1、广义行列式及其应用广义行列式及其应用 谭宜家谭宜家（福州大学）（福州大学）一、引言一、引言 对于数域上一个给定的对于数域上一个给定的n阶方阵阶方阵 ，的行列式是的行列式是()ijn nAaA()1(1)2(2)()|(1)nnnSAaaa 其中其中 是集合是集合 中所有置换组成的中所有置换组成的集合。集合。nS1,2,.,n()表示置换表示置换 的逆序数。的逆序数。矩阵的行列式在线性代数中起着重要的作用，矩阵的行列式在线性代数中起着重要的作用，它有很多有趣的性质。它有很多有趣的性质。实际上，实际上，行列式行列式、矩阵矩阵和和线性方程组的解线性方程组的解是紧密地联系在一起的是紧密地联系在一起的;
2、利用行列式，可直利用行列式，可直接找到可逆矩阵的逆矩阵的计算公式。接找到可逆矩阵的逆矩阵的计算公式。Cramer法则是利用行列式解线性方程组。法则是利用行列式解线性方程组。我们说，以上事实对于我们说，以上事实对于交换环上矩阵的行交换环上矩阵的行列式列式都是成立的，都是成立的，不同的不同的是是数域上的一个数域上的一个方阵可逆当且仅当它的行列式不等于方阵可逆当且仅当它的行列式不等于0，而，而交换环上矩阵可逆当且仅当它的行列式在交换环上矩阵可逆当且仅当它的行列式在环中可逆环中可逆（参看（参看10）。）。矩阵的矩阵的积和式积和式类似于矩阵的行列式。对于类似于矩阵的行列式。对于数域上一个给定的数域上一个
3、给定的n阶矩阵阶矩阵 ，的的积和式积和式是是()ijn nAaA1(1)2(2)()()nnnSper Aaaa其中其中 是集合是集合 中所有置换组成的中所有置换组成的集合。由于矩阵积和式不涉及到负号，所集合。由于矩阵积和式不涉及到负号，所以矩阵积和式在一般交换半环上也可以定以矩阵积和式在一般交换半环上也可以定义。义。nS1,2,.,n 矩阵积和式的概念矩阵积和式的概念首先首先由由Binet1 和和 Cauchy 3引入。自那以后，出版了大量引入。自那以后，出版了大量关于积和式理论的研究工作。关于积和式理论的研究工作。1978年年,H.Minc 11给出了关于积和式理论和应用的给出了关于积和式
4、理论和应用的一些论述。自一些论述。自1980年以来，许多数学工作年以来，许多数学工作者研究了者研究了一些特殊半环上矩阵的积和式一些特殊半环上矩阵的积和式(例例如，参看如，参看5,7,8,9,13,16,18).这些特殊这些特殊半环包括了半环包括了模糊代数模糊代数，分配格分配格和和坡代数坡代数。由上述可以看出，由上述可以看出，矩阵的行列式矩阵的行列式只能在只能在交交换环换环上定义，而上定义，而积和式积和式可以在可以在一般交换半一般交换半环环上定义。上定义。那么，是否有一个方法可以将那么，是否有一个方法可以将行列式与积和式统一起来呢？行列式与积和式统一起来呢？本文将引入一般交换半环上矩阵的行列本文
5、将引入一般交换半环上矩阵的行列式（或称式（或称广义行列式广义行列式），并讨论它的一些），并讨论它的一些基本性质。同时利用行列式给出半环上矩基本性质。同时利用行列式给出半环上矩阵的可逆条件，并在半环上建立阵的可逆条件，并在半环上建立Cramer法法则所得的主要结论推广了则所得的主要结论推广了交换环交换环上矩阵上矩阵的行列式的行列式10（特别是数域上矩阵的行列（特别是数域上矩阵的行列式），式），模糊矩阵模糊矩阵的积和式的积和式9,13,格矩阵格矩阵的的积和式积和式18以及以及坡矩阵坡矩阵的积和式的积和式8中相应中相应的结果。的结果。二、基本概念与记号二、基本概念与记号 定义定义16.一个代数系统一
6、个代数系统 称为一个称为一个半半环环。如果。如果 是一个交换幺半群（其恒等是一个交换幺半群（其恒等元为元为0），），是另一个幺半群（其恒等元是另一个幺半群（其恒等元为为1）；同时）；同时 ,均有均有 ,并且并且 .,R ,R,R,x y zR,x yzxyxzyz xyxzx000;xx01 设设 是一个半环。是一个半环。称为称为交换交换的，如果的，如果 ,均有均有 ；RR,a bRabba 称为一个称为一个零和自由半环零和自由半环6，如果，如果 ,由由 可推出可推出 .零和自由半环又零和自由半环又称为称为反环反环14，17。R,ab R 0ab0abRaR aaa一个半环一个半环称为称为加法
