1、三角形的证明三角形的证明知识点一：全等三角形的判定与性质知识点一：全等三角形的判定与性质一般三角形一般三角形直角三角形直角三角形判定判定边角边（边角边（SAS）角边角（角边角（ASA）角角边（角角边（AAS）边边边（边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（斜边和一条直角边对应相等（HL）性质性质对应边相等，对应角相等对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等1判定和性质判定和性质2证题的思路：证题的思路：1用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC的依据是
2、（）ASSS BASA CAAS D角平分线上的点到角两边距离相等2下列说法中，正确的是（）A两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D面积相等的两个三角形全等3如图，ABC ADE，若B80，C30，DAC35，则EAC的度数为（）A40 B35 C30D254已知：如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；）两直线平行，同旁内角互补
3、；（3）如果）如果ab=0，那么，那么a=0，b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对 的边相等的边相等2使两个直角三角形全等的条件是（）使两个直角三角形全等的条件是（）A一个锐角对应相等一个锐角对应相等B两个锐角对应相等两个锐角对应相等C一条边对应相等一条边对应相等 D两条边对应相等两条边对应相等1下列说法正确的是（）A一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B斜边相等的两个直角三角形全等C斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D一边长相等的两等腰直角三角形全等2如上图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若ADB EDB E
4、DC，则C的度数为（）A15 B20 C25 D303如下图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC全等的图形是（）A甲和乙 B乙和丙 C只有乙 D只有丙4如图49，已知ABC ABC，AD、AD分别是ABC和ABC的角平分线（1）请证明ADAD；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗?等腰三角形的判定：等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质：等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两
5、腰上的高、中线也相等知识点二：等腰三角形的判定与性质知识点二：等腰三角形的判定与性质判定：判定：有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是三个角都是60的三角形是等边三角形；的三角形是等边三角形；有两个角是有两个角是60的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形性质：性质：等边三角形的三边相等，三个角都是等边三角形的三边相等，三个角都是60知识点三：等边三角形的判定与性质知识点三：等边三角形的判定与性质1、直角三角形的有关知识、直角三角形的有关知识 勾股定理勾股定理:直角三角形两条
6、直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；形是直角三角形；在直角三角形中在直角三角形中,如果一个锐角等于如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半2、互逆命题、互逆定理、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为
7、另一个命题的逆命题那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.知识点四：直角三角形1下列说法中不正确的是（）下列说法中不正确的是（）A有一腰长相等的两个等腰三角形全等有一腰长相等的两个等腰三角形全等B有一边对应相等的两个等边三角形全等有一边对应相等的两个等边三角形全等C斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等斜边相等、一条直角边也相等的两
8、个直角三角形全等D斜边相等的两个等腰直角三角形全等斜边相等的两个等腰直角三角形全等2 2如图，在等边如图，在等边ABC ABC 中中,BADBAD=20=20,AE AE=ADAD，则，则CDECDE的度数是（）的度数是（）A.A.10 10 B B12.512.5 C C1515D D20203、如右图，已知、如右图，已知ABC和和BDE都是等边三角形，都是等边三角形，求证：求证：AE=CD.4如图，等边如图，等边ABC的周长是的周长是9，D是是AC边上的中点，边上的中点，E在在BC的延长线上若的延长线上若DE=DB，则，则CE的长为的长为_5如图，已知：如图，已知：MON=30，点，点A1
