1、制作人:刘镇1第第11章章 差错控制编码差错控制编码11.1引 言11.2 纠错编码的基本原理11.3 常用的简单编码11.4 线性分组码11.5循环码制作人:刘镇2 11.1 引言设计数字通信系统时，应首先合理选择调制、解调方法及发送功率。若不满足要求，则考虑差错控制。从差错控制角度看，信道可以分为三类：即随机信道、突发信道和混合信道。随机信道在随机信道中、错码的出现是随机的，且错码之间是统计独立的。突发信道错码是成串集中出现的。混合信道存在随机和突发两种错码。制作人:刘镇3常用的差错控制方法有以下几种：检错重发法接收端在收到的信码中检测出(发现)错码时，即设法通知发送端重发，直到正确收到为
2、止。前向纠错法接收端不仅能发现错码，还能够确定错码的位置，能够纠正它。反馈校验法接收端将收到的信码原封不动地转发回发送端与原信码比较。若发现错误则发端重发。三种差错控制方法可以结合使用。制作人:刘镇4接收端根据什么来识别有无错码由发送端的信道编码器在信息码元序列中增加一些监督码元。这些监督码和信码之间有确定的关系，使接收端可以利用这种关系由信道译码器来发现或纠正可能存在的错码。在信息码元序列中加入监督码元就称为差错控制编码，有时也称为纠错编码。差错控制编码原则上是以降低信息传输速率为代价来换取传输可靠性的提高。制作人:刘镇5ARQ系统组成信源编码器和缓冲存储重发控制双向信道译码器指令产生缓冲存
3、储收信者ARQ优点：冗余码元少、对信道有自适应能力、成本和复杂性低；ARQ缺点：需要反向信道、重发控制较复杂、干扰大通信效率低、实时性差。制作人:刘镇6例：3位二进制数字构成的码组，共有8种不同的组合。若将其全部利用来表示天气，则可以表示8种不同的天气。000(晴)，001(多云)，010(阴)，011(雨)，100(雪)，101(霜)，110(雾)，111(雹)。任一码组在传输中若发生一个或多个措码则将变成另一信息码组。这时接收端将无法发现错误。11.2 纠错编码的基本原理制作人:刘镇7若：000=晴001=不可用010=不可用011=云100=不可用101=阴110=雨111=不可用则：虽
4、然只能传送4种不同的天气但是接收消却有可能发现码组中的一个错码。例如，若000(晴)中错了一位，则接收码组将变成100或010或001，这三种码组都是不准许使用的，称为禁用码组，故接收端在收到禁用码组时，就认为发现了错码。制作人:刘镇8但是这种码不能发现两个措码，因为发生两个错码后产生的是许用码组。上述码只能检测错误，不能纠正错误。例如，当收到的码组为禁用码组100时，无法判断是哪一位码发生了错误因为晴、阴、雨三者错了一位都可以变成100。要想能纠正错误，还要增加多余度。例如，苦规定许用码组只有两个：000(晴)、111(雨)、其余都是禁用码组。这时，接收场能检测两个以下错码，或能纠正一个错码
5、。制作人:刘镇9分组码的一般概念。为了传输4种不同的信息，用两位二进制码组就够了，它们是：00、01、10、11。代表所传信息的这些两位码，称为信息位。前面使用3位码，多出的一位称为监督位。信息码分组，每组信码附加若干监督码的编码集合，称为分组码。例如制作人:刘镇10制作人:刘镇11分组码的结构符号(n，k)表示分组码k信息码元数n码组长度(码长)n-k监督码元数an-1an-2arar-1a0k位信息位r位监督位n=k+r时间制作人:刘镇12码重、码距与码的纠检错能力码重“1”的数量称为码组的重量码距两个码组对应位上数字不同的位数称为码组的距离，简称码距。又称汉明(Hamming)距离。最小
6、码距某种编码中各个码组间距离的最小值称为最小码距(d0)。若记：d0 最小码距；e检错位数；t纠错位数；则有：制作人:刘镇13（1）e+1 d0，即码的检错能力e比最小码距d0小1位；（2）2t+1 d0，即码的纠错能力t的2倍比最小码距d0小1位；（3）e+t+1 d0，即若码同时纠t个错并检出e个错误，则e+t比最小码距d0小1位。以下说明：制作人:刘镇14（1）e+1 d0制作人:刘镇15（2）2t+1 d0制作人:刘镇16（3）t+e+1 d0制作人:刘镇17差错控制编码的效用 假设:发送“0”的错误概率和发送“1”的错误概率相等，都等于P，且P1，则在码长为n的码组中恰好发生r个错码
