1、1可转化为线性的多元非线性回归模型可转化为线性的多元非线性回归模型?前面我们讨论的经济问题，都是假定作为因变量的经济变量与作为解释变量的经济变量之间存在着线性关系。由此建立线性回归模型进行线性回归分析。这里所说的线性是指：（1）变量的线性，变量以其原型出现在模型之中，而不是以X2或X之类的函数形式出现在模型中；（2）参数的线性，因变量Y是各参数的线性函数。但是，在众多的经济现象中，分析经济变量之间的关系，根据某种经济理论和对实际经济问题的分析，所建立的经济模型往往不符合上面的线性要求，即模型是非线性的，称为非线性模型（Non-linear Model）。2说说 明明?在实际经济活动中，经济变量
2、的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。?如著名的如著名的恩格尔曲线恩格尔曲线（Engle curves）表现为幂函数曲幂函数曲线形式，类似地还有生产函数等。?但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归模型的理论方法。这一部分我们要关注的是（这一部分我们要关注的是（1 1）如何将非线性模型转变为线性模型；（2）转变后，偏回归系数的含义。31、非线性回归模型与变量的直接置换法、非线性回归模型与变量的直接置换法当变量是非线性的，参数之间是线性时，可以利用变量直接代换的方法将模型线性化。因此，关于解释变量的非线性问题 都可以通过变量置
3、换变成线性问题。一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换对于以下形式的非线性方程，我们可以直接进行变量代换转换为线性方程：4XX1*?011YuX?01YXu?01logYXu?01logYXu?01loglogYXu?令令令令XX?*XXlog*?YYlog*?XXlog*?YYlog*?令令令令令令5?模型特点：随着X无限增大，项趋于0，Y趋于极限值。?分三种类型：分三种类型：iiiXY?110iX11?10?00?00XY?0?10XY?012?平均固定成本与产出水平菲利普斯曲线恩格尔曲线倒数模型的线性化：令，原方程变为：Y=?0+?1Zi+?iiXz1?在以上的这几类模型形式中：在以上
4、的这几类模型形式中：（1）倒数模型）倒数模型6（2）双曲函数模型）双曲函数模型双曲函数模型的一般形式为：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型611iiiuYX?*11,iiiiYXYX?*iiiYXu?7（2）多项式回归模型多项式回归模型通常用于描述生产成本函数，其一般形式为：其中，Y表示总成本，X表示产出，P为多项式的阶数，一般不超过四阶。多项式回归模型中，解释变量X以不同幂次出现在方程的右端。这类模型也仅存在变量非线性，因而很容易线性化，可用OLS法估计模型。iPiPiiiuXXXY?.22108（3）半对数模型半对数模型指的是应变量和解释变量中一个为对数形式而另一个为线性的模型。被解释
5、变量为对数形式的称为对数-线性模型（log-lin model）。解释变量为对数形式的称为 线性-对数模型（lin-logmodel）。9?我们先介绍对数我们先介绍对数-线性模型，其形式如下：线性模型，其形式如下：?对数对数-线性模型中，斜率的含义是线性模型中，斜率的含义是 Y的百分比的百分比变动，即变动，即 解释变量 X变动一个单位引起的应变量Y的百分比变动。?这是因为，利用微分可以得出：这是因为，利用微分可以得出：tttuXY?10ln?)1(1ln1?dXYdYdXdYYdXYd?10这表明，系数度量的是解释变量X的单位变动所引起的应变量Y的相对变动。对数-线性方程又称增长模型，通常我们
6、用这类估计许多变量的增长率。如果x取“时间”t，即按时间顺序依次取值为1，2，T，变量t的系数?1度量了ln(Y)随时间向前推进产生的变化。如果?1为正，则有随时间向上增长的趋势；如果?1为负，则有随时间向下的趋势，因此t可称为趋势变量。例如，我们可以通过估计下面的半对数模型得到一国GDP的年增长率的估计值，这里t为时间趋势变量。ttutGDP?10)ln(?11例：?求1956-1970年美国个人可支配收入的增长率。X2:个人可支配收入，X3:时间变量?模型：lnX2i=?1+?2ti+?i?求解过程?结果：0000.0)(0000.00000.0:0142.70657093.260298.
