1、第7讲二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析二阶系统性能指标二阶系统性能指标3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型随动系统A Servo System（位置控制系统）如图3-6所示。+图3-6 随动系统原理图输入电位计输出电位计rc发送反馈信号SMcia输入装置e1KAKAeLaR1R1R2i放大器 电动机齿轮传动负载误差测量
2、装置Ra该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。+图3-6 随动系统原理图输入电位计输出电位计rc发送反馈信号SMcia输入装置e1KAKAeLaR1R1R2i放大器 电动机齿轮传动负载误差测量装置Ra输入电位计电刷臂的角位置r，由控制输入信号确定，角位置r就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置c，由输出轴的位置确定。+图3-6 随动系统原理图输入电位计输出电位计rc发送反馈信号SMcia输入装置e1KAKAeLaR1R1R2i放
3、大器 电动机齿轮传动负载误差测量装置Ra电位差)(crseeKe就是误差信号。:sK桥式电位器的传递函数该信号被增益常数为AK的放大器放大，（AK应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗）放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。电动机激磁绕组上加有固定电压。如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：amiCM )()(sICsMam（3-10）:mC电动机的转矩系数:ai为电枢电流对于电枢电路eKKdtdKiRdtdiLsAbaaaa（3-11）)()()()(sSKsEKKsIRSLbSAaaa:aaRL
4、电动机电枢绕组的电感和电阻。:bK电动机的反电势常数，:电动机的轴的角位移。电动机的力矩平衡方程为：amiCMdtdfdtdJ22（3-12）)()()(2sMsfSJSJ:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。ic1 )(1)(sisc（3-13）KsKACmi1KbSr(s)E(s)E1(s)Ia(s)M(s)(s)c(s)3-113-103-12KbS(s)图3-7 随动系统方块图KsKACmi1KbSr(s)E(s)E1(s)Ia(s)M(s)(s)c(s)3-113-103-12KbS(s)图3-7
5、 随动系统方块图开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递函数为1)()()()(sEsHssGcSKCfSJSRSLiCKKifSJSRSLSKCfSJSCRSLKKbmaamASaabmmaaAS)(1)(111222（3-14）如果略去电枢电感aL)1()()()(111SFJSFKFJSSKFRKCfJSSKRiCKKsGabmamAS令令)1(STSKm（3-15）amASiRCKKK 1增益abmRKCfF阻尼系数，由于)(bK电动机反电势 的存在，增大了系统的粘性摩擦。FKK1开环增益FJTm机电时间常数不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：)1()(STSKsG
6、m（3-16）不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：)1()(STSKsGm（3-16）相应的闭环传递函数 KSSTKsGsGsssmrc2)(1)()()()(（3-17）222212nmnnmmKTKSSSSTT为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式222()()()2nnnC ssR sSS（3-18）mnTK2 mnTKmnT12 KTm21n自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示S(S+2n)n2R(s)C(s)图3-8 标准形式的二阶系统方块图_222()()()2nnnC ssR sSS
7、（3-18）n自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的动态特性，可以用和n加以描述,二阶系统的特征方程：0222nnSS（3-19）122,1nnS（3-20）3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of Second-Order Systems阻尼比是实际阻尼系数F与临界阻尼系数的比值CmFFJKFFKJFKJKT1212212121 CF临界阻尼系数，1时，阻尼系数图3-9二阶系统极点分布左半平面001=1两个相等根jn=0d=njn=0 j右半平面1两个不等根00两个正实部的特征根 发散 10，闭环极点为共扼复根
8、，位于右半S平面，欠阻尼系统1，为两个相等的根10，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，两个不相等的负实根(1)欠阻尼(10)二阶系统的单位阶跃响应22,11nnjS令n衰减系数 dj 21nd阻尼振荡频率SsR1)(，由式（3-18）得222()()()2nnnC ssR sSS（3-18）SSSsRssCnnn12)()()(2222222)()(1dnndnnSSSS122,1nnS对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为sin1cos1)(2ttethddtn0)sin(1112ttedtn2222)()(1dnndnnSSSS（3-21）222111nnddddndn121稳态分量 瞬态分量a
9、rccos12 arctg稳态分量为1，表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为d阻尼振荡频率 包络线211tne决定收敛速度0时，()1cos0nh ttt（3-23）这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为n故称为无阻尼振荡频率。由系统本身的结构参数确定(2)临界阻尼(1)SsRttr1)(,)(1)(nnnnnSSSSSsC1)(11)()(222临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应0)1(11)(tteetethnttntnnn（3-24）当1时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过
10、程，tnnedttdh2)(3)过阻尼()1122,1nnSSSSSSSSSsCnnnn)1()1(1)()(222212)1()1(23221nnASASA11A)1(122nSA)1(121223A0)1(121)1(1211)()1(22)1(2222teethttnn （3-25）jS1S2衰减快慢基本上由S1决定图3-10二阶系统的实极点0020040060080010001200140000.20.40.60.811.21.41.61.82图3-11表示了二阶系统在不同值瞬态响应曲线3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标欠阻尼情况在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通
11、常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。二阶系统一般取7.0,8.04.0 其它的动态性能指标，有的可用n和精确表示，如%,prtt,有的很难用n和准确表示，如sdtt,可采用近似算法。在式（3-21）中，即0,)sin(111)(2ttethdtndt 令arccos1,5.0)(2arctgthd221)arccos1sin(2ln1dndntt，在较大的值范围内，近似有 ndt22.06.01（3-26）10时，亦可用ndt7.01（3-27）rt 1)(rth，求得 0)sin(112rdttenrdtdrt（3-28）一定，即一定，rtn,响应速度越快)(峰值
12、时间pt 对式（3-21）求导，并令其为零，求得0,)sin(111)(2ttethdtn（3-21）0)cos()sin(tetedtddtnnn21)(ttgd 21tg ,2,0pdt,根据峰值时间定义，应取ptd)293(21221 dddpTtpt距离越远）（闭环极点离负实轴的一定时，n的计算，超调量pMor%超调量在峰值时间发生，故)(pth即为最大输出)sin(111)(2pdtptethpn211)(ethp 21sin)sin(%100%100)()()(%21ehhthp(3-30)1210时，%100%4.0时，%4.25%0.1时，0%当8.04.0时%4.25%5.1%调节时间St的计算
