1、抛物线的几何性质抛物线的几何性质2022-12-202022-12-20结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索探索其的几何性质其的几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点类比探索类比探索x0,yR关于关于x轴对称轴对称,对称轴对称轴又叫抛物线的轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.2022-12-202022-12-20(4)离心率离心率(5)焦半径焦半径(6)通径通径始终为常数始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的交于两点，连接
2、这两点的线段叫做抛物线的通径。通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2P思考思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？2022-12-202022-12-20特点特点1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影
3、响.P越大越大,开口越开阔开口越开阔2022-12-202022-12-20lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴12022-12-202022-12-20例题例题例例1.顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2,)的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程,2 2例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物
4、线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my(m0),可避免讨论可避免讨论y2=4x焦点弦的长度焦点弦的长度2022-12-202022-12-20练习练习:1.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为y2=8x2.过抛物线的焦点做倾斜角为过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线的直线L,设设L交抛物线于交抛物线于A,B两点两点,(1)求求|AB|;(2)求求|AB|
5、的最小值的最小值.0452022-12-202022-12-20y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）2022-12-202022-12-20例例3.过抛物线焦点过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点两点,通过点通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于和抛物线顶点的直线交抛物线的准
6、线于点点D,求证求证:直线直线DB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴.xOyFABD练习练习:P68 T32022-12-202022-12-20.022正三角形的边长）上，求这个（两个顶点在抛物线点位于坐标原点，另外例、正三角形的一个顶ppxyyOxBA2022-12-202022-12-20.|.0200.02022|.222121212121212221222221212221212211轴对称关于，即线段由此可得，）（，即：，所以：又，），则，）、（，线上，且坐标分别为（在抛物、的顶点解：如图，设正三角形xAByyxxpxxpxxxxpxpxxxyxyxOBOApxypxyyxy
7、xBAOAB2022-12-202022-12-20.342|.322.3330tan301121111pyABpypyxxyAOxABxoo，所以，且轴垂直于因为2022-12-202022-12-20等腰直角三角形等腰直角三角形AOB内接于抛物线内接于抛物线y2=2px(P0),O为抛物线的顶点为抛物线的顶点,OAOB,则则AOB的面积为的面积为A.8p2B.4p2C.2p2D.p22022-12-202022-12-20 1、已知抛物线的顶点在原点，对称、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴为x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那上，那么抛物线通径长是么抛物线通径长是 .
8、2、一个正三角形的三个顶点，都在抛、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线物线 上，其中一个顶点为坐标上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为原点，则这个三角形的面积为 。1648 324yx2022-12-202022-12-20例例2 2、已知直线、已知直线l l：x=2px=2p与抛物线与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，两点，求证：求证：OAOB.OAOB.2y证明：由题意得，证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)A(2p,2p),B(2p,-2p)所以所以 =1=1，=-1=-1因此因此OAOBOAOBOAKOBK推广推广1 1 若
9、直线若直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)且与抛物线且与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，求证：两点，求证：OAOB.OAOB.2yxyOy y2 2=2px=2pxA AB BL:x=2pC(2p,0)C(2p,0)xyOy y2 2=2px=2pxA AB BlC(2p,0)证明：证明：设设l 的方程为的方程为y=k(x-2p)或或x=2p 04)24(22222kpxppkxk24pxxBA2222164pxxpyyBABA24 pyyBA0BABAyyxx所以所以OAOB.OAOB.代入代入y2=2px得，得，可知可知又又2022-12-20
10、2022-12-20直线直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)推广推广2 2：若直线若直线l l与抛物线与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，且两点，且OAOB OAOB，则则_ 2yxyOy2=2pxABlC(2p,0)验证：由验证：由 得得 所以所以直线直线l l的方程为的方程为 即即而因为而因为OAOB OAOB，可知，可知 推出推出 ，代入，代入 得到直线得到直线l l 的方程为的方程为所以直线过定点（所以直线过定点（2p,0).2p,0).AABBpxypxy2222BABABAAByypxxyyk2)(2ABAAxxyypyy)2(2pyyx
11、yypyBABA0BABAyyxx24 pyyBA)2(2pxyypyBA高考链接：高考链接：过定点过定点Q Q（2p,0)2p,0)的直线与的直线与y2=2px（p0）交于相异两点）交于相异两点A、B，以，以线段线段AB为直径作圆为直径作圆H(H为圆心），试证明抛物线顶点在圆为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。上。2022-12-202022-12-20小结小结:1.掌握抛物线的几何性质掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、范围、对称性、顶点、离心率、通径离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题焦点坐标及解决其它问题;2022-12-202022-12-20
