1、2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 第第2 2章章 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 2.1 2.1 系统的经典时域解法系统的经典时域解法 2.2 2.2 零输入响应与零状态响零输入响应与零状态响应应2.3 2.3 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应 2.4 2.4 卷积积分卷积积分 2.5 2.5 相关相关 2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 采用输入输出描述时，系统的时域解法包含两采用输入输出描述时，系统的时域解法包含两方面内容，方面内容，一方面是经典法直接求解微分方程一方面是经典法直接求解微分方程,另一
2、方另一方面是卷积法求解微分方程。面是卷积法求解微分方程。利用经典法求解描述系统的微分方程，这种解利用经典法求解描述系统的微分方程，这种解法将系统的全响应分为自由响应和强迫响应两部分，法将系统的全响应分为自由响应和强迫响应两部分，也可以按照产生响应原因的不同将系统响应分解为零也可以按照产生响应原因的不同将系统响应分解为零输入响应和零状态响应。输入响应和零状态响应。卷积法是将信号分解成许多冲激信号之和，借卷积法是将信号分解成许多冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解线性时不变系统对任意激励助系统的冲激响应，求解线性时不变系统对任意激励信号的零状态响应。信号的零状态响应。2 2 连续时间信号与系统的
3、时域分析连续时间信号与系统的时域分析 用卷积积分只能求到系统的零状态响应，零输入响用卷积积分只能求到系统的零状态响应，零输入响应仍需用经典法求得。应仍需用经典法求得。本章在经典法求解微分方程的基础上，重点讨论本章在经典法求解微分方程的基础上，重点讨论系统的零输入响应和零状态响应。通过引入冲激响应系统的零输入响应和零状态响应。通过引入冲激响应和卷积积分等概念，利用冲激响应和卷积求系统输出和卷积积分等概念，利用冲激响应和卷积求系统输出响应，使得系统分析更加简捷、明晰。响应，使得系统分析更加简捷、明晰。2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 2.1 2.1 经典时域解法经典
4、时域解法2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述。来描述。1 1物理系统的模型物理系统的模型2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。拓扑约束列写系统的微分方程
5、。元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 在电流、电压取关联参考方向条件下，常用元件在电流、电压取关联参考方向条件下，常用元件的电压电流关系如下：的电压电流关系如下：)(1)(tuRtiRRdtt
6、diLtuLL)()(tLLuLtid)(1)(dttduCtiCC)()(tCCiCtud)(1)(2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 电感电感 电阻电阻 tvRtiR1 d1 tLvLti电容电容 ttvCtiCdd 根据根据KCL titititiCLRS 代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。tisRRiLLiCciab tv 求图示电路的端电压与激励源之间的关系求图示电路的端电压与激励源之间的关
7、系.【例【例】2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d011101111txbttxbttxbttxbtyattyattyattyammmmmmnnnnnn 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则 均为常数，此方程均为常数，此方程为常系数的为常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件个数决定。方程的阶次由独立的动态元件个数决定。n阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之之间的关系，可以用下列形式
8、的微分方程式来描述间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述)(tx)(tyjiba,2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 分析系统的方法：列写方程，求解方程。分析系统的方法：列写方程，求解方程。变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求解解零零输输入入应应零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程:,:求解方程时域经典法就是：求解方程时域经典法就是：齐次解齐次解+特解特解2 2 求解系统微分方程的经典方法求解系统微分方程的经典方法
