1、OABCDE 赵州桥建于隋炀帝大业年间（赵州桥建于隋炀帝大业年间（595-605年），年），至今已有至今已有1400年的历史，是今天世界上最古老的石年的历史，是今天世界上最古老的石拱桥。拱桥。赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？37.4m7.2m 赵州桥的主桥是圆弧形赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度 (弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能求出你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵洲桥主桥拱的半径吗？把一个圆沿着它的任意一把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？条直径对折，重复几次，你发现
2、了什么？由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，任何一条任何一条直径所在的直线直径所在的直线都是对称轴都是对称轴 如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使使 CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴所在的直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE弧：弧：AC=BCAD=BDOABCDE
3、叠合法叠合法 如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使使 CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？OABCDE条件条件CD为直径为直径CDABAE=BEAC=BC结论结论AD=BD垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧垂径定理的几何语言 CD是直径是直径,CDABAE=BE，,AC=BCAD=BD三种语言文字语言文字语言
4、垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：OABCDEOABCDOABCDOABCOABCDEDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABcOEDCAB 平分弦平分弦（不是直径）的（不是直径）的直径直径垂直于弦垂直于弦，并，并且且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧垂径定理的推论已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CD平分平分AB求证：求证：CDAB，ADBD，ACBCOABCDE一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立注意注意为什么强调这里的弦为什么强调这里的弦不是直径不是直
5、径？37.4m7.2m 赵州桥的主桥是圆弧形赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度 (弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能求出你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵洲桥主桥拱的半径吗？你能利用垂径定理解决你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗求赵州桥拱半径的问题吗?37mBAODC关于弦的问题，常常需要关于弦的问题，常常需要过过圆心作弦的垂线段圆心作弦的垂线段，这是一条，这是一条非常重要的非常重要的辅助线辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦圆心到弦的距离、半径、弦构成构成直角三角形直角三角形，便将问题转，便将问题转化为直角三
6、角形的问题。化为直角三角形的问题。7.23mR R 解：如图，用解：如图，用AB表示主桥拱，设表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R 过过O 作作 垂足为垂足为D,连接连接OA,OB.OCAB 赵州桥的主桥是圆弧形赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弧所对的弦的长弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？解得：解得：R273（m）在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.52+（R7.23）2答：答：赵州桥的主桥拱半径约为赵州
7、桥的主桥拱半径约为27.3m.OA2=AD2+OD2113718.5,22A DA BAB=37，CD=7.23，OD=OCCD=R7.23由题意可知由题意可知 如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径。的半径。解：过点解：过点O作作OEAB于于E，连接，连接OA1AE=AB=4cm2OE=3cm2222OA=AE+OE=4+3=5cmOABE 注意：解决有关弦的问题时，经常注意：解决有关弦的问题时，经常连接半径连接半径；过圆心作一条与过圆心作一条与弦垂直的线段弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。等辅助线，为应
8、用垂径定理创造条件。弦心距：圆心到弦的（垂直）距离叫做弦心距。弦心距：圆心到弦的（垂直）距离叫做弦心距。1 1、两条辅助线：（、两条辅助线：（构造垂径定理构造垂径定理）半径、圆心到弦的垂线段半径、圆心到弦的垂线段2 2、一个、一个RtRt：（：（勾股定理勾股定理）半径、圆心到弦的垂线段、半弦半径、圆心到弦的垂线段、半弦OABC3 3、两个定理：、两个定理：垂径定理、勾股定理垂径定理、勾股定理小结小结:通过本节课的学习，你掌握了哪些通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？知识？本节课学习的数学知识是圆的轴对本节课学习的数学知识是圆的轴对称性和垂径定理及其推论。称性和垂径定理及其推论。OABCDE垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧垂径定理的几何语言垂径定理的几何语言 CD是直径是直径,CDABAE=BE，,AC=BCAD=BD三种语言文字语言文字语言图形图形 1、如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条为互相垂直且相等的两条弦，弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正是正方形方形 DOABCE 2、如图，如图，O的直径为的直径为10，弦，弦AB=8,P为为AB上的一个上的一个动点，那么动点，那么OP长的长的取值范围取值范围是是 。OPAB