7、的概率为rrnrrnnprnrnpprPC)!(!)1()(例如，当码长n7时，p=10-3则有P7(1)7p=710-3；P7(2)21p2=2.110-5；制作人:刘镇18P7(3)35p3=3.510-8。可见，采用差错控制编码，即使仅能纠正(或检测)这种码组中12个错误，也可以使误码率下降几个数量级。这就表明，即使是较简单的差错控制编码也具有较大实际应用价值。制作人:刘镇19 11.3 常用的简单编码1奇偶监督码奇偶监督码包括奇数监督码和偶数监督码。只有一位监督位。在偶监督码中，监督位使码组中“l”的个数为偶数，即满足下式条件在奇监督码中，监督位使码组中“l”的个数为奇数，即满足下式条
8、件0021aaann1021aaann制作人:刘镇202二维奇偶监督码又称方阵码。每一行是奇偶监督码的一个码组，若干码组再按列排列成矩阵，每列增加一位监督位。制作人:刘镇21二维奇偶监督码特点：l可检测偶数个错误l适于检测突发错码。l不仅可检错，还可纠一些错。l检错能力强。制作人:刘镇223恒比码每个码组均含有相同数目的“1”(和“0”)。应用：电传机传输汉字，每个汉字用4位阿拉伯数字表示。每个阿拉伯数字又用5位二进制符号构成的码组表示。每个码组的长度为5位，其中恒有3个1，称为5中取3恒比码。可能编成的不同码组数等于从5中取3组合数30。30种许用码组恰好可用来表示10个阿拉伯数字。制作人:
9、刘镇23 4正反码一种简单的能够纠正错码的编码。其中的监督位数与信息位数相同，监督码元与信息码元相同(是信息码的重复)或者相反(是信息码的反码)。由信息码中“1”的个数而定。解码方法：先将接收码组中信息位和监督值按位模2相加，产生校验码组。最后，观察校验码组中“1”的个数，按表93进行判决及纠正可能发现的错码。制作人:刘镇24 11.4 线性分组码 从上节介绍的一些简单编码可以看出，每种编码所依据的原理各不相同，而且是大不相同，其中奇偶监督码的编码原理利用了代数关系式。我们把这类建立在代数学基础上的编码称为代数码。在代数码中，常见的是线性码。线性码中信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着的，
10、或者说，线性码是按一组线性方程构成的。本节将以汉明(Hamming)码为例引入线性分组码的一般原理。制作人:刘镇25回顾奇偶监督码在接收端解码时，实际上就是在计算若S0，认为无错；若S1，认为有错。上式称为监督关系式，S称为校正子。S只有两种取值，只能代表有、无错两种信息，不能指出错码位置。如果监督位增加一位，则增加一个监督关系式。由于两个校正子的可能值有4种组合：00，01，10，11，故能表示4种不同状态。0021aaann021aaaSnn制作人:刘镇26若用其一种表示无错，则其余3种就可能用来指示一位错码的3种不同位置。同理r个监督关系式能指示一位错码的(2r-1)个可能位置。一般地，
11、若码长为n，信息位数为k，则监督位数r=n-k。如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能位置，则要求 2r-1 n，或者 2r r+k+1制作人:刘镇27举例说明如何构造监督关系式：设(n，k)分组码中r=4。为了纠正一位错码，要求监督拉数r 3。若取r=3，则n=k+r=7。校正子与错码位置的对应关系如表94规定(也可以另外规定)。S1S2S3错码位置S1S2S3错码位置001A0101A4010A1110A5100A2111A6011A3000无错制作人:刘镇28由表可见，当一错码在a2,a4，a5或a6时校正子S为1；否则S为0即构成如下关系同理24561aaaa
