1、3.2双曲线双曲线第三章3.2.1 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程学习目标1.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.4.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.核心素养：数学运算、直观想象、数学抽象新知讲解复习引入 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.如果平面内与两个定点F1,F2的距离之差也是一个常数，这样的点的轨迹是什么图形呢？新知学习1.双曲线的定义（1）模型试验取一条拉链，如图，把它固定在板上的F1、F2两点，拉动拉链
2、（M），思考拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a 由可得：|MF1|-|MF2|=2a （差的绝对值）上面 两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支.（2）定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1、F2双曲线的焦点;|F1F2|=2c 焦距；此常数记为2a，则ac.2FF1M|MF1|-|MF2|=2a 0）,非零常数等于2a（a0），则F1(-c,0),F2(c,0).2.双曲线的标准方程xOy列式化简 代入上式得：b2x2
3、-a2y2=a2b222222xcyxcya F2F1M0012222babxay，思考 以F1，F2所在的直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系.则双曲线的标准方程怎么写？3.双曲线的两种标准方程的特征0012222babyax，0012222babxay，方程用“”号连接.a，b 大小不定.c=a+b如果x的系数是正的，则焦点在x轴上；如果y的系数是正的，则焦点在y轴上.记忆口诀：化成标准形式，焦点跟着正项走D即时巩固一、求双曲线的标准方程 例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.典例剖析跟踪训练
4、若中心为原点的双曲线的焦点在x轴上，焦距为4，且过点P（2，3），则双曲线的标准方程为 .二、求动点的轨迹方程 例2 一炮弹在某处爆炸.在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.已知A，B两地相距800m，并且此时声速 为340m/s.问爆炸点应在什么样的曲线上？并求出轨迹方程.分析 因为在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，所以在A处与爆炸点的距离比在B处 远680m800m.因此爆炸点应位于以A，B为焦点且靠近B点的双曲线的一支上.解 如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B在x轴上，并且原点O与线段AB的中反思 利用定义法求轨迹方程的一般步骤1.建立直角坐标系，结合图形确定动点满足的几何条件
5、.2.依据几何条件和曲线方程的定义确定轨迹的形状.3.确定曲线方程中的参数并直接写出方程.4.验证所求方程（检查是否有要去掉的点）.跟踪训练 在ABC中，边BC固定，且|BC|2.当三内角A，B，C满足sin C-sin B sin A时，建立适当的直角坐标系，求顶点A的轨迹方程.三、双曲线标准方程的应用例3已知方程（1+k）x2-（1-k）y21表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为（A）A.（-1，1）B.（1，+）C.（-，-1）D.（-，-1）（1，+）反思 若mx2+ny21，则mn0是该方程表示双曲线的充要条件.随堂小测2.已知F1（-5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|-|PF2|2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为（C）A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条射线D.双曲线的一支和一条直线5.某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如右图），|AP|100 m，|BP|150 m，APB60，试说明怎样运土才能最省工.1.知识清单：(1)双曲线的定义.(2)双曲线的标准方程.(3)双曲线的应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：忽略双曲线定义中的限制条件，即对|PF1|-|PF2|2a0）限制要求课堂小结