9、2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 齐次解：由特征方程齐次解：由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解：解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。nitihiecty1)(完全解完全解:齐次解和特解相加齐次解和特解相加,)()()(tytytyph齐次解中的待定系数可通过初始条件求得齐次解中的待定系数可通过初始条件求得.在系统分析中，响应区间定义为激励信号在系统分析中
10、，响应区间定义为激励信号 加加入后系统的状态变化区间。系统响应的求解区间为入后系统的状态变化区间。系统响应的求解区间为)(tx2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 .一组边界条件可以给定为在此区间内任一一组边界条件可以给定为在此区间内任一时刻时刻 要求解满足要求解满足t00t10100)(,)(),(nndttyddttdyty的各值。通常取的各值。通常取 相对应的一组条件就称为初始相对应的一组条件就称为初始条件。条件。00t 通过求解联立的方程组，可得齐次解中的待定系过求解联立的方程组，可得齐次解中的待定系数数.2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系
11、统的时域分析 激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(常常数数E)(常常数数Bpt1121ppppbtbtbtbt etbe t cos t sintbtbsincos21 tttp sine tttp cosetdtdtdtdtbtbtbtbtpppptppppsinecose11211121 几种典型激励函数相应的特解几种典型激励函数相应的特解2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析【例【例】已知给定的线性时不变系统微分方程为已知给定的线性时不变系统微分方程为)()(6)(5)(txtytyty其中激励其中激励 ,并且并且 ，求系统的完全响应
12、。求系统的完全响应。)()(tuetxt5.3)0(y5.8)0(y特征方程为特征方程为 06522132tthececty3221)(当激励当激励 时时,微分方程的特解为微分方程的特解为)()(tuetxttpbety)(2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 将将 及其导数和及其导数和 代入系统微分方程，得代入系统微分方程，得 )(typ)(tx21btttpheecectytyty21)()()(3221ttteececty2132)(3221考虑已知初始条件，得考虑已知初始条件，得 5.321)0(21ccy5.82132)0(21ccy2 2 连续时间信号与
13、系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 11c22c所以系统响应的完全解为所以系统响应的完全解为 ttteeety212)(32需要注意的需要注意的:特解的函数形式由系统所加的激励决定，齐次解特解的函数形式由系统所加的激励决定，齐次解的函数形式完全取决于特征方程的根。的函数形式完全取决于特征方程的根。由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此，的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此，齐次解只与系统本身特性有关齐次解只与系统本身特性有关。2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析
14、 1122d0d,d0d,d0d,00nnktytytyyy 1122d0d,d0d,d0d,00nnktytytyyy状态0状态0O 0 0t2.1.2 2.1.2 从从 到到 状态的转换状态的转换1.1.系统的起始状态和初始状态系统的起始状态和初始状态00系统在激励信号加入前瞬间的状态 起始状态包含了响应的全部过去信息，能够反映起始状态包含了响应的全部过去信息，能够反映系统中储能元件的储能状况。系统中储能元件的储能状况。响应区间内 时刻的一组状态 0t2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫当有冲激电流强迫作用于电容或有冲
15、激电压强迫作用于电感，作用于电感，状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。00 到到对于一个具体的电网络，系统的对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中状态就是系统中储能元件的储能情况储能元件的储能情况;0当系统用微分方程表示时，系统从 到 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数项。0 0 t 一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则换路定则：.00 ,00 LLCCiivv2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析