12、S13562aaaaS03463aaaaS在发送端编码时，信息位a6a5a4a3的值决定于稳入信号，因此它们是随机的。监督值a2a1ao应根据信息位的取值按监督关系来确定即监督位应使上三式中的值为零(表示编成的码组中应无错码)，由此得到方程组制作人:刘镇2901356aaaa00346aaaa02456aaaa由此解出3561aaaa3460aaaa4562aaaa给定信息位后，可直接按上式算出监督位，其结果如表95所列。制作人:刘镇30信息位监督位信息位监督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a0000000010001110001011100110000101011010
13、0100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111制作人:刘镇31 接收端收到每个码组后，先按监督方程计算出S1、S2、S3，再按表94判断错码情况。例，接收0000011，可得：S1S2S3=011。由表94可知在a3位有错码。(7，4)汉明码：l最小码距d0=3l纠一个错码或检测两个错码。l编码效率k/n=(2r-1-r)(2r-1)=I-rn。当n很大时，则编码效率接近1。制作人:刘镇32线性分组码的般原理。线性分组码是指信息位和监督位满足一组线性方程的编码。改写为01356aaaa00346
14、aaaa02456aaaa01356aaaa000101110123456aaaaaaa001010110123456aaaaaaa010011010123456aaaaaaa制作人:刘镇330001011001110101011101000123456aaaaaaa(模2)简记为 或TTHA00TAH制作人:刘镇34101100111010101110100H称为监督矩阵IrPH001010100101111011110H矩阵的各个行是线性无关的行数=监督位数，列数=码字长度典型阵制作人:刘镇353561aaaa3460aaaa4562aaaa345620111aaaaa345611011a
15、aaaa345601101aaaaa制作人:刘镇363456012101111011110aaaaaaa Qaaaaaaaaaaa34563456012011101110111转置得制作人:刘镇37 Gaaaaaaaaaaaaaaa3456345601234560111011101110001001001001000QIGknk0111011101110001001001001000称为生成矩阵制作人:刘镇38GaaaaA3456生成矩阵G的每一行都是一个码组。例如，（参照前页矩阵G）。利用生成矩阵，码字TTHA0再由 得，0TTTMHGMGHMG0THG制作人:刘镇39译码,若发送码组为接收
16、码组为二者之差为其中E称为错误图样。021,aaaAnn021,bbbBnn021,eeeABEnniiiiibabae,1,0表示该位接收码元无错；表示该位接收码元有错。制作人:刘镇40 接收端译码时计算当接收码组无错时S等于零有错但不超过检错能力时，S不等于零。在错码超过检错能力时，B变为另一许用码组，仍能成立S等于零。这样的错码是不可检测的。S称为校正子(伴随式)。S只与E有关，而与A无关，意味着S与E有的线性变换关系，能与E一一对应，可指示错码位置。SEHEHAHHEABHTTTTT)(制作人:刘镇41 线性码重要性质之一，是它具有封闭性。若：A1和A2是线性码中的两个许用码组，则：(
