1、高等数学电子教案高等数学电子教案第第6 6章章 定积分及其应用定积分及其应用 定积分起源于求图形的面积和体积等实际问定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。题。微积分是一种微积分是一种数学思想数学思想，“无限细分无限细分”就就是微分，是微分，“无限求和无限求和”就是积分。无限就是极限，就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础。极限的思想是微积分的基础。“无限细分，无限求和无限细分，无限求和”的积分思想在古代的积分思想在古代就已经萌牙最早可以追溯到希腊由就已经萌牙最早可以追溯到希腊由阿基米德阿基米德（287BC287BC212BC212BC）等人提出的计算面积和体积的）等人提出的计算面
2、积和体积的方法方法阿基米德用阿基米德用“穷竭法穷竭法”，我国刘徽用，我国刘徽用“割割圆术圆术”都曾计算过一些几何体的面积和体积。这都曾计算过一些几何体的面积和体积。这些均为定积分的雏形。些均为定积分的雏形。后来也逐步得到了一系列后来也逐步得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的果，但这些结果都是孤立的，不连贯的高等数学电子教案高等数学电子教案 直到直到1717世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在各自的世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在各自的国家，从不同的角度，用不同的方法，先后提出国家，从不同的角度，用不同的方法，先后提出
3、了定积分的概念，并发现了定积分和微分之间的了定积分的概念，并发现了定积分和微分之间的内在联系，内在联系，确立微分和积分是互逆的两种运算，确立微分和积分是互逆的两种运算，并使各自独立的微分学和积分学联系在一起，构并使各自独立的微分学和积分学联系在一起，构成完整的理论体系成完整的理论体系微积分学。他们给出了计微积分学。他们给出了计算定积分的一般方法，从而使定积分成为解决实算定积分的一般方法，从而使定积分成为解决实际问题的有力工具。际问题的有力工具。怎样是怎样是“无限细分无限细分”？怎样是怎样是“无限求和无限求和”？高等数学电子教案高等数学电子教案abxyo?A实例实例 求曲边梯形的面积求曲边梯形的
4、面积)(xfy 高等数学电子教案高等数学电子教案abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积形面积四个小矩形四个小矩形 九个小矩形九个小矩形高等数学电子教案高等数学电子教案播放播放 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与曲边梯形
5、面积的关系：3 3个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：13 13个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：23 23个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与
6、曲边梯形面积的关系：33 33个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：43 43个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：53 53个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，
7、矩形面积和与曲边梯形面积的关系：63 63个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：73 73个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：83 83个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积
8、的关系：时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：93 93个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：103103个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：113113个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形
9、面积和与曲边梯形面积的关系：矩形面积和与曲边梯形面积的关系：123123个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：133133个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 观察下列演示过程，注意当分割加细观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系：143143个分点个分点的图示的图示高等数学电子教案高等数学电子教案 1.1.了解定积分定义、几何意义、定积分了解定积分定义、几
10、何意义、定积分的性质。的性质。2.2.了解原函数存在定理，知道变上限的了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。定积分，会求变上限定积分的导数。3.3.熟练掌握牛顿熟练掌握牛顿莱布尼兹公式，并熟莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。掌握定积分的换元积分练地用它计算定积分。掌握定积分的换元积分法和分部积分法。法和分部积分法。4.4.了解无穷积分收敛性概念，会计算简了解无穷积分收敛性概念，会计算简单的无穷积分。单的无穷积分。5.5.会用定积分计算简单的平面曲线围成会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积图形的面积(直角坐标系直角坐标系)和绕坐标轴旋转生成和绕坐标轴旋转生成的