16、【例【例】设线性时不变系统微分方程为设线性时不变系统微分方程为)(4)(3)(4)(2)(txtxtytyty已知已知 求求 .,0)0(,2)0(),()(yytutx)0()0(yy和)(4)(3)(4)(2)(tuttytyty0000000000)(4)(3)(4)(2)(dttudttdttydttydtty3)0()0(2)0()0(yyyy考虑到考虑到 有有)0()0(yy3)0()0(yy将将 代入上式得代入上式得 0)0(,2)0(yy2)0(3)0(yy2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 对于具体的系统，对于具体的系统，系统的起始状态往往容易求
17、系统的起始状态往往容易求得。为求解描述线性时不变系统的微分方程，就需得。为求解描述线性时不变系统的微分方程，就需要从已知的要从已知的 状态设法求得状态设法求得 状态状态.当系统用微分方程表示时，从当系统用微分方程表示时，从 到到 状态有状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项中是否包含没有跳变取决于微分方程右端自由项中是否包含 及其各阶导数项，包含则说明响应及其各阶导数项，包含则说明响应 及各阶导数发及各阶导数发生了从生了从 到到 状态的跳变状态的跳变.这时，如果要确定这时，如果要确定 、等状态，可以利用微分方程两端各奇异函数项等状态，可以利用微分方程两端各奇异函数项的系数相平衡的方法来判断，并
18、对方程从的系数相平衡的方法来判断，并对方程从 到到 积分，从而求得积分，从而求得 时刻的初始值。时刻的初始值。0000)(t)(ty00)0(y)0(y0002 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 配平的原理：配平的原理：t t=0=0 时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的(t t)及各阶导数应该平衡及各阶导数应该平衡.ttytyt33dd0,0yy求已知 2 2 冲激函数匹配法冲激函数匹配法该过程可借助数学描述该过程可借助数学描述【例【例】2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 在在 中中 时刻有时刻有 ty0 t tu 9 t3方
19、程右端含 ttty3dd中必含 tty3中包含 t 方程右端不含方程右端不含 ttyttty939dd中的以平衡必含900yy900 yy即中的中的 tytdd t 9 表示表示 到到 的相对跳变函数，所以，的相对跳变函数，所以，tu 0 02 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 可知由方程ttrtyt33dd 项，方程右端含t tytdd它一定属于 tubtaty ttubtatuctbta 333900byy tuctbtatytdd设设则则代入方程代入方程得出得出所以所以900yy即即 03033bcaba 993cba即即2 2 连续时间信号与系统的时域分析连
20、续时间信号与系统的时域分析 冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题：冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题：(1)(1)对于冲激函数只匹配对于冲激函数只匹配 及其各阶导数项，及其各阶导数项，微分方程两端这些函数项都对应相等。微分方程两端这些函数项都对应相等。(2)(2)匹配从方程左端匹配从方程左端 的最高阶项开始，首的最高阶项开始，首先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配,在已在已匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配低阶项。低阶项。(3)(3)每次匹配方程低阶冲激函数项时，如果方每次匹配方程低阶冲激函数项时，
21、如果方程左端所有同阶次冲激函数各项系数之和不能和右程左端所有同阶次冲激函数各项系数之和不能和右端匹配，则由左端端匹配，则由左端 高阶项中补偿。高阶项中补偿。)(t)()(tyk)()(tyk2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析【例【例】微分方程为微分方程为)(4)(6)()(10)(7)(22txdttdxdttxdtydttdydttyd并且已知并且已知 的状态的状态,当当 时，激励发时，激励发生跳变从生跳变从 变到变到 .求求 状态。状态。22)0(,)0(),0(dtyddtdyy0tv0v20设)()()()()()()()()(22tuatytubtadt
22、tdytuctbtadttyd2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 代入微分方程得代入微分方程得)(8)(12)(2)()107()()7()(tutttuabctabta由两端平衡得由两端平衡得222cba所求的状态为所求的状态为 2)0()0(yy2)0()0(dtdydtdy2)0()0(2222dtyddtyd2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 2.1.3 2.1.3 系统响应的分解模式系统响应的分解模式 微分方程的解就是系统的全响应，由于经典法对微分方程的解就是系统的全响应，由于经典法对于复杂的输入信号或较高阶系统，计算繁琐，
