1、授课者：许红梅授课者：许红梅 数学选修数学选修4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 做一做 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。定义：直线在圆上纯滚动时，直线上一点M的轨迹叫做该 圆的渐开线。该圆叫渐开线的基圆，直线叫渐开线的发生线。思考：思考：动点（笔尖）满足什么几何条件？动点（笔尖）满足什么几何条件？?A B M O 渐开线的参数方程?A B M O x y 以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系。?A B M O x y 渐开线的参数方程?)sin(cos)cos(sin?rxr
2、y?为参数?例例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所在的渐开线的参数方程。解：因为基圆的直径为22mm，所以基圆的半径为11mm，因此齿廓线的渐开线的参数方程为：X=11(cos +sin)Y=11(sin cos)（为参数）例2.当=，时，求出渐开线 2?X=cos+sin Y=sin cos 的对应点A，B坐标，并求出A，B的距离。23?思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？定义：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。O A
3、 B M?思考：思考：圆在滚动过程中，圆周上的这个动圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。点满足的几何条件。O A B M?摆线的参数方程 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。x y O D A E B M C?所以，摆线的参数方程为：(sin),()(1 cos).xryr?为参数(,),Mx yM?设点的坐标为取 为参数，根据点满足的几何条件，有x y O D A E B M C?(1)?在摆线的参数方程中，参数的取值范 思 考：围是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？0);22().rrr?参数 的
4、取值范围是，一个拱的宽度是，高度是其中是滚动圆的半径(sin),()(1 cos).xryr?为参数 例1已知一个圆的参数方程为?x3cos ，y3sin(为参数)，那么圆的摆线方程中与参数 2对应的点A与点B?32，2 之间的距离为()A.21 B.2 C.10 D.321 练习：摆线?xtsin ty1cos t(0t2)与直线y1的交点的直角坐标为 _ 小结：(sin),()(1 cos).xryr?为参数?)sin(cos)cos(sin?rxry?为参数?1.渐开线和摆线 2.渐开线参数方程 3.摆线参数方程 作业 优化学案50页：3题，6题，8题 其他常见类型摆线其他常见类型摆线 水调歌头水调歌头重上井冈山重上井冈山 毛泽东 久有凌云志，重上井冈山。千里来寻故地，旧貌变新颜。到处莺歌燕舞，更有潺潺流水，高路入云端。过了黄洋界，险处不须看。风雷动，旌旗奋，是人寰。三十八年过去，弹指一挥间。可上九天揽月，可下五洋捉鳖，谈笑凯歌还。世上无难事，只要肯登攀。
