1、第二章第二章 函数的极限与连续函数的极限与连续2.1 2.1 数列的极限数列的极限2.2 2.2 数项级数的基本概念数项级数的基本概念2.3 2.3 函数的极限函数的极限2.4 2.4 极限的性质和运算法则极限的性质和运算法则2.5 2.5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量2.6 2.6 极限存在的准则与两个重要极限极限存在的准则与两个重要极限2.7 2.7 函数的连续性函数的连续性2.82.8 函数的间断点函数的间断点limnnyA 1正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积16 2n nA123,nA A AA 1 1、割圆术：、割圆术
2、：“割之弥细，所失弥少，割之割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣周合体而无所失矣”刘徽刘徽(魏晋时期魏晋时期公元公元3世纪杰世纪杰出的数学家出的数学家)一、概念的引入一、概念的引入2.1 数列的极限93072 6 239273.14161250 他计算到正边形，得：2 2、截丈问题：、截丈问题：战国时期哲学家庄周所著的战国时期哲学家庄周所著的庄子庄子天下篇天下篇引引用过一句话用过一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺之棰，日取其半，万世不竭。”11;2X 第第一一天天剩剩下下的的杖杖长长为为221;2X 第第二二天天剩剩下下的的杖杖长
3、长为为1;2nnnX 第第 天天剩剩下下的的杖杖长长为为102nnX 0把每天截后剩下部分的长度记录如下（单位：尺）：把每天截后剩下部分的长度记录如下（单位：尺）：41.定义二、数列及其简单性质定义定义:按自然数按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n5注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可
4、看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn ,333,33,3 6公式法图示法表格法 运用数轴表示运用直角坐标系表示n 1 2 .n.xn x1x2.xn.7介绍几个数列xn0242nx1x2 x 例1,2 ,8 ,4 ,2 :2 )1(nn.2 :nnx 通项8xnx2x1n21x0 x3 11111(2):,22482nn.21 :nnx 通项1214189011nx212nxx,)1(,1,1 ,1,1 :)1()3(
5、11nn.)1(:1nnx通项10 xn1211M3x1xnx2x4x212 nx 0,)1(1,31 ,0 ,21 ,0 ,1 ,0 :)1(1 )4(nnnn.)1(1 nxnn通项：111xnx3x2x1x02132431nn ,1 ,43 ,32 ,21 :1 )5(nnnn.1 :nnxn通项12则称满足若 ,21nnxxxx(1)数列的单调性.,nnxx记为严格单调增加则称满足若 ,21nnxxxx.,nnxx也记为单调增加3.数列的性质则称满足若 ,21nnxxxx,.nnxx严 格 单 调 减 少记 为则称满足若 ,21nnxxxx,.nnxx单调减少也记为13 ,|,0 成立
6、使得若NnMxMn.是无界的否则称有界则称数列nnxx(2)数列的有界性的定义几何意义：()x0MM nx14例2xnx2x1n214121x0 x381 ,21,81,41,21 :21 )1(nn).21(,21Mn可取有界观察例1 中的几个数列：15011nx212nxx).1(,)1(1Mn可取但有界不单调,)1(,1,1 ,1,1 :)1()3(11nn16xn1211M3x1xnx2x4x212 nx 0,)1(1,31 ,0 ,21 ,0 ,1 ,0 :)1(1 )3(nnnn).1(,)1(1Mnn可取但有界不单调171xnx3x2x1x02132431nn ,1 ,43 ,3
7、2 ,21 :1 )4(nnnn.)1(,1Mnn可取有界18xn0242nx1x2 x ,2 ,8 ,4 ,2 :2 )5(nn).2 (,2nnx但下方有界：无界 有些数列虽然无界,但它或者是下方有 界的,或者是上方有界的.191111(1).,2248nna 即即1345(2).1,2,234nan 即即(3).2,2,4,6,8,nan 即即1(1)(4).,0,1,0,1,2nna 即即1111(5).(1),1,234nnan 即即2246(6).,1234nnan 即即(1)325(7).,0,234nnnan 即即例例3(8).(1)nna 即-1，1，-1，10当当n n无限
8、增大时，无限增大时，1?021?20.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn21.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn22.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn23.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn24.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn25.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn26.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn27.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn28.)1(11时的变化