23、不易求于复杂的输入信号或较高阶系统，计算繁琐，不易求出响应。在近代时域分析中，采用对系统响应进行分出响应。在近代时域分析中，采用对系统响应进行分解的方法，给分析和计算带来了一定的方便。系统的解的方法，给分析和计算带来了一定的方便。系统的全响应通常可按以下三种方式分解：全响应通常可按以下三种方式分解：(1)(1)全响应全响应=自由响应十强迫响应自由响应十强迫响应 (2)(2)全响应全响应=瞬态响应十稳态响应瞬态响应十稳态响应 (3)(3)全响应全响应=零输入响应十零状态响应零输入响应十零状态响应2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 各种系统响应定义各种系统响应定义 自
24、由响应：自由响应：也称固有响应，由也称固有响应，由系统本身特性决定系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。与外加激励形式无关。对应于齐次解。强迫响应：强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。形式取决于外加激励。对应于特解。暂态响应：暂态响应：是指激励信号接入一段时间内，完全响是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间应中暂时出现的有关成分，随着时间t t 增加，它将消失。增加，它将消失。稳态响应：稳态响应：由完全响应中减去暂态响应分量即得稳由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。态响应分量。零输入响应：零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始没有
25、外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。零状态响应：零状态响应：不考虑原始时刻系统储能的作用（起不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 2.2 2.2 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发生跳变，.零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所零输入响应是激励为零时仅由
26、系统的初始状态所引起的响应，用引起的响应，用 表示表示.()ziyt零输入响应满足齐次方程及起始条件零输入响应满足齐次方程及起始条件11(0)(0).(0)nnddyyydtdt、若其特征根全为单根，则其零输入响应若其特征根全为单根，则其零输入响应nktzikzikecty1)(2.2.1 2.2.1 零输入响应零输入响应0)()()()(0)1(1)1(1)(tyatyatyatyannnn)0()0()()(kkyy 2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析【例【例】系统微分方程为系统微分方程为)()(8)(6)(txtytyty已知起始状态已知起始状态 和和 ,求
27、系统的零输入响应。求系统的零输入响应。1)0(y2)0(y零输入响应是激励为零，所以系统的微分方零输入响应是激励为零，所以系统的微分方程可变为程可变为 0)(8)(6)(tytyty特征方程为特征方程为 08624122tzitziececty2241)(2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 又因为又因为 1)0(y2)0(y1)0()0(21ziziccyy224)0()0(21ziziccyy21zic有有 32zic所以系统的零输入响应为所以系统的零输入响应为 tteety2432)(2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 虽然零输入
28、响应和自由响应都是齐次方程的解，虽然零输入响应和自由响应都是齐次方程的解，但二者的系数各不相同。但二者的系数各不相同。零输入响应的系数仅由系统的初始状态决定，零输入响应的系数仅由系统的初始状态决定，而自由响应的系数要由系统的初始状态和激励共同而自由响应的系数要由系统的初始状态和激励共同来确定。来确定。在初始状态为零时，零输入响应为零，但在激在初始状态为零时，零输入响应为零，但在激励信号的作用下自由响应并不为零。励信号的作用下自由响应并不为零。2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的起所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的起始状
