1、2.4.12.4.1平面向量数量积的平面向量数量积的 物理背景及其含义物理背景及其含义物理模型物理模型概念概念性质性质运算律运算律应用应用 问题问题3 3：如图所示，一物体在力如图所示，一物体在力F F的作用下产生位的作用下产生位移移S S，（）力（）力F F所做的功所做的功W W=。（）（）请同学们分析这个公式的特点：请同学们分析这个公式的特点：W W（功功）是是 量，量，F F（力力）是是 量，量，S S（位移）是（位移）是 量量 是是 。FS 问题问题4 4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，如果我们将公式中的
2、力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？其结果又该如何表述？已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|cos叫做叫做 与与 的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作 =|cosararararararbrbrbrbrbrbr一、数量积的定义：一、数量积的定义：注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。记法记法“ab”中间的中间的“”不可以省略，也不可以用不可以省略，也不可以用“”代代替。替。活动二：探究数量积的概念活动二：探究数量积的概念 夹角 的
3、范围 900 9018090的正负ba讨论并完成下表：讨论并完成下表：问题：问题：向量的数量积运算与线性运算的结果向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？二、数量积的几何意义：二、数量积的几何意义：叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上（或向量（或向量 在在 方向上）的方向上）的投影投影。|cos(|cos)barr或bbaa（1 1）投影的概念：）投影的概念：OAB|b|cos abB1（2 2）数量积的几何意义：）数量积的几何意义：barr等于等于ar的长度的长度|ar方向上的投影在abrr与与cos|br的乘积。的乘积
4、。三、数量积的物理意义：三、数量积的物理意义：（1 1）用一句话来概括功的数学本质：）用一句话来概括功的数学本质：（2 2）一物体质量是）一物体质量是1010千克，分别做以下运动：千克，分别做以下运动：、在水平面上位移为、在水平面上位移为1010米；米；、竖直下降、竖直下降1010米；米；、竖直向上提升、竖直向上提升1010米；米；、沿倾角为、沿倾角为3030度的斜面向上运动度的斜面向上运动1010米；米；分别求重力做的功。分别求重力做的功。功是力与位移的数量积功是力与位移的数量积 SGGSSG)30180cos(SGWSGW SGW0W、竖直下降、竖直下降1010米：米：、竖直向上提升、竖直
5、向上提升1010米：米：、在水平面上位移为、在水平面上位移为10米：米：、沿倾角为、沿倾角为3030的斜面向上运动的斜面向上运动1010米：米：GS（1 1）将问题）将问题的结论推广到一般向量，你能得到哪的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？些结论？（2 2）比较）比较 的大小，你有什么结论？的大小，你有什么结论？babarr 与四、数量积的运算性质四、数量积的运算性质：设向量设向量 与与 都是非零向量，则都是非零向量，则（1 1）=0 =0 （2 2）当）当 与与 同向时，同向时，=|=|当当 与与 反向时，反向时，=-|特别地，特别地，=或或=（3 3）baabababbabaabbaa
6、 b a aa2aaaba|b acbcacbabababaabbarrrrrrrrrrrrrrrrr)(3()()()(2()1(其中，其中，cbarrr、是任意三个向量，是任意三个向量，R注：注：)()(cbacbarrrrrr 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？运算律对向量是否也适用？五、数量积的运算律：五、数量积的运算律：于哪种实数运算？并思考此运算过程类似，求的夹角为与，、已知例 .3260461 babababarrrrrr 22222 )2(2 (1)2babababbaababa是否有以下结论：，、对任意向量例互相垂
7、直？与向量为何值时，不共线，与，、已知例bkabkakbabarrrrrr43 3并思考通过本题你有什么收获？cbcabaababa则，若，有，则对任一非零向量若正确，并说明理由、判断下列各命题是否,0)2(00)1(1的形状。时，试判断或当中，、已知ABCbababACaABABC00,21.1.本节课我们学习的主要内容是什么？本节课我们学习的主要内容是什么？2.2.平面向量数量积的两个基本应用是什么？平面向量数量积的两个基本应用是什么？3.3.我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？了哪些数学思想？4.4.类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？数量积？
