1、3.5 线性定常连续系统的能观性 在实际工程实践中,往往需要知道状态变量,而由于各种原因,不一定都能直接获取,但输入变量总是可以获取和测量的.能观性能观性能否通过对输出的测量来确定系统的状态变量ft设线性定常连续系统状态空间表式：1.定义：对任意给定u(t)，在内输出y(t)可唯一确定系统的初态x(),则系统是完全能观的y x()能观y x()能检0t,0ftt确定确定BuAxx.DuCxy0t2.定理定理1：系统状态完全能观的充要条件：nSrankSrankT00 )(10TnTTTTCACACSTnTCACACS 10证明：设00)()0()()()tA t tA ttx tex teBu
2、d（dBueCtxCetytttAttA)()()(00)(0)(0)(tu00t)0()()()()0()()0()()0()()0()()0()(1110111010 xCACACItaItaItaxCAtaCAxtaCxtaxAtaCxCetynqnqqnnmnmmAt这里：是一个单位阵 要使y(t)x(0)q qqIR确定nrankSrankST00 3.定理2:若A为对角型，则系统完全能控能观的充要条件是：输出阵C中没有没有任何一列的元素全为零 例：系统状态方程为ubbxx2121.00 xccy21TTTCACS 0)(12210ccS01c02c)(21系统能控能观则要求即ran
3、k =20S4.定理3：若A为约当型，则系统完全能观的充要条件是：一重特征值对应单一约当块时，C阵中与每个约当块的第一列第一列相对应的各列中，没有一列的元素全为零.一重特征值对应非单一约当块时，C阵中与每个约当块的第一列第一列相对应的各列线性无关如：能观ubbbxx321211.000001xccccccy232221131211112100cc 132300cc 例：设系统的状态方程为：判断系统的能观性解：ubbxx2111.01xccy2121121110 cccccCACSTTT210cS 2 0Srank能观01c6.定理定理4:设 如果系统能观，但不是能观标准型，则存在 ，将原系统化
4、为能观标准型：buAxx.Cxy (单输入单输出系统)xpxTxCyubxAx.其中1210100010001000naaaaATTTTAPAPbPbCCP 其中：12110001nCC APC AC A1111nPPA PAP7.线性变换后系统能观性不变 设 令buAxx.DuCxy)(1T0TTnTTCACACSxPx xCyubxAx.APPA1BPB1CPCDD)(1T0TTnTTCACACS01111110)()()()()()()()(SrankCACACrankCACACPrankCAPCAPCPrankCPAPPCPAPPCPrankSrankTTnTTTTTnTTTTTTnT
5、TTTTTTTnTTTTP 满秩矩阵3.6 线性定常离散系统的能观性 设1.定义：已知u(k)，如果能由 确定x(k)，则第k步是能观的。如果每个k步都能观，则系统完全能观完全能观。)()()1(kBukAxkx)()(kCxky)1(),(kyky)1(nky y(k)y(k+1)y(k+n-1)已知u(k)x(k)=)()()(21kxkxkxn2.定理：系统状态完全能观的充要充要条件：其中：nSrankSrankT00 )(10TnTTTTCACACS10 nTCACACS证明：令u(k)=0 k=0 y(0)=Cx(0)k=1 y(1)=Cx(1)=CAx(0)k=n-1 y(n-1)
6、=)0(1xCAn)0()1()1()0(1xCACACnyyyn_)1()1()0()0(11nyyyCACACxn 当 时，x(0)有解。nSrankT0 例：解：)(112)(203120101)1(kukxkx)(010kxy 04312001020CACACST能观 3 0TSrank3.7 对偶原理对偶原理：CxyBuAxxS,:.1),(DCBAzBwvCzAzSTTT,:.2),(TTTTDBCA 其中:与 互为对偶.qpnnnRvyRwuRARzx,1S2S1:SBAABBSnc112:S1201()()()()()TTTTTTTTnTTcSBABABS11()TTTTnTO
7、SCA CAC:2S:1S121()TTTTnTcOSCA CACS12 SS能控能观能控能观21 SS:1S11()()G sC SIAB:2S112()()()TTTTTTG sB SIACBSIAC)()(12sGsGT3.7 G(s)与能控性和能观性的关系设 单输入定理:系统能控能观的充要条件是G(s)中没没 有零极点对消有零极点对消buAxx.Cxy)()()()()(1sDsNbASIASIadjCbASICsG设A的特征值:,则系统可化为:n,21ubbbxxnn2121.niiinxCxCCCy121当当00iiCb不能控不能观ixix00iiCb系统能控能观验证能控性:设 不
8、能控,则一定存在零极点对消.01b1xbASI1)(1122111321212210()1001()()()()()()()()1nnnnnnnnssbSIAbsbsbssbsssssssbbs验证能观性:设 不能观,则 一定存在零极点对消.01C1)(AsIC121210)(nnsssCCAsIC1xnnnnnnCssCsssssssCsCs)()()()(0 )()(01223211221例:解:能控型:5.25.15.2)1)(5.2(5.2)(2sssssssGuxx105.15.210.xy15.215.215.20CACST1 0TSrank不能观 能观型:uxx15.25.115.20.xy102.52.5,111CcSBABrankS不能控 不能控不能观:uxx015.2001.1 0yx不能控不能观2x