29、态为零始状态为零，即用，即用 表示；表示；零状态响应由起始状态为零时的方程所确定零状态响应由起始状态为零时的方程所确定 ()zsyt 1,1,00)0()()()()()()()()()(011101111nkytxbtxbdttxdbdttxdbtyadttdyadttydadttydakmmmmnnnnnn系统的零状态响应系统的零状态响应)()()(tytytyzspzshzs2.2.2 2.2.2 零状态响应零状态响应2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析【例【例】系统微分方程系统微分方程为为)(6)(2)(2)(3)(txtxtytyty已知起始状态已知起始状
30、态 ,2)0(y0)0(y求激励为求激励为)()(tutx时系统的零状态响应。时系统的零状态响应。微分方程的齐次解微分方程的齐次解 0)(2)(3)(tytyty特征方程为特征方程为 02322112tzstzsececty221)(2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 下面求微分方程的特解下面求微分方程的特解。零状态响应是起始状态为零，仅由激励所产生的响零状态响应是起始状态为零，仅由激励所产生的响应，所以有应，所以有)(6)(2)(2)(3)(tuttytytyzszszs设设)()()()()(tuatytubtatyzszs代入微分方程代入微分方程)(6)(2
31、)(3)()(tuttuatubta2a0b2)0()0(ayyzszs根据根据 2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 2)0(zsy2)0()0(zszsyy当输入当输入 ,微分方程特解为微分方程特解为 有有)()(tutxBtyp)(代入系统微分方程，得代入系统微分方程，得 3B因此，系统的零状态响应为因此，系统的零状态响应为 3)(221tzstzszsececty将初始值代入上式与其导数，得将初始值代入上式与其导数，得 2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 23)0(21zszszsccy22)0(21zszszsccy11zsc
32、解上式得 02zsc所以系统的零状态响应为所以系统的零状态响应为3)(2 tzsety 将系统的响应分解为零输入响应和零状态响应时，将系统的响应分解为零输入响应和零状态响应时，求解零输入响应相对比较简单，只需在方程齐次解的求解零输入响应相对比较简单，只需在方程齐次解的基础上，利用系统的起始状态得出齐次解的待定基础上，利用系统的起始状态得出齐次解的待定2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 系数即可，但求系统的零状态响应并不容易，此时，系数即可，但求系统的零状态响应并不容易，此时，不仅需要求出方程的齐次解和特解，而且需要确定解不仅需要求出方程的齐次解和特解，而且需要确定
33、解中的待定系数，如果起始状态有跳变，还要判断系统中的待定系数，如果起始状态有跳变，还要判断系统 时刻的状态。时刻的状态。0 综上所述综上所述,线性时不变系统的响应可以认为是线性时不变系统的响应可以认为是由两种不同的起因产生的由两种不同的起因产生的:一是由系统的起始状态一是由系统的起始状态引起的引起的,它是过去的激励产生的现在响应（即零输它是过去的激励产生的现在响应（即零输入响应）入响应）;二是现在施加给系统的激励引起的二是现在施加给系统的激励引起的,它是它是现在的激励形成的现在响应（即零状态响应）。现在的激励形成的现在响应（即零状态响应）。2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统
34、的时域分析 对于一个系统，如果它满足以下三个条件，才对于一个系统，如果它满足以下三个条件，才能从完整的意义上称之为线性系统。能从完整的意义上称之为线性系统。条件条件1 1 系统响应可以分解为零输入响应与零状系统响应可以分解为零输入响应与零状态响应之和。态响应之和。从上面的分析来看，线性系统的响应是由两种从上面的分析来看，线性系统的响应是由两种不同的起因形成的：一是由系统的起始状态引起的，不同的起因形成的：一是由系统的起始状态引起的，它是由过去的激励所形成的系统响应；二是由现在它是由过去的激励所形成的系统响应；二是由现在施加给系统的激励引起的，它是由现在的激励所形施加给系统的激励引起的，它是由现
35、在的激励所形成的现在响应。每种响应可以假设只有在这种起因成的现在响应。每种响应可以假设只有在这种起因存在而另一起因为零的条件下求得，即系统的完全存在而另一起因为零的条件下求得，即系统的完全响应具有分解性。响应具有分解性。2.2.3 2.2.3 零输入线性和零状态线性零输入线性和零状态线性 2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 条件条件2 2 零输入线性，即零输入响应与初始状态零输入线性，即零输入响应与初始状态或之间满足线性特性。或之间满足线性特性。条件条件3 3 零状态线性，即零状态响应与激励之间零状态线性，即零状态响应与激励之间满足线性特性。满足线性特性。当起始状
36、态为零时当起始状态为零时,系统的零状态响应对于外加激系统的零状态响应对于外加激励信号呈现线性励信号呈现线性,这种现象被称为零状态线性；当外加这种现象被称为零状态线性；当外加激励为零时激励为零时,系统的零输入响应对于各起始状态呈现线系统的零输入响应对于各起始状态呈现线性性,这种现象被称为零输入线性。这种现象被称为零输入线性。2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为励为 时，其全响应为时，其全响应为 ;当激当激励为励为 时，其全响应为时，其全响应为 求：求：(1)(1)初始条件不变
