1、5.1 不定积分的概念及性质 5.1.1不定积分的概念5.1.3不定积分的几何意义5.1.2基本积分公式5.1.4不定积分的实际意义5.1.5 不定积分的性质5.1.1不定积分的概念 如何寻求一个可导函数，使其导函数等于已知函数这是积分学的基本问题之一定义5.1 设)(xf在区间 I上有定义，如果存在一个可导函数(),F x使对任一,xI都有()()F xf x或()(),dF xf x dx那么称)(xF为)(xf在区间 I上的一个原函数原函数 例如，xsin是 xcos在,内的一个原函数 2ln1x是 21xx在,内的一个原函数 问题1关于原函数，下面讨论解决两个问题：函数满足什么条件，能
2、保证它的原函数存在?这问题将在下章中具体讨论，这里先介绍一个结论 定理5.1（原函数存在定理）若函数)(xf在区间 I上连续，则在区间 I上存在一个可导函数(),F x使得对任一,xI都有()().F xf x简而言之，连续函数一定有原函数于是，初等函数在其定义区间内都有原函数 问题2若函数)(xF是)(xf的一个原函数，则)(xf还有没有其他原函数?若有，他们和)(xF有什么关系?回答如下：首先，若函数有一个原函数，则它就有无限多个原函数 其次，两个原函数只差一个常数 因此，这一讨论揭示了全体原函数的结构，即当 C为任意常数时，函数族()()()F xC F xf x正是)(xf的全体原函数
3、所组成的集合 由此引入不定积分的概念 定义5.2 函数)(xf的全体原函数称为)(xf的不定积分不定积分，记为().f x dx由不定积分的定义及前面的讨论可知，()()()()f x dxF xC F xf x简写为 CxFdxxf)()(所以所以 因为因为例5.1 求求 解2.x dx32,3xx32.3xx dxC所以所以 因为因为例5.2 求求 解1.dxx1ln,xx1ln|.dxxCx5.1.2基本积分公式 从不定积分的定义，可知有以下重要结论：(1)()()f x dxf x或()().df x dxf x dx(2)CxFdxxF)()(或()().dF xF xC 结论表明不
4、定积分运算（简称积分运算）与导数（微分）运算是互逆运算，当相继作这两种运算时，或相互抵消后还原，或抵消后只差一常数 可以由基本初等函数的导数公式得到常用的基本积分公式，建议自己证明出来先把被积函数化为幂函数形式，再利用公式先把被积函数化为幂函数形式，再利用公式 例5.3 求求 解23.xxdxx1123223xxdxxdxx 136x dx136113611xC1966.19xC 先对被积函数稍作变形，化为指数函数形式，先对被积函数稍作变形，化为指数函数形式，再利用公式再利用公式 例5.4 求求 解6 e.xxdx6 e6exxxdxdx6eln 6exC6 e.1 ln6xxC5.1.3不定
5、积分的几何意义 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 ，其上任一点，其上任一点 处切线的斜率为处切线的斜率为 例5.5 设曲线过点设曲线过点 ，且其上任一点处切线的，且其上任一点处切线的斜率是该点横坐标的两倍，求此曲线的方程斜率是该点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解(2,3)()yf x),(yx 2fxx从而从而 22.f xxdxxC由由 ，得，得 ，(2)3f因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为 1C 21.yx5.1.4不定积分的实际意义 根据边际成本的含义，有根据边际成本的含义，有 ，所以，所以 例5.6 某工厂生产一种产品，已知其边际成本某工厂生产一种产品，已知其边际成本解由由 ，代入
6、得，代入得 所以成本函数所以成本函数 13160MCq其中其中 （件）为该产品的产量，若当产量（件）为该产品的产量，若当产量 时，时，成本成本 元，求成本函数元，求成本函数 q512q 51217240C C q 13160C qq 1121333131160160240.1C qqdqqCqC 51217240C23172402405121880.C 232401880.C qq5.1.5 不定积分的性质 性质5.1 性质5.2 若)(xf及()g x有原函数，则 ()()()()f xg x dxf x dxg x dx若)(xf有原函数，则 dxxfkdxxkf)()(0k 证 只示范性
7、质5.1的证明，因为()()()()()(),f x dxg x dxf x dxg x dxf xg x所以根据不定积分的定义可知性质5.1成立 将被积函数变形为代数和的形式，再分项积分将被积函数变形为代数和的形式，再分项积分 例5.7 求求 解21.xdxx x12342121xxxdxdxxx x3114442xxxdx531444484.53xxxC 被积函数是多项式之商，先利用多项式除法，进被积函数是多项式之商，先利用多项式除法，进行分拆，得行分拆，得 例5.8 求求 解42.1xdxx2244222221111 111.1111xxxxxxxxx 再分项积分再分项积分 432221
8、1arctan.113xxdxx dxdxdxxxCxx 利用三角恒等式利用三角恒等式 把被积函数把被积函数变形后，再分项积分变形后，再分项积分 例5.9 求求 解2cot.xdx221cotcscxx22cot(csc1)xdxxdx2csc xdxdxcot.xxC 利用三角函数的半角公式把余弦平方的次数降低 例5.10 求求 解2cos.2xdx11cos22dxxdx21 coscos22xxdxdx1(sin).2xxC被积函数变形被积函数变形 例5.11 求求 解22.sincosdxxx22222222221sincos11seccsc,sincossincoscossinxxxxxxxxxx故故 2222seccsctancot.sincosdxxx dxxxCxx