11、旋转体体积。的旋转体体积。学习要求高等数学电子教案高等数学电子教案a b123n1.曲边梯形的面积的计算曲边梯形的面积的计算y=f(x)1x2x3x1nxnx1)(iiixfAniiinxfA1)(limnAAAA21分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限AiA2A1AnA3AniiiniixfAA11)(x0y 当分割无限加密，区间当分割无限加密，区间a，b分得越细，分得越细，精确度就越高。精确度就越高。max1inix令1iiixxx6.1 6.1 定积分的概念定积分的概念一、两个例子一、两个例子高等数学电子教案高等数学电子教案1t2t13itt1nitt nt2.2.变速直线运动的
12、位移变速直线运动的位移 设物体作变速直线运动，已知运动的速度函数设物体作变速直线运动，已知运动的速度函数为为 v(t),求在时间间隔求在时间间隔0，T内物体的位移内物体的位移。1iiittt分割分割1)(iiitvs近似代替近似代替iabv(t)求和求和niiiniitvSS11)(niiitvS10)(lim取极限取极限max1init令部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度高等数学电子教案高等数学电子教案 思路：思路：把整段时间分割成若干小段，每小段把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过
13、对时加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值间的无限细分过程求得路程的精确值高等数学电子教案高等数学电子教案二、定积分的定义二、定积分的定义 设函数设函数 f(x)在在a,b上有界上有界,在在a,b中任意插入中任意插入n-1个分点个分点bxxxxxxanii1210将将a,b分割为分割为n个小区间个小区间 ,1iixx1iiixxx记其长度为记其长度为时，若当记0,max1inixdxxfba)(,1iixx(i=1,2,3,n),并在每一个小区间并在每一个小区间 上任取一点上任取一点 ,ia,b的分法及的分法及 的取法无关的极限值，则称此极限值的取法无关的极限值，
14、则称此极限值为为 f(x)在在a,b上的定积分，称上的定积分，称 f(x)在在 a,b上上可积可积，记为记为iniiixf10)(limniiixf1)(作和式作和式niiixf1)(存在与存在与高等数学电子教案高等数学电子教案dxxfba)(niiixf10)(lim其中称其中称 x 为为积分变量积分变量，称，称f(x)被积函数被积函数，并称，并称 为积为积分号，分号，a，b为为积分的下限和上限积分的下限和上限，a,b为为积分区间积分区间。定积分是一个无穷和的极限。定积分是一个无穷和的极限。被积函数被积函数积分变量积分变量积分区间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和积分号积分号
15、高等数学电子教案高等数学电子教案曲边梯形的面积曲边梯形的面积dxxfAba)(时，当0)(xf二、定积分的几何意义二、定积分的几何意义a bx0yy=f(x)A,0)(时当xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值高等数学电子教案高等数学电子教案1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 定积分的物理意义：定积分的物理意义：dtt)v(sT0变速直线运动的位移变速直线运动的位移一般地一般地高等数学电子教案高等数学电子教案注意：注意：badxxf)(badttf)(baduuf)(（1 1）定积分是一个）定积分是一个无穷和的极限，无穷和的极限，是一个是一个数值。数值。高
16、等数学电子教案高等数学电子教案定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理高等数学电子教案高等数学电子教案 恩格斯指出：初等数学，即常数的数学，是恩格斯指出：初等数学，即常数的数学，是形式逻辑的范围内活动的。至少总的来说是这样形式逻辑的范围内活动的。至少总的来说是这样的，而变量数学的，而变量数学其中最主要的部分是微积其中最主要的部分是微积分分本质上不外是辩证法在数学方面的应用。本质上不外是辩证法在数学方面的应用。从初等数学到变量数学的过渡，反映了人类从初等数学到变量数学的过渡，反映了人类思维从形式逻辑向辩证逻辑的跨越，是人类的认思维从形式逻辑向辩证逻辑的跨越，是人类的认识能力由低级向高
17、级的发展。识能力由低级向高级的发展。求定积分过程中的辩证思维求定积分过程中的辩证思维高等数学电子教案高等数学电子教案 定积分中极限方法可以使有关常数与变量，定积分中极限方法可以使有关常数与变量，近似与精确，变与不变等矛盾的对立双方想互近似与精确，变与不变等矛盾的对立双方想互转化，从而化未知为已知，体现了对应统一法转化，从而化未知为已知，体现了对应统一法则。则。求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的前三步即程的前三步即“分割分割”，“近似代替近似代替”和和“求求和和”是初等数学方法的体现，而且也是初等数是初等数学方法的体现，而且也是初等数学方法中形式逻辑思维
18、的体现。学方法中形式逻辑思维的体现。只有第四步只有第四步“取极限取极限”这种思维蕴含于变这种思维蕴含于变量数学中的丰富的辩证逻辑思维，才使得微积量数学中的丰富的辩证逻辑思维，才使得微积分巧妙地有效地解决了初等数学所不能解决的分巧妙地有效地解决了初等数学所不能解决的问题。问题。高等数学电子教案高等数学电子教案 例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分iinixf)(1iinix1nnini11 niin1212)1(12nnn,1121nn0dxx10iinix10limnn1121lim.21解解dxx100 1 xyxy 高等数学电子教案高等数学电子教案 例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分iinixf )(1 iinix 21 nnini121niin12316)12)(1(13nnnn,121161nnn0dxx102iinix210limnnn121161lim.31解解.102dxx0 xy2xy 高等数学电子教案高等数学电子教案分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不求近似以直（不变）代曲（变）变）代曲（变）取极限取极限小小 结结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：近似代替近似代替以直代曲以直代曲