37、，当激励为时的全响应初始条件不变，当激励为时的全响应 .(2)(2)初始条件增大初始条件增大2 2倍，当激励为时的全响应倍，当激励为时的全响应 。【例【例】)(tx tuttyt 4cose2)(31)(2tx)(4cos2e)(32tuttyt)(3ty)(4ty(1)(1)当激励为当激励为 时时,系统的全响应为系统的全响应为 )()4cos(e2)()()(3zszi1tuttytytyt)(tx当激励为当激励为 时时,系统的全响应为系统的全响应为)(2tx)()4cos(2e)(2)()(3zszi2tuttytytyt2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 解
38、得解得)(e3)(3zitutyt)()4cos(e)(3zstuttyt当激励为当激励为 时的全响应为时的全响应为)(0ttx)()()(0zszi3ttytyty)()44cos(e)(e300)(330ttutttuttt(2)(2)当初始条件增大当初始条件增大2 2倍，激励为倍，激励为 时的全响应时的全响应 )(5.0tx)(5.0)(3)(zszi4tytyty tutt4cos5.0e5.832 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 如果由常系数微分方程描述的系统满足以下三个条如果由常系数微分方程描述的系统满足以下三个条件：件：(1(1）全响应可分解为零输入
39、响应与零状态响应之和）全响应可分解为零输入响应与零状态响应之和的形式；的形式；（2 2）零状态线性；）零状态线性；（3 3）零输入线性）零输入线性;那么，这个常系数微分方程描述的系统就是线性系那么，这个常系数微分方程描述的系统就是线性系统统.2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 2.3 2.3 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，用应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)h(t)表示
40、。表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号 时系统的时系统的零状态响应。零状态响应。)(t)(th0t)(t)1(LTI)(th)(t0t零状态)(t2.3.1 2.3.1 冲激响应冲激响应2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 若微分方程的形式为若微分方程的形式为)()()()()(01)1(1)(txtyatyatyatyannnn 则其冲激响应必满足方程组则其冲激响应必满足方程组)()()()()(01)1(1)(txthathathathannnn 1,.,2,1,00)0()(njhj 以当特征根各不相同的情况为例，系统的冲
41、激响以当特征根各不相同的情况为例，系统的冲激响应可写成应可写成 nitiiecth1)(式中式中各常数由各各常数由各 状态的初始值确定状态的初始值确定.02 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析（1）选新变量 ,使它满足微分方程 一般情况下，线性常系数微分方程的常用形式为一般情况下，线性常系数微分方程的常用形式为 )()()()(01)1(1)(tyatyatyatyannnn )()()()(01)1(1)(txbtxbtxbtxbmmmm 求解这种系统的冲激响应时，可分两步进行求解这种系统的冲激响应时，可分两步进行:)(1ty)()()()()(011)1(11)(
42、1txtyatyatyatyannnn 用前述方法求得冲激响应 .)(1th （2）根据线性时不变系统零状态响应的线性性质和微分性质，可得系统的冲激响应 为 )(th2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析)(.)()()(10)1(11)(1thbthbthbthmmmm 系统的冲激响应反映的是系统的特性，只与系统系统的冲激响应反映的是系统的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。关。对于因果系统，由于在对于因果系统，由于在 时，没有受到冲激时，没有受到冲激的作用，冲激响应不可能出现在冲激作用之前，
43、所以的作用，冲激响应不可能出现在冲激作用之前，所以因果系统的冲激响应为因果系统的冲激响应为 0t00)(tth2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 已知描述系统的微分方程为已知描述系统的微分方程为【例【例】)()(2)(3)(txtytyty求系统的冲激响应。求系统的冲激响应。)()(2)(3)(tththth0)0()0()0(hhh冲激响应为冲激响应为)()()(221tuececthtt式中式中 为待定系数为待定系数。21,cc2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 设设 )()()()()(tuathtubtath代入微分方程得代入