9、、A2、A3在射线在射线ON上，点上，点B1、B2、B3在射线在射线OM上，上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若均为等边三角形，若OA1=1，则，则A6B6A7的边长为（）的边长为（）A6 B12C32 D646如图，等边如图，等边ABC中，点中，点D、E分别为分别为BC、CA上的两上的两点，且点，且BD=CE，连接，连接AD、BE交于交于F点，则点，则FAE+AEF的度数是（）的度数是（）A60 B110 C120 D1357.如图，如图，M、N点分别在等边三角形的点分别在等边三角形的BC、CA边上，且边上，且BM=CN，AM、BN交于点交于点Q（1）求证：）求证：
10、BQM=60；（2）如图，如果点）如图，如果点M、N分别移动到分别移动到BC、CA的延长线的延长线 上，其它条件不变，（上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立）中的结论是否仍然成立?若成立，给予证明；若不成立，说明理由若成立，给予证明；若不成立，说明理由8如图，如图，C为线段为线段BD上一点（不与点上一点（不与点B，D重合），在重合），在BD同侧分别作正三角形同侧分别作正三角形ABC和正三角形和正三角形CDE，AD与与BE交于一点交于一点F，AD与与CE交于点交于点H，BE与与AC交于点交于点G（1）求证：）求证：BE=AD；（2）求）求AFG的度数；的度数；（3）求证：）求证：CG=C
11、H1如图，矩形纸片如图，矩形纸片ABCD中，中，AB=4，AD=3，折叠，折叠纸片使纸片使AD边与对角线边与对角线BD重合，折痕为重合，折痕为DG，则，则AG的的长为长为_.2如图，在如图，在ABC中，中，C=90，B=30，AD是是 BAC的平分线，若的平分线，若CD=2，那么，那么BD等于（）等于（）A6 B4 C3 D23如图，在如图，在44正方形网格中，以格点为顶点的正方形网格中，以格点为顶点的ABC的面积等于的面积等于3，则点，则点A到边到边BC的距离为的距离为_.4如图，如图，ACB和和ECD都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接三点在同一直线上，
12、连接BD，AE，并延长，并延长AE交交BD于于F（1）求证：）求证：ACE BCD；（2）直线）直线AE与与BD互相垂直吗互相垂直吗?请证明你的结论请证明你的结论5如图，把矩形纸片如图，把矩形纸片ABCD沿沿EF折叠，使点折叠，使点B落在边落在边AD上的点上的点B处，点处，点A落在点落在点A处；处；（1）求证：）求证：BE=BF；（2）设）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想，试猜想a，b，c之间的一之间的一 种关系，并给予证明种关系，并给予证明6已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，A=30，ACB=90，M、D分别为分别为AB、MB的中点的中点求证：求证：CDAB7如图，如图，AC=
13、BC=10cm，B=15，ADBC于点于点D，则则AD的长为（）的长为（）A3cm B4cm C5cm D6cm8已知，如图，已知，如图，ABC为等边三角形，为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点相交于点P（1）求证：）求证：AEB CDA；（2）求）求BPQ的度数；的度数；（3）若）若BQAD于于Q，PQ=6，PE=2，求，求BE的长的长 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分
14、线上。三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。顶点的距离相等。知识点五：线段的垂直平分线知识点五：线段的垂直平分线例三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这例三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）点一定是三角形的（）A三条中线的交点三条中线的交点 B三边垂直平分线的交点三边垂直平分线的交点C三条高的交点三条高的交点 D三条角平分线的交点三条角平分线的交点例例如图，在如图，在ABC中，中，C=90，B=15，AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于于E，交，交BC于于D，BD=8，AC=_1如
