1、课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练【课标要求】【课标要求】理解二面角和二面角的平面角的概念，会用向量的方法求理解二面角和二面角的平面角的概念，会用向量的方法求 二面角二面角【核心扫描】【核心扫描】1向量法求二面角向量法求二面角(重点重点)2法向量方向的判定及向量的夹角与二面角的关系法向量方向的判定及向量的夹角与二面角的关系(难点难点)3.2.4 二面角及其度量二面角及其度量课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练自学导引自学导引平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一
2、部分都叫做_从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做半平面所组成的图形叫做_；这条直线叫做；这条直线叫做_，每个半平面叫做，每个半平面叫做_棱棱为为l两个面分别为两个面分别为，的二面角，记作的二面角，记作l.如如图所示，图所示，A，B，二面角也可记作，二面角也可记作AlB，也可记作，也可记作AOOB.1二面角的有关概念二面角的有关概念半平面半平面二面角二面角二面角的棱二面角的棱二面角的面二面角的面课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练说明：说明：二面角的图形，它是由两个半平面和一条棱构成二面角的图形，它是由两个半平面和一条棱构成的图形的图
3、形符号符号l的含义是棱为的含义是棱为l，两个面分别为，两个面分别为，的二面的二面角角两个平面相交，构成四个二面角两个平面相交，构成四个二面角二面角的平面角二面角的平面角如图所示，在二面角如图所示，在二面角l的棱上任取一点的棱上任取一点O，在两半平，在两半平面内分别作射线面内分别作射线OAl，OBl，则，则AOB叫做叫做_2二面角二面角l的平面角的平面角课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练说明：这个平面角与点说明：这个平面角与点O在在l上的位置无关，因为，上的位置无关，因为，在在l上异于上异于O的一点的一点O，OAl，OBl，则，则AOB与与AOB都是平面角，
4、它们的对应边平行且方向相都是平面角，它们的对应边平行且方向相同，因此同，因此AOBAOB，这两个角都是二面角的，这两个角都是二面角的平面角平面角(1)二面角二面角的范围为的范围为0，(2)二面角的向量求法：二面角的向量求法：课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练设设n1，n2是二面角是二面角l的两个面的两个面，的法向量，则向的法向量，则向量量n1与与n2的夹角的夹角(或其补角或其补角)就等于二面角的平面角，如图就等于二面角的平面角，如图所示所示 课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练试一试试一试：若二面角：若二面角l的两个半平
5、面的法向量分别为的两个半平面的法向量分别为n1，n2，试判断二面角的平面角与两法向量夹角，试判断二面角的平面角与两法向量夹角n1，n2的的关系关系提示提示相等或互补相等或互补直二面角直二面角平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做_，互相垂直的平面，互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面也就是相交成直二面角的两个平面3直二面角直二面角课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练二面角的平面角与两法向量的关系二面角的平面角与两法向量的关系名师点睛名师点睛1课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练二面角的求法二面角的求法(1
6、)几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形获几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形获解解(2)向量法：设二面角向量法：设二面角 l的两个半平面的法向量分别为的两个半平面的法向量分别为n1，n2.当平面当平面、的法向量与的法向量与、的关系如图所示时，二面角的关系如图所示时，二面角 l 的平面角即为两法向量的平面角即为两法向量n1，n2的夹角的夹角n1，n22课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练当平面当平面、的法向量与的法向量与、的关系如图所示时，二面角的关系如图所示时，二面角 l 的平面角与两法向量的平面角与两法向量n1，n2的夹角的夹角n1，n2互
7、补互补课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练题型一题型一几何法求二面角几何法求二面角【例例1】自二面角自二面角l的棱上一点的棱上一点A在平面在平面内引一条射内引一条射线线AC，它与棱，它与棱l成成45角，和平面角，和平面成成30角，求二面角角，求二面角l的大小的大小思路探索思路探索 当二面角的平面角容易作出或在图中存在时，当二面角的平面角容易作出或在图中存在时，常用几何法解三角形，求出其大小常用几何法解三角形，求出其大小解解如图所示，在射线如图所示，在射线AC上取一点上取一点C，作，作CD平面平面，在，在内作内作DBAB，垂足为垂足为B，连结，连结BC.由三垂