17、A1+A2)仍为其中的一个码组。由封闭性，两个码组之间的距离必是另一码组的重量。故码的最小距离即是码的最小重量(除全“0”码组外)。线性码又称群码，这是由于线性码的各许用码组构成代数学中的群。制作人:刘镇42 11.5 循环码11.5.1 循环码原理：在线性分组码中，有一种重要的码称为循环码。循环码除了具有线性码的一般性质外还具有循环性，即任一码组循环一位(将最右端的码元移至左端，或反之)以后，仍为该码中的一个码组。即若 是许用码组，则 也是许用码组。021,aaaAnn102,nnaaaA制作人:刘镇43循环码举例(7,3)循环码码组信息位监督位码组 信息位监督位编号a6a5a4a3a2a1
18、a0编号a6a5a4a3a2a1a00000000041001011100101115101110020101000611001013011100171110010制作人:刘镇44码组的多项式表示码多项式。例如 A=1100101 A(x)=1x6+1x5+0 x4+0 x3+1x2+0 x1+1x0 =x6+x5+x2+1码多项式表示具有线性的性质021,aaaAnn0112211)(axaxaxaxAnnnn制作人:刘镇45码多项式的按模运算循环移位对应的码多项式如果规定xn=x0，即规定xn+1=0，则有021,aaaAnn102,nnaaaA1102312)(nnnnnaxaxaxax
19、A)()(xAxxA制作人:刘镇46这种xn+1=0的规定，实质上是一xn+1为模的运算。对于整数m,若可以表示为则称m=p(模n)，或称m与p是同余的。码多项式也有类似的运算。多项式F(x)被n次多项式N(x)除，得到商式q(x)和一个次数小于n的余式R(x)，即 F(x)q(x)N(x)+R(x)则写为F(x)R(x)(模N(x)npQnm制作人:刘镇47码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1。例如于是，可以有由此可见为了使xn=1，只需做模xn+1的运算即可。例如：x4+x2+1=x2+x+1 模x3+1111111133333xxxxx)1(mod133xx制作人:刘镇48由前面的分
20、析可知，若T(x)是码多项式，则在模xn+1的运算条件下，xiT(x)仍然是码多项式。制作人:刘镇492循环码的生成矩阵G 若能找到k个线性无关的码组,就能构成矩阵G。在循环码中，一个(n，k)码有2k个不同码组，若用g(x)表示其中前(k-1)位皆为0的码组，即 g(x)=0 1x x k位 n-k位则g(x)、xg(x)，x2g(x)，xk-1g(x)都是码组，而且这k个码组是线性无关的。因此可以用来构成循环码的生成矩阵G。制作人:刘镇50例 表96的循环码,唯一的一个(n-k)次码多项式代表的码组是0010111，相对应的码多项式为)()()()(21xgxxgxgxxgxGkk一旦确定
21、了g(x)，则整个(nk)循环码就被确定了。因此,循环码的生成矩阵G可以写成制作人:刘镇51这个生成矩阵不是系统码的生成矩阵，可以通过行变换，变换成系统码的生成矩阵。001011101011101011100)()()(2xgxxgxgxG g(x)x4+x2+x+1将此g(x)代入上式，得到制作人:刘镇52g(x)的性质：lg(x)必须是一个常数项a0=1；l次数为(n-k)次；l唯一的(n-k)次多项式；l我们称这唯一的g(x)为码的生成多项式。lg(x)是xn+1的因式（见后面分析）。制作人:刘镇53说明g(x)是xn+1的因式。因为任码多项式T(x)都是g(x)的倍式，所以有 T(x)
22、=h(x)g(x)g(x)本身也是一个码组，其次数为n-k次。把它循环移位k次仍为一个码组。所以xkg(x)是n次多项式，在模xn+1 运算下，所以即)1(mod),()(nkxxTxgx1)()(1)(nnkxxTxQxxgx制作人:刘镇54因为xkg(x)是n次的，所以Q(x)=1。所以所以即 g(x)是xn+1的因式。这样就可以通过对xn+1的因式分解得到g(x).1)()(11)(11)(nnnkxxgxhxxTxxgx1)()(nkxxgxhx制作人:刘镇55因为所有码多项式T(x)都可被g(x)整除。所以非系统码编码：T(x)=m(x)g(x)系统码编码：l用xn-k乘m(x)，即