7、390:9819.0001591.0014468.0:t04228.06429.5?log22?FppFtRseXii，说明1956-1970年间，美国个人可支配收入每年增长4.23%。比较线性趋势模型比较线性趋势模型：X2i=b2+b23ti+?iiitX12857.177314.265?2?b23=17.13，说明个人可支配收入每年平均增长17个单位。04228.0?2?12另外，线性另外，线性-对数模型的形式如下：对数模型的形式如下：与前面类似，我们可用微分得到与前面类似，我们可用微分得到因此这表明tttuXY?l n10?XdXdY11?XdXdYdXdYX?1?XXYXY?的相对变动
8、的绝对变动1?XXY1?上式表明，上式表明，Y的绝对变动量等于的绝对变动量等于乘以乘以X的相对变动量。的相对变动量。因此，线性因此，线性-对数模型通常用于对数模型通常用于 研究解释变量的相对变动引起的因变量的绝对变动量是多少这类问题。1?13（4）双对数模型）双对数模型双对数模型的应用非常广泛，其原因在于，由于回归线是一条直线（Y和X都是对数形式），所以它的斜率为一常数。由于这个特殊的性质，双对数模型又称为 不变弹性模型。*1*（ln)/(ln)/d ydyy yEd xdxx x?14例：美国咖啡需求：例：美国咖啡需求：1970-1980?美国咖啡消费（Y）与平均真实零售价格（X）数据，（X
9、=名义价格/食品与饮料的消费者价格指数，1967年=100），求咖啡消费函数。?散点图：确定函数形式：Y-X;lnY-lnX?建立模型：lnY=?+?lnX+?i?参数估计：152.26F,74.0R(.049)(.015):sece0.253lnpri-0.777d?lndeman2?咖啡需求的价格咖啡需求的价格弹性为弹性为-0.25316直接置换法一般步骤?1、根据有关理论或变量之间的散点图判断回归模型形式。?2、根据模型本身特点对模型或数据进行变量变换，使变换后的模型或数据具有线性回归模型形式。?3、对变换后的线性模型进行拟合，并进行回归检验。?4、对检验符合要求的模型用原变量写出回归模
10、型，并用于预测或控制，对检验不符合要求的模型重新拟合，直到符合要求为止。172、非线性回归模型与变量的间接置换?在某些经济问题中，经济变量之间的非线性关系，不能通过直接变量代换转化为线性形式，需要 先通过函数形式的变形后 再进行变量代换，转化为线性形式，这种置换方法称为间接置换法。?进行变量间接代换应用最广泛的模型就是指数模型与幂函数模型。18（1）指数函数模型）指数函数模型指数函数模型的一般形式为对上式两边取对数得到令令则可将原模型化为标准的线性回归模型；则可将原模型化为标准的线性回归模型；iibXuiYAe?lnlniiiYA bXu?*ln,lniiYYA?*iiiYbXu?00，ba0
11、0，ba19（2）幂函数模型）幂函数模型幂函数模型的一般形式为：幂函数模型的一般形式为：对上式两边取对数得到：对上式两边取对数得到：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型：则可将原模型化为标准的线性回归模型：1212kiuiiikiYAX XX e?L1122lnlnlnlnlniiikkiiYAXXXu?L*01122ln,ln,ln,ln,lniiiiikikiYYA XXXXXX?L*01122iiikkiiYXXXu?L20?幂函数模型常用于人口增长、产值或利润幂函数模型常用于人口增长、产值或利润增长、劳动生产率以及就业等问题。这类增长、劳动生产率以及就业等问题。这类模型的一般形式为：
12、模型的一般形式为：ubeaXY?10ba100ba0，0ba21以柯布道格拉斯（CobbDouglas）生产函数模型为例下表列出了1955-1974年间墨西哥的产出Y（用国内生产总值GDP度量，以1960年不变价格计算，单位为百万比索）、劳动投入X2（用总就业人数度量，单位为千人）以及资本投入X3（用固定资本度量，以1960年不变价格计算，单位业百万比索）的数据，试用回归分析法解释在墨西哥国内生产总值产出中，各要素的贡献及其产出特点。例题：?eLAKQ?22表墨西哥的实际GDP、就业人数和实际固定资本年份 GDP 就业人数 固定资产 1955 1956 1957 1958 1959 1960