15、图，在如图，在RtABC中，中，C=90,B=30.AB的垂的垂直平分线直平分线DE交交AB于点于点D，交，交BC于点于点E，则下列结论不正，则下列结论不正确的是（）确的是（）AAE=BE BAC=BE CCE=DE DCAE=B2如图，在如图，在ABC中，分别以点中，分别以点A和点和点B为圆心，大于为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，作直线MN，交交BC于点于点D，连接，连接AD若若ADC的周长为的周长为10，AB=7，则则ABC的周长为（）的周长为（）A7 B14 C17 D204如图，有如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现三
16、个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）区的距离相等，则超市应建在（）A在在AC，BC两边高线的交点处两边高线的交点处B在在AC，BC两边中线的交点处两边中线的交点处C在在AC，BC两边垂直平分线的交点处两边垂直平分线的交点处D在在A，B两内角平分线的交点处两内角平分线的交点处5如图，如图，AD为为BAC的角平分的角平分线线，线段，线段AD的垂直平分的垂直平分线交线交AB于于M，交，交AC于于N，试说明，试说明MDAC6如图所示，如图所示，ABC中，中，AB=AC，BAC=12
17、0，AC的垂直平分线的垂直平分线EF交交AC于点于点E，交，交BC于点于点F求证：求证：BF=2CF7如图所示，在如图所示，在RtABC中，中，ACB=90，AC=BC，D为为BC边上的中点，边上的中点，CEAD于点于点E，BFAC交交CE的延的延长线于点长线于点F，求证：，求证：AB垂直平分垂直平分DF1如图，在如图，在RtABC中，中，B=90，ED是是AC的垂直平的垂直平分线，交分线，交AC于点于点D，交，交BC于点于点E已知已知BAE=10，则，则C的度数为（）的度数为（）A30 B40 C50 D602如图，在如图，在ABC中，已知中，已知AC=29，AB的垂直平分的垂直平分线交线交
18、AB于点于点D，交，交AC于点于点EBCE的周长等于的周长等于50，则则BC的长为（）的长为（）A2l B22 C23 D243如图，在如图，在ABC中，中，DE垂直平分垂直平分AB，FG垂直平分垂直平分AC，BC=13cm，则，则AEG的周长为（）的周长为（）A6.5cmB13cm C26cmD15cm4已知：如图，已知：如图，ABC的的AABC，边，边BC的垂直平的垂直平分线分线DE分别交分别交AC，BC于于D，E，则，则AD+BD与与BC的关系的关系是（）是（）A大于大于 B小于小于 C等于等于 D不能确定不能确定5如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，D是是AB的中点，且的中点，且
19、DEAB，BCE的周长为的周长为8cm，且，且ACBC=2cm，求求AB、BC的长的长1如图，在如图，在ABC中，中，DE垂直平分垂直平分AB，分别交，分别交AB、BC于于D、E点点MN垂直平分垂直平分AC，分别交，分别交AC、BC于于M、N点点（1）若）若BAC=100，求，求EAN的度数；的度数；（2）若）若BAC=70，求，求EAN的度数；的度数；（3）若）若BAC=（90），），2如图，在如图，在ABC中，中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直边上的垂直平分线平分线DE交交BC、BA分别于点分别于点D、E，则，则AEC的周长等的周长等于（）于（）Aa+b Bab C2a+b Da+2b
20、4如图有一块直角三角形纸片，如图有一块直角三角形纸片，ACB=90，两直角，两直角边边AC=4，BC=8，线段，线段DE垂直平分斜边垂直平分斜边AB，则，则CD等于等于（）（）A2 B2.5 C3 D3.5 角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。离相等，则它在该角的平分线上。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。相等，交点即为三角形的内心。知识点六：角平分线知识点
21、六：角平分线1如图，如图，POA=POB，PDOA于点于点D，PEOB于于点点E，OP=13，OD=12，PD=5，则，则PE=（）（）A13 B12 C5 D12三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的（）三角形的（）A三条中线交点三条中线交点 B三条角平分线交点三条角平分线交点C三条高线交点三条高线交点 D三条高线所在直线的交点三条高线所在直线的交点3如图，如图，RtABC中，中，C=90，ABC的平分线的平分线BD交交AC于于D，若，若CD=3cm，则点，则点D到到AB的距离的距离DE是（）是（）A5cm B4cm C3cm D
22、2cm4如图，如图，OP平分平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分，垂足分别为别为A，B下列结论中不一定成立的是（）下列结论中不一定成立的是（）APA=PB BPO平分平分APBCOA=OB DAB垂直平分垂直平分OP5如图，如图，ABC=50，AD垂直平分线段垂直平分线段BC于点于点D，ABC的平分线交的平分线交AD于于E，连接，连接EC；则；则AEC等于等于（）（）A100 B105 C115 D1206如图，直线如图，直线a、b、c，表示三条相互交叉的公路，现拟，表示三条相互交叉的公路，现拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，