23、把m(x)左移n-k位；l用xn-k除以g(x)，得余式r(x)；lT(x)=xn-km(x)+r(x)11.5.2 循环码的编、解码方法制作人:刘镇56例：信息码110，信息码多项式m(x)=x2+x生成多项式g(x)=x4+x2+x+1即于是，编出码字1100000+101=1100101制作人:刘镇57随机信号分析随机信号分析平稳随机过程的定义、性质；什么是广义平稳随机过程？平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度如何定义，有何性质？平稳随机过程通过线性系统后，均值、自相关与方差、功率谱密度有何关系？制作人:刘镇58什么是高斯噪声？什么是高斯白噪声？什么是窄带高斯噪声？窄带高斯噪声的幅度和相
24、位服从什么分布？窄带高斯噪声的同相分量和正交分量服从什么分布？习题1、2、3、7、8、12制作人:刘镇59信道信道信道分类：广义信道与狭义信道、调制信道与编码信道、恒参信道与变参信道；离散信道信道的信道容量是如何定义的，它的物理意义是什么？连续信道信道的信道容量是如何定义的（山农公式）？习题8、13、14、15制作人:刘镇60模拟调制模拟调制幅度调制的原理（时域表达式、频域表达式、波形图、频谱图）；相干解调AM、DSB、SSB、VSB原理、信噪比计算；瞬时频率与瞬时相位、调频与调相信号的时域表达式、带宽的计算；相干解调器的原理、相干解调输入和输出信噪比、宽带调频单音调制信噪比的计算。习题：7、
25、9、10、13制作人:刘镇61数字信号的基带传输数字信号的基带传输基带传输系统组成模型。基带数字信号的时域表达式、功率谱密度的一般表达式；码型的概念与常用码型（单极性非归零、单极性归零、双极性非归零、差分码、AMI、HDB3）。单、双极性非归零码的功率谱的特点；制作人:刘镇62理解奈奎斯特第一准则的推导过程与结论；升余弦滚降特性频谱特点；部分响应系统的组成与工作原理，相关编码，预编码的方法（表达式）。信道时域均衡的原理（均衡器的组成结构）；眼图的物理意义；习题：5、8、10、11、12、13制作人:刘镇63正弦载波数字调制系统正弦载波数字调制系统二进制ASK、FSK、PSK、DPSK的原理（波
26、形、时域表达式、频域表达式、调制器、解调器组成框图）；二进制ASK、FSK、PSK、DPSK的抗噪声性能（分析方法、结论）；多进制MASK、MPSK的原理（时域表达式、调制器、解调器框图）。习题：2、3、4、6、7、10、12、14制作人:刘镇64模拟信号的数字传输模拟信号的数字传输理想低通与带通抽样定理；量化、均匀量化、非均匀量化、量化间隔、分层电平、量化电平、压缩与扩张；均匀量化器的量化噪声、量化信噪比；编码、自然二进制码、折叠二进制码、，A律13折线编码；PCM系统的原理（组成框图与工作过程），编码位数、信号带宽、量化噪声功率、码元速率。制作人:刘镇65DPCM系统的原理（组成框图与工作
27、过程）；基本增量调制系统的原理（组成框图与工作过程）；时分复用与数字复接的概念（帧结构、基群、二次群、高次群、同步数字复接系列SDH、准同步数字复接系列PDH）。习题：2、8、9、10、14、17制作人:刘镇66数字信号最佳接收数字信号最佳接收数字信号接收的统计模型；确知信号、随相信号、起伏信号；相关接收机的结构；普通接收机与最佳接收机的比较；匹配滤波器的传递函数、冲击响应、输出信号；习题：1、2、5制作人:刘镇67差错控制编码差错控制三种方法；ARQ系统组成与工作过程；汉明距离，最小汉明距离，纠错能力与最小距离的关系；奇偶校验码、水平垂直奇偶校验码、恒比码的编码方法；线性分组码的性质，监督矩阵、生成矩阵的特点及其关系。制作人:刘镇68循环码的特点、循环码的生成多项式、循环码的生成矩阵；循环码的多项式运算编码方法；习题：1、2、6、7、10、12。