13、1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 114043 120410 129187 134705 139960 150511 157897 165286 178491 199457 212323 226977 241194 260881 277498 296530 306712 329030 354057 374977 8310 8529 8738 8952 9171 9569 9527 9662 10334 10981 11746 11521 11540 12066 12297 12955 13
14、338 13738 15924 14154 182113 193749 205192 215130 225021 237026 248897 260661 275466 295378 315715 337642 363599 391847 422382 455049 484677 520533 561531 609825 23解：根据所提供的数据，运用Eviews4.1回归,输出结果如下：pendent Variable:LNY Method:Least Squares Date:03/25/03 Time:21:43 Sample:1955 1974 Included observation
15、s:20 Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.C-1.652379 0.606175-2.725910 0.0144 LNX2 0.339694 0.185687 1.829383 0.0849 LNX3 0.846023 0.093350 9.062911 0.0000 R-squared 0.995081 Mean dependent var 12.22605 Adjusted R-squared 0.994502 S.D.dependent var 0.381497 S.E.of regression 0.028288 Akai
16、ke info criterion-4.155298 Sum squared resid 0.013603 Schwarz criterion-4.005938 Log likelihood 44.55298 F-statistic 1719.365 24回归方程为：t=(-2.73)(1.83)(9.06)p=(0.0144*)(0.085)(0.000*)R2=0.995,F=1719.365对回归方程解释如下：斜率系数0.3397表示产出对劳动报酬的弹性，即表明在资本投入保持不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，平均产出将增加0.3397个百分点。同样地，在劳动投入保持不变的条件下，资
17、本投入每增加一个百分点，产出将平均增加0.8640个百分点。两个弹性系数相对为规模报酬参数，其数值等于1.1857，表明墨西哥经济的特征是规模报酬递增的（如果数值等于1，属于规模报酬不变；小于1，则属于规模报酬递减）。LKYln8460.0ln3397.06524.1?ln?25虽然资本对产出的影响看似大于劳动力对产出的影响虽然资本对产出的影响看似大于劳动力对产出的影响，但根据单边检验的结果，这两个系数各自均是统计显著，但根据单边检验的结果，这两个系数各自均是统计显著的（这是用单边检验，因为我们预期劳动力和资本对产出影响都是正向的）估计的影响都是正向的）估计的F值也是高度相关的（因为值也是高度
18、相关的（因为p值值几乎为零），因此能够拒绝零假设：劳动力与资本对产出几乎为零），因此能够拒绝零假设：劳动力与资本对产出无影响。R2值为值为0.995，表明劳动力和资本（对数）解释了大，表明劳动力和资本（对数）解释了大约约99.5%的产出（对数）的变动，说明了模型很好地拟合的产出（对数）的变动，说明了模型很好地拟合了样本数据。263、复杂函数模型与级数展开法例如，著名的CES生产函数将产出量Q与投入要素（）之间的关系描述为如下的复杂函数形式：方程两边取对数后，得到：K L,?eLKAQ1)(21?121?)(211LKLnLnALnQ27?将式中将式中在在处展开泰勒级数，取关于的线性项，即处展开泰勒级数，取关于的线性项，即得到一个线性近似式。得到一个线性近似式。如取如取0阶、1阶、2阶项，可得阶项，可得LnKL()?12?022121ln21lnlnlnln?LKmLmKmAY?28