23、则可以供选择的地址有（）可以供选择的地址有（）A一处一处 B四处四处 C七处七处 D无数处无数处7如图，如图，AD为为ABC的角平分线，的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为垂足分别为E，F，连接，连接EF，EF交交AD于点于点G、试判断线段、试判断线段AD与与EF的位置关系，并证明你的结论的位置关系，并证明你的结论1如图，如图，OP平分平分MON，PAON于点于点A，点，点Q是射线是射线OM上的一个动点，若上的一个动点，若PA=2，则，则PQ的最小值为（）的最小值为（）A1 B2 C3 D43如图，利用尺规求作所有点如图，利用尺规求作所有点P，使点，使点P同时满足下列两同时满足下列两个条
24、件：点个条件：点P到到A，B两点的距离相等；点两点的距离相等；点P到直线到直线l1，l2的距离相等（要求保留作图痕迹，不必写出作法）的距离相等（要求保留作图痕迹，不必写出作法）4已知：如图所示，已知：如图所示，ABC中，中，C=90，AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF求求证：证：CF=EB5已知：如图，已知：如图，B=C=90，M是是BC的中点，的中点，DM平分平分ADC（1）若连接）若连接AM，则，则AM是否平分是否平分BAD?请你证明你请你证明你的结论；的结论；（2）线段）线段DM与与AM有怎样的位置关系有怎样的位置关系?请说明理由请说明理由1如
25、图，如图，AOB=30，OP平分平分AOB，PCOB，PDOB，如果，如果PC=6，那么，那么PD等于（）等于（）A4 B3 C2 D12如图，锐角三角形如图，锐角三角形ABC中，中，BCABAC，小靖依下，小靖依下列方法作图：列方法作图：（1）作）作A的角平分线交的角平分线交BC于于D点点（2）作）作AD的中垂线交的中垂线交AC于于E点点（3）连接）连接DE根据他画的图形，判断下列关系何者正确根据他画的图形，判断下列关系何者正确?（）（）A.DEAC BDEAB CCD=DEDCD=BD3如下图左，在矩形如下图左，在矩形ABCD中，点中，点P在在AB上，且上，且PC平分平分ACB若若PB=3
26、，AC=10，则，则PAC的面积为的面积为_4已知：如上图右，已知：如上图右，ABCD，O为为BAC、ACD的的平分线的交点，平分线的交点，OEAC于点于点E，若两平行线间的距离为，若两平行线间的距离为6，则则OE=_1已知：如图，在已知：如图，在MPN中，中，H是高是高MQ和和NR的的交点，且交点，且MQNQ求证：求证：HNPM.2、如右图，已知、如右图，已知ABC和和BDE都是等边三角形，都是等边三角形，求证：求证：AE=CD.3如图，已知：如图，已知：MON=30，点，点A1、A2、A3在射线在射线ON上，点上，点B1、B2、B3在射线在射线OM上，上，A1B1A2、A2B2A3、A3B
27、3A4均为等边三角形，若均为等边三角形，若OA1=1，则，则A6B6A7的边长为（）的边长为（）A6 B12C32 D644如图，如图，ACB和和ECD都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长，并延长AE交交BD于于F（1）求证：）求证：ACE BCD；（2）直线）直线AE与与BD互相垂直吗互相垂直吗?请证明你的结论请证明你的结论5如图，把矩形纸片如图，把矩形纸片ABCD沿沿EF折叠，使点折叠，使点B落在边落在边AD上的点上的点B处，点处，点A落在点落在点A处；处；（1）求证：）求证：BE=BF；（2）设）设AE=a，AB
28、=b，BF=c，试猜想，试猜想a，b，c之间的一之间的一 种关系，并给予证明种关系，并给予证明8已知，如图，已知，如图，ABC为等边三角形，为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点相交于点P（1）求证：）求证：AEB CDA；（2）求）求BPQ的度数；的度数；（3）若）若BQAD于于Q，PQ=6，PE=2，求，求BE的长的长6如图，如图，AD为为BAC的角平分的角平分线线，线段，线段AD的垂直平分的垂直平分线交线交AB于于M，交，交AC于于N，试说明，试说明MDAC7如图所示，在如图所示，在RtABC中，中，ACB=90，AC=BC，D为为BC边上的中点，边上的中点，CEAD于点于点E，BFAC交交CE的延的延长线于点长线于点F，求证：，求证：AB垂直平分垂直平分DF8如图，直线如图，直线a、b、c，表示三条相互交叉的公路，现拟，表示三条相互交叉的公路，现拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可以供选择的地址有（）可以供选择的地址有（）A一处一处 B四处四处 C七处七处 D无数处无数处谢谢！谢谢！