44、微分方程得)()(3)()(ttuatubta1a所以所以 1)0(h0)0(h将初始值代入系统的冲激响应及其导数将初始值代入系统的冲激响应及其导数0)0(21cch12)0(21cch2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 解方程得解方程得 11c12c系统的冲激响应为系统的冲激响应为)()()(2tueethtt已知描述系统的微分方程为已知描述系统的微分方程为【例【例】)()(2)()(2)(3)(txtxtxtytyty求系统的冲激响应。求系统的冲激响应。2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 选新变量选新变量 ，它满足方程，它满足方程
45、)(1ty)()(2)(3)(111txtytyty冲激响应为冲激响应为)()()(21tueethtt)()2()(21tueethtt)()4()()(2 1tueetthtt系统的冲激响应为系统的冲激响应为)()(2)()(11 1thththth)()(2tuett2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。2.3.2 阶跃响应2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 由于阶跃函数在由于阶跃函数在 时不为零，因而系统的阶跃时不
46、为零，因而系统的阶跃响应包括齐次解和特解两部分。响应包括齐次解和特解两部分。0t若系统微分方程的形式为若系统微分方程的形式为 则其阶跃响应必满足方程组则其阶跃响应必满足方程组)()()()()(01)1(1)(tutgatgatgatgannnn )()()()()(01)1(1)(txtyatyatyatyannnn 1,.,2,1,00)0()(njgj1,.,2,1,00)0()0()()(njggjj注意:由此可解得由此可解得 .)(tg2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 如果线性常系数微分方程为如果线性常系数微分方程为)()()()(01)1(1)(ty
47、atyatyatyannnn )()()()(01)1(1)(txbtxbtxbtxbmmmm 则可则可根据线性时不变系统的线性性质和微分特性求得根据线性时不变系统的线性性质和微分特性求得系统的阶跃响应系统的阶跃响应。2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析【例【例】若描述系统的微分方程为若描述系统的微分方程为)(2)(21)(2)(3)(txtxtytyty试求系统的阶跃响应。试求系统的阶跃响应。假设微分方程假设微分方程)()(2)(3)(txtytyty的阶跃响应为的阶跃响应为 .)(tgx系统阶跃响应系统阶跃响应 与与 的关系为的关系为 )(tgx)(tg)(2)
48、(21)(tgtgtgxx2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析)()2121()(2tueetgttx经计算得经计算得)()()(2tueetgttx所以系统的阶跃响应为所以系统的阶跃响应为)()12123()(2)(21)(2tueetgtgtgttxx2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 2.3.3 2.3.3 冲激响应与阶跃响应的关系冲激响应与阶跃响应的关系dhtgt)()()()(tgdtdth 系统的阶跃响应系统的阶跃响应g(t)g(t)可通过对冲激响应可通过对冲激响应 h(t)h(t)的积的积分得出，冲激响应分得出，冲激响应h
49、(t)h(t)可通过对阶跃响应可通过对阶跃响应h(t)h(t)的微分的微分得出。得出。时域法求系统的冲激响应与阶跃响应方法比较直时域法求系统的冲激响应与阶跃响应方法比较直观，物理概念明确，是变换域分析的基础。观，物理概念明确，是变换域分析的基础。2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 2.4 2.4 卷积积分卷积积分2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 积积分分和和设设有有两两个个函函数数),()(21tftf d21 tfftf tftftftftftf2121)(或或，记为，记为的卷积积分，简称卷积的卷积积分，简称卷积和和称为称为)()
50、(21tftf利用卷积可以求解系统的零状态响应。利用卷积可以求解系统的零状态响应。2.4.1 2.4.1 卷积积分的概念卷积积分的概念2 2 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析【例【例】已知信号已知信号 和和 tCtf01sin)()(e)(2tuAtft求求)()(21tftf)()()(21tftftfd)()(21ttffdesin)(0tAC202000)cossin(eettACtt 直接利用概念计算函数的卷积，比较繁琐而且容直接利用概念计算函数的卷积，比较繁琐而且容易出错，如果借用图解法，有时会比较方便准确。易出错，如果借用图解法，有时会比较方便准确。2 2
