1、一、比较法一、比较法2233,1abbabababa 求证求证且且都是实数都是实数已知已知例例)()()()(:32232233babbaaabbaba 证明证明)()()(2222babababbaa 2)(baba 0,0,baba0)(2 baba又又0)()(0)(22332 abbabababa即即故故2233abbaba (1)作差比较法作差比较法.,2并并给给出出证证明明问问题题将将这这个个事事实实抽抽象象为为数数学学增增加加到到此此时时溶溶液液的的浓浓度度白白糖糖若若在在上上述述溶溶液液中中再再添添加加则则其其浓浓度度为为糖糖溶溶液液白白糖糖制制出出如如果果用用例例mbmamk
2、gbabkgakg bambmabamba 则则且且并并都都是是正正数数已已知知如如下下不不等等式式问问题题可可以以把把上上述述事事实实抽抽象象成成解解,:bambmabamba 则则且且并并都都是是正正数数已已知知如如下下不不等等式式问问题题可可以以把把上上述述事事实实抽抽象象成成解解,:下面给出证明下面给出证明)()(mbbabmbambma 0)(,0)(,0 mbbabmmbaabab都是正数都是正数又又bambmabambmambbabm 0 0)()(即即.,3等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当求证求证是正数是正数已知已知例例babababaabba baabbaabbababa
3、baba :证明证明.,1,0,1,0),(等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当则则不不妨妨设设不不等等式式不不变变的的位位置置交交换换点点根根据据要要证证的的不不等等式式的的特特bababababababa .,等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当bababaabba (2)作商比较法作商比较法3)(,:cbacbaabccbaRcba 则则若若求证求证变式引申变式引申bnamnbmanmnmba 试证明试证明且且都是正实数都是正实数若若补充练习补充练习,1,:二、分析法二、分析法从要证的结论出发从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充逐步寻求使它成立的充分条件分条件,直至所需条件为已知条件或
4、一个明直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实显成立的事实(定义、公理或已证的定理、定义、公理或已证的定理、性质等性质等),从而得出要证的命题成立从而得出要证的命题成立,这种证这种证明方法叫做明方法叫做分析法分析法.这是一种这是一种执果索因执果索因的思的思考和证明方法考和证明方法.6372 4 求证求证例例.6372,1814,1814,1814,18291429,)63()72(,6372,6372 :22成立成立所以所以成立成立只需证只需证只需证只需证展开得展开得只需证只需证所以要证所以要证都是正数都是正数和和证明证明 bnamnbmanmnmba 试证明试证明且且都是正实数都是正实数若
5、若补充练习补充练习,1,:1mccmbbmaamcbaABC :,.2求求证证为为正正数数且且的的三三边边长长是是已已知知abccbaaccbbacba 222222,0,5求求证证已已知知例例yzxzyxcbaabcaccbba22222222222)(,)(:可以考虑用可以考虑用右边各项涉及三个字母右边各项涉及三个字母平方之积平方之积左边各项是两个字母的左边各项是两个字母的观察上式观察上式要证的不等式可化为要证的不等式可化为分析分析abccbaaccbbacba 222222,0,5求求证证已已知知例例abccbaaccbbacbacbacbacbaabcaccbbaabcacbbcaac
6、cbbaabcbaccabbaacbacbbacacbcacbaabccb 222222222222222222222222222222222222222222,01,0,0,)(222)(22)(,0,22)(,0,22)(,0,2 :故故又又证明证明三、反证法与放缩法三、反证法与放缩法(1)反证法反证法先假设要证的命题不成立先假设要证的命题不成立,以此为出发点以此为出发点,结合已知条结合已知条件件,应用公理应用公理,定义定义,定理定理,性质等性质等,进行正确的推理进行正确的推理,得到得到和命题的条件和命题的条件(或已证明的定理或已证明的定理,性质性质,明显成立的事实明显成立的事实等等)矛盾
7、的结论矛盾的结论,以说明假设不正确以说明假设不正确,从而证明原命题成从而证明原命题成立立,这种方法称为这种方法称为反证法反证法.对于那些直接证明比较困难对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明的命题常常用反证法证明.21,1,2,0,1中至少有一个小于中至少有一个小于试证试证且且已知已知例例xyyxyxyx 211.2,2)(22,21 ,21,0,21,21,21,1:中中至至少少有有一一个个小小于于与与矛矛盾盾这这与与已已知知条条件件且且即即都都不不小小于于假假设设证证明明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx 0.c0,b0,a:0,abc0,cabcab0,cba,
8、2 求证求证为实数为实数已知已知例例cba.,0,0,0.0.0,0)(,0,0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.00,0,:所所以以原原命命题题成成立立同同理理可可证证综综上上所所述述也也不不可可能能相相矛矛盾盾这这和和已已知知于于是是又又可可得得那那么么由由如如果果不不可可能能矛矛盾盾与与则则如如果果两两种种情情况况讨讨论论和和下下面面分分不不妨妨先先设设正正数数即即其其中中至至少少有有一一个个不不是是不不全全是是正正数数假假设设证证明明 cbaacabcabbccbacabcabacbcbabcabcaaabcabcaaaacba反证法主要适用于以下两种情形反证法主要适用于以下两种
9、情形(1)要证的结论与条件之间的联系不明显要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件直接由条件推出结论的线索不够清晰推出结论的线索不够清晰;(2)如果从正面证明如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形只研究一种或很少的几种情形.(2)放缩法放缩法证明不等式时证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形或使不等式中的项得到简化而有利于
10、代数变形,从而达从而达到证明的目的到证明的目的,我们把这种方法称为我们把这种方法称为放缩法放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有因而放缩法具有较在原灵活性较在原灵活性;另外另外,用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式,关键是放、关键是放、缩适当缩适当,否则就不能达到目的否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较因此放缩法是技巧性较强的一种证法强的一种证法.21,3 caddbdccacbbdbaaRdcba求证求证已知已知例例bcadbddcbadabdcacdcbacdacbdbdcbabcdbacadcbaadcba ,0,:证证明明21 .2222 caddabccacbbdbaadcbadcbacadddbccacbbdbaadcbadcba即即得得把以上四个不等式相加把以上四个不等式相加