7、幂加法幂,均有均有 任何加法幂等半环是零和自由半环。任何加法幂等半环是零和自由半环。等等的的66，如果，如果。显然，。显然，半环的例子是相当丰富的半环的例子是相当丰富的。例如，。例如，任何带有单位元的环都是半环，它不是任何带有单位元的环都是半环，它不是零和自由的。特别地，我们所熟知的零和自由的。特别地，我们所熟知的整整数环数环，有理数域有理数域，实数域实数域与与复数域复数域都是都是半环（实际上，它们都是特殊的环）。半环（实际上，它们都是特殊的环）。又如，每一个又如，每一个布尔代数布尔代数 ，模糊代模糊代数数 ，每一个，每一个有界分配格有界分配格 以及任何以及任何坡代数坡代数 都是半环都是半环2
8、（实（实际上，它们均为际上，它们均为加法幂等半环加法幂等半环，但它们不，但它们不是环）。再如，是环）。再如，max-plus 代数代数 和和min-plus代数代数 都是交换半都是交换半环，它们均为加法幂等半环环，它们均为加法幂等半环4,19，但它，但它们不是环。另外，所有非负实数组成之集们不是环。另外，所有非负实数组成之集对于普通的加法与乘法构成一个半环对于普通的加法与乘法构成一个半环 称为称为非负实数半环非负实数半环。显然，非负实数半环。显然，非负实数半环既不是加法幂等半环也不是环。既不是加法幂等半环也不是环。(,)(0,1,max,min)(,0,1)L (,0,1)P (,)Rmax(
9、,min,)R(,),R 设设 是一个半环，是一个半环，。RaR。称为称为加法可逆加法可逆a 的，如果存在的，如果存在 ，使得，使得 ，称为称为 的的负元负元。bR0ab加法可逆元构成的集合。加法可逆元构成的集合。ba()V R设设 表示半环表示半环 中所有中所有R仅当仅当 是零和自由半环，而是零和自由半环，而 当且当且仅当仅当 是一个环。是一个环。()0V R 显然，显然，当且当且R()V RRR 设设 是一个交换半环，是一个交换半环，表示表示 上所有上所有 矩阵组成之集。矩阵组成之集。R m nMRRm n对于任意对于任意 mnA MRijaA,i j用用表示表示中中处的元素，处的元素，并
10、记并记A的的 转置为转置为 .TA,m nA BMR设设，.定义定义 n lCMRijijm nABab，1.nikkjkm lACa cR nA M RnnSnnS 设设是一个交换半环，是一个交换半环，表示表示中所有偶置换构成的集合，中所有偶置换构成的集合，表示表示中所有奇置换构成的集合。中所有奇置换构成的集合。A|A|A定义定义 的的正行列式正行列式和和负行列式负行列式如下如下显然显然 。1(1)2(2)()|.nnnAaaa1(1)2(2)()|.nnnAaaa()|per AAA当当R是一个交换环时，是一个交换环时，|.AAARRR,a bR设设是一个半环，是一个半环，上的一个映射上的
11、一个映射称为称为上的一个上的一个-函数函数如果对于任意如果对于任意 均有均有(),()()(),aaabab 显然显然()(),abab()()().ababa b(0)0.注注1：任何半环：任何半环 至少有一个至少有一个 -函数，因函数，因为为 上的恒等映射：上的恒等映射：是是 上的上的一个一个 -函数。如果函数。如果 是一个交换环，那么是一个交换环，那么映射：映射：是是 上的一个上的一个 -函数。函数。RR|,()aa aRRR|,()aa aR RRR nAMR定义定义2.设设是一个交换半环，是一个交换半环，是是一个一个-函数，函数，。上的上的 定义定义 的的 -行列式行列式A如下如下(
12、)1(1)2(2)()det()()nnnSAaaa nS1,2,.,n其中其中是集合是集合中所有置换组成的集合，中所有置换组成的集合，()表示置换表示置换的逆序数。的逆序数。定义为定义为()k(0)(),aa()(1)()(),kkaa k是正整数是正整数。(2)()aadet()|(|).AAA因为因为，所以，所以R|,()aa aR R注注2 2：如果：如果是一个交换环，是一个交换环，那么映射那么映射：是是上的一个上的一个-函数。此函数。此时时det()|(|)|.AAAAAAR|,()aa aR注注3 3：对于任何交换半环对于任何交换半环 ，恒等映射：恒等映射：是是R R上的一个上的一
