3 20 3 xpxpb， 因为直线n与 C 只有一个公共点，所以 2 4 80 3 p pb ，
37、从而 6 p b 所以直线n的方程为 3 36 p yx，原点 O 到直线n的距离 2 2 6 3 1 () 3 p d 因此坐标原点到m，n距离的比值为 1 2 2 3 6 p d p d 当直线m的斜率为 3 3 时，由图形的对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值也为 3 【2011，20】在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足/ /MBOA uuu ruur ， MA ABMB BA uuu r uu u ruuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线 C （）求 C 的方程； （）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切
38、线，求 O 点到 l 距离的最小值 解： （I）设,M x y，由已知得, 3B x ，0, 1A. 所以, 1,MAxy ，0, 3,MBy ，, 2ABx. 再由题意可知 0MAMBAB，即 , 4, 2,20xyx . 所以曲线C的方程为 2 1 2 4 yx. （II）设 00 ,P x y为曲线 2 1 :2 4 C yx上一点，因为 1 2 yx ，所以l的斜率为 0 1 2 x. 因此直线l的方程为 000 1 2 yyxxx，即 2 000 220x xyyx. 则O点到l的距离 2 00 2 0 2 4 yx d x . 又 2 00 1 2 4 yx，所以 2 0 2 0 22 00 1 4 14 2 42 2 44 x dx xx 当 0 0x 时取等号，所以O点到l的距离的最小值为2.