9、趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn29.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn30.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn31.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn32.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn结论：结论：当 n“无限增大”时,数列的变化趋势有三种情形：“无限接近”某个常数 A。na数列极限的直观描述直观描述:对于对于数列 和常数A，如果当 n无限增大时,无限接近 A，则称该数列收敛于A或以A为极限。na问题：（1）如何严格描述两个“无限”？（2）如何用准确的数学语言来描述
10、一个判断法则？三、极限的直观定义三、极限的直观定义na 无限增大；na 的变化趋势不定；na34对数列(2)的实质1nna 1、1 nnan11nan要要使使110 n必须必须1011001001100010001011010100)（1 N 结论：结论：条件：条件：对 使得当 n N时,恒有 成立。10,正整数N,四、精确定义四、精确定义1na ,n na时，时，无限接近无限接近1 111,nNnn 352、定义 0,正整数N,naA 成成立立。则称数列 an 在 n时以常数 A为极限极限。也称数列收敛收敛于A。记lim nnaA 或或()naA n 否则说数列发散发散。当 n N时,有对于
11、数列 an及常数 A,如果(“N”语言)1lim0,2nn 1lim(1)0,nnnlim1,1nnn 1lim(1)1,nn(1)lim1.nnnn 1(1)lim2,limlim(1)2nnnnnn 及及不不存存在在3 3、注意：、注意：（2）而N与有关。一般 越小,N 越大;数列的极限与前面有限项无关。（3）极限研究的是数列在无穷远处的动态变化趋势，与数列中的某一具体项无关。（1）定义中 是用来刻划an与A的接近程度的;an与A 要多么接近就有多么接近。（4）极限是一种新的运算，它的运算对象是数列，是一种“无限”、“动态”运算。不等式|an-A|N)可改写成 A-an N),则4、几何意
12、义、几何意义(1)若把 an 看成数轴上的点,在数轴上任意取定A的 邻域,aN 以后的所有点都落在 A 的 邻域内.2 A+AA1a2a3a4aNa2Na 1Na(2)若把(n,an)看成平面上的点,在平面上取两直线y=A 和 y=A+;当n N时,所有点(n,an)都落在两直线所形成的带形区域内.如图AA+ANnona39例例4 用数列极限定义证明23(1).lim2;nnn 0,23332,nnnn 证(1)对 要 使 不 等 式 3 0,NnN 对 只要取正整数 则当时,3.n 只要 23lim2.nnn 故由数列极限的定义知,232,nn 就恒有 lim0,(1)nnpp(2)0,(1
13、)0,nnpp 证(2)对 不妨假设要使不等式ln0,lnNnNp 对 只要取正整数则当时,lnln,np 只要 lim0.nnp 故由数列极限的定义知,0,np 就恒有lnlnnp 即 便可.110,0,!nn 证(3)对 要使不等式11,nn 只要 即 便可.10,NnN 对 只要取正整数当时,1lim0.!nn 故由则数列极限的定义知,11,!nn 1lim0.!nn (3)10,!n 就恒有五、性质五、性质1、收敛数列的极限唯一2、收敛数列必有界.3、(保号性保号性)若若 则有：则有：limnnaA(1),0(0),0(0)(2)0(0),0(0)nnnnNZnNaaAAAANZnNa
14、a若使得时或则或若或则使得时,或43例如例如,数列数列,nn,).(165544332211 取奇数项取奇数项:,kk,21265 43 21 取偶数项取偶数项:,kk,12276 54 32 都是都是(1)(1)的子数列的子数列.,)(,).(n 11111112 又如又如,取奇数项取奇数项:取偶数项取偶数项:,11 1 1,1 1 1 4 4、子数列及其敛散性、子数列及其敛散性都是都是(2)(2)的子数列的子数列.1 11 11 11 1-1-1在数列在数列nx中中任意抽取任意抽取无限多项，无限多项，先后次序，先后次序，称为原数列称为原数列nx的的一个一个子数列子数列.并并保持保持这些项这
15、些项在原数列中的在原数列中的这样得到的一个数列，这样得到的一个数列，。记记为为子子数数列列knx44收敛数列与其子数列的关系：收敛数列与其子数列的关系：(1).逆命题不成立逆命题不成立.(2).逆否命题成立逆否命题成立.,则它的任一子数列也收敛于则它的任一子数列也收敛于A nx收敛于收敛于A如果数列如果数列注意注意子数列发散的数列一定发散子数列发散的数列一定发散子数列收敛的数列未必收敛子数列收敛的数列未必收敛45Axlim)(nn 121limkkx2limkkxA,Axlim)(nn 122若若,Bxlimnn 2不存在。不存在。则则nnxlim BA ,61041021例如例如,数列数列例
16、如例如,数列数列,65043021结论：证明证明*：必要性：必要性：lim0,.nnnxAN st nNxA 正整数时，2221212lim;21limkkkkkkkNxAxAkNxAxA 充分性：充分性：2limkkxA，21limkkxA，120,max(,),.nNN Nst nNxA 正整数时，lim nxAn n故故1120,.kN stkNxA 正整数时，22210,.1kNstkNxA 对上面的正整数时，47 微积分的概念常常是由局部到整体然后再从整体回到局部（如子数列问题，左右极限、连续、导数问题，整体区域与部分区域的连续和积分问题）,所以在微积分的证明和计算中常常是将整体问题分成几个局部问题来分别证明和计算。在微积分的研究中，常常通过研究“有限”把握“无限”，通过研究“静态”把握“动态”，通过研究“简单”把握“复杂”。如：极限、导数、微分的定义。