13、个-函数。此函数。此时时det()|(|)|()AAAAAper A三、基本结论三、基本结论 1.定理定理1：对于任何：对于任何 ，我们有，我们有 (1)如果矩阵如果矩阵B是由是由A的某一行（或一列）乘的某一行（或一列）乘以以 中的一个元素中的一个元素 而得到，那么而得到，那么 nAMRRdet()det().BA(2)如果如果A的第的第i行（或第行（或第i列）是矩阵列）是矩阵B的第的第i行（或第行（或第i列）与矩阵列）与矩阵C的第的第i行（或第行（或第i列）列）的和，而它们其他的行（或列）都相同，的和，而它们其他的行（或列）都相同，那么那么det()det()det()ABC (3)(4)如
14、果矩阵如果矩阵B是由是由A交换两行（或两列）交换两行（或两列）而得到，那么而得到，那么 (5)如果如果A的某两行（或两列）相同，那么的某两行（或两列）相同，那么det()det().TAAdet()(det().BAdet()|(|).AAAR(6)如果矩阵如果矩阵B是由是由A的第的第i行乘以行乘以一个元素一个元素加到加到A的第的第j行而得到，行而得到，那么那么det()det()(|()|(|()|)rrBAA ijA ij中的中的 其中其中 表示由表示由A的第的第i行代替行代替A的第的第j行行而得到的矩阵。而得到的矩阵。()rA ij 2.定理定理2：设：设 ，那么对于任何，那么对于任何
15、这里这里 表示表示A中划去第中划去第i行第行第j行所得到的行所得到的 阶矩阵。阶矩阵。nAMR1,2,.,in()1(det(|)det();ni kikkaA i kA()1(det(|)det().nk ikikaA k iA(|)A i k1n 3.定理定理3：对于任何：对于任何 ，存在，存在 使得使得,nA BMR,Rdet()det()det()().ABAB 4.定理定理4：设：设 是一个交换半环，是一个交换半环，是是 上上的一个的一个 -函数，函数，,那么对于任何那么对于任何RR2n,nA B MRdet()det()det()ABAB当且仅当当且仅当R交换环并且交换环并且对于任
16、何对于任何 是一个是一个,nAMR均有均有det()|.AA 设设 是一个交换半环，是一个交换半环，是是 上的一个上的一个 -函数，函数，RR.nAMR 定义定义 的的 -伴随矩阵伴随矩阵如下如下()()(det(|).ijTn nadjAA i jA 5.定理定理5：对于任何：对于任何 ，我们有，我们有 （1）（2）6.定理定理6:对于任何对于任何 ，存在，存在 ，使得，使得这里这里 nAMR1()();nadjAadjA()().TTadjAadjA,nA BMR()()ijnMR()()()().adjABadjB adjA()().ij 如果如果 是一个交换环，那么映射：是一个交换环，
17、那么映射：是是 上的一个上的一个 -函数。此时函数。此时R|,()aa aR R()(),().adjAadj AO 由定理由定理6,我们有我们有 推论推论1：如果：如果 是一个交换环，那么对于任是一个交换环，那么对于任何何 ,均有均有R,nA BMR()()().adj ABadj B adj A 7.定理定理7：对于任何：对于任何 ，我们有，我们有 （1）其中其中 表示由表示由A的第的第i列代替列代替A的第的第j列列而得到的矩阵。而得到的矩阵。nAMR()(det(),rn nAadjAA ij()(det(),cn nadjA AA ij()cA ij（2）存在）存在 ，使得，使得11d
18、et()(det()(),nAadjAA 22det()(det()().nadjA AA 12,R 由定理由定理7，我们有，我们有 推论推论2：如果：如果 是一个交换环，那么对于任是一个交换环，那么对于任何何 ，均有，均有 （1）（2）R nAMR()|,()|;nnAadj AA Iadj A AA I|()|,|()|.nnAadj AAadj A AA四四、两个应用、两个应用 1.交换半环上可逆矩阵的一个等价刻画。交换半环上可逆矩阵的一个等价刻画。设设 是一个半环，是一个半环，。称为称为可逆可逆的，果的，果存在存在 ，使得，使得 。称为称为 的的逆元逆元，记为，记为 RaRabR1ab