8、线定理知由三垂线定理知BCAB，则，则CBD为二面角为二面角l的平面角的平面角课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练规律方法规律方法 利用几何法求二面角的过程要体现一作、利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算即首先作出二面角的平面角，然后证明二证、三计算即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角平面角的大小出二面角平面角的大小课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练如图：如图：ABCD是正方形，是正方形，V是平面是平面ABC
9、D外一点，且外一点，且VAVBVCAB，求，求二面角二面角AVBC的所成角的余弦值的所成角的余弦值解解取取VB的中点为的中点为E，连接，连接AE，CE.VAABBCVC，AEVB.CEVB.AEC是二面角是二面角AVBC的平面角的平面角设设ABa，连接，连接AC，在，在AEC中，中，【变式变式1】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练已知正三棱柱已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为的底面边长为1，侧棱，侧棱长为长为3，D、E分别是侧棱分别是侧棱CC1和和BB1上的点，且上的点，且CD
10、1，ADDE，求截面，求截面ADE与底面与底面ABC所成角余弦值所成角余弦值思路探索思路探索 处理无棱二面角的方法有三种：一是找棱作处理无棱二面角的方法有三种：一是找棱作角；二是运用法向量求解，三是运用射影面积求解角；二是运用法向量求解，三是运用射影面积求解题型题型二二无棱二面角的求法无棱二面角的求法【例例2】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练如图，四棱锥如图，四棱锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD，底面，底面ABCD为边长是为边长是1的正方的正方形，形，PA1，求平面，求平面P
11、CD与平面与平面PAB夹角夹角的大小的大小解解如图，以如图，以A为原点建立空间直角坐标为原点建立空间直角坐标系系Axyz.则则A(0，0，0)、D(0，1，0)、C(1，1，0)、P(0，0，1)【变式变式2】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练 (12分分)如图所示，正三棱柱如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为的所有棱长都为2，D为为CC1的中的中点，求二面角点，求二面角AA1DB的余弦值的余弦值题型题型三三向量法求二面角向量法求二面角【例例3】课前探究学习课前探究学习课
12、堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练 规范解答规范解答如图所示，取如图所示，取BC中点中点O，连，连结结AO.因为因为ABC是正三角形，所以是正三角形，所以AOBC，因为在正三棱柱，因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面中，平面ABC平面平面BCC1B1，所，所以以AO平面平面BCC1B1.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练【题后反思题后反思】几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二
13、是该方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两或两向量向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性间向量的巨大优越性课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练【变式变式3】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练 探索性、存在性问题是条件不完备和结论不确定的问探索性、存在性问题是条件
14、不完备和结论不确定的问题，这类问题对学生解决问题、处理问题的能力要求较题，这类问题对学生解决问题、处理问题的能力要求较高立体几何中的探索性、存在性问题，是比较有思维层高立体几何中的探索性、存在性问题，是比较有思维层次的，对能力要求非常高利用向量的方法，可以将这类次的，对能力要求非常高利用向量的方法，可以将这类问题由立体几何问题转化成为代数的方程式或不等式的解问题由立体几何问题转化成为代数的方程式或不等式的解的问题，降低了问题的难度的问题，降低了问题的难度 方法技巧探索性、存在性问题的解题技巧方法技巧探索性、存在性问题的解题技巧课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范
15、训练思路分析思路分析 可先建系，写出直线的方向向量与平面的法向量，再可先建系，写出直线的方向向量与平面的法向量，再用待定系数法确定点用待定系数法确定点E.解解分别以分别以AB，AD，AP为为x，y，z轴建立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练方法点评方法点评 存在性问题的处理思路，一般是先存在性问题的处理思路，一般是先假设存在，根据题目条件去求解，空间向量的假设存在，根据题目条件去求解，空间向量的应用对已知平行的条件提供了更广阔的适用空应用对已知平行的条件提供了更广阔的适用空间间 课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练单击此处进入单击此处进入 活页规范训练活页规范训练