19、baba1.a设设 ，称为称为可逆可逆的，的，nAMRA如果存在如果存在 ，使得，使得 。称称为为 的的逆矩阵逆矩阵，记为，记为 。()nBMRnABBAIA1AB 定理定理8：设：设 是一个交换半环，是一个交换半环，是是 上上的一个的一个 -函数满足对于任意函数满足对于任意 ，均，均有有 ，那么，对于任何，那么，对于任何 （1）可逆当且仅当可逆当且仅当 在在 中可逆并中可逆并且对于任何且对于任何 ，均有，均有 在在 中加法可逆。中加法可逆。RR()aV R()aa nAMRAdet()AR,1,2,.,j knjk1nijikia aR（2）可逆当且仅当可逆当且仅当 在在 中可逆并中可逆并且
20、对于任何且对于任何 ，均有，均有 在在 中加法可逆。中加法可逆。Adet()AR,1,2,.,j knjk1njikiia aR 如果如果 可逆，那么可逆，那么A11(det()().AAadjA 由定理由定理8，我们有，我们有 推论推论3：如果：如果 是一个交换环，那么对于任是一个交换环，那么对于任何何 ，可逆当且仅当可逆当且仅当 在在 中可逆中可逆,特别地特别地,当当 是一个域是一个域(数域数域)时时,可逆可逆当且仅当当且仅当 。如果。如果 可逆，那么可逆，那么R nA M RA|ARR nA MR|0A A11|().AAadj A 2.交换半环上的交换半环上的Cramer法则法则 定理
21、定理9：设：设 是一个交换半环，是一个交换半环，是是 上的上的一个一个 -函数满足对于任意函数满足对于任意 ，均，均有有 ，是是 上的上的 维列向维列向量。如果量。如果 可逆，那么矩阵方程可逆，那么矩阵方程 有唯一解有唯一解 其中其中 ，是由是由 中第中第 列用向量列用向量 代替所得到的矩阵。代替所得到的矩阵。RR()aV R()aa nAMRbRnAAxb11112(,.,),Tnxd d d dd ddet()dAdet()jjdAjAAjb 由定理由定理9，我们有，我们有 推论推论4：设：设 是一个交换环，是一个交换环，是是 上的上的 维列向量。如果维列向量。如果 可逆，那么矩阵可逆，那
22、么矩阵方程方程 有唯一解有唯一解其中其中 ，是由是由 中第中第 列用列用向量向量 代替所得到的矩阵。代替所得到的矩阵。R nA M RbRnAAxb11112(,.,)Tnxd d d dd d|dA|jjdAjAjAb 五、意义与价值五、意义与价值 1.理论意义理论意义：统一了行列式与积和式，方：统一了行列式与积和式，方法需要创新。法需要创新。2.应用价值应用价值：在许多应用学科领域（例如：在许多应用学科领域（例如：并行计算机系统、形式语言理论、最优化并行计算机系统、形式语言理论、最优化理论、自动化理论、离散动力系统、流程理论、自动化理论、离散动力系统、流程图模式分析以及开关电路分析等）涉及
23、到图模式分析以及开关电路分析等）涉及到的代数系统除了环（或域）之外，还涉及的代数系统除了环（或域）之外，还涉及大量的其他类型的半环，如布尔代数，模大量的其他类型的半环，如布尔代数，模糊代数，分配格，坡代数格，糊代数，分配格，坡代数格，max-plus 代代数和数和min-plus代数以及非负实数半环等。代数以及非负实数半环等。3.教学参考教学参考：对于本科生，研究生论文的选题具有：对于本科生，研究生论文的选题具有一定的参考价值。一定的参考价值。六、参考文献六、参考文献 1 J.P.M.Binet,Me moire sur un systeme de formules analytiques,e
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25、s operees entre les variables quelles renferment,J.Ec.Polyt.10(1812)29-11220 4 R.A.Cuninghame-Green,Minimax algebra,Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems 166,Springer-Verlag,Berlin,1979 5 J.S.Duan,The transitive closure,convergence of powers and adjoint of generalized fuzzy matrices.Fu
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