1、第六讲第六讲 圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题 圆锥曲线中的最值问题是高考的热点，必考点，也是难点之一。不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中的第2小题，将其设计为大型试题考查的核心，有时恰恰起到决定性的作用。圆锥曲线中的最值问题可以说是对所有高中数学内容的一个综合，它汇集了圆锥曲线性质、平面几何性质、数形结合、函数与方程、不等式、基本不等式求最值、二次函数根与系数的关系、函数导数、三角换元等数学基础知识；还必须要有各种整理、变形、换元等技巧的运用。要在有限的时间里解决它，所以大部分学生望而生畏、望而心叹，借学生的话，“心有余而力不足”。有时真的显得有点无奈。第二步：解决这类问题的基
2、本方法是对目标函数进行变形，运用几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、判别式法、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、先换元再均值不等式，函数导数等方法解决；第一步：解决这类问题的基本思想是建立目标函数，关键在于选取一个合适的变量，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标，向量数乘的系数等等；尽管如些，但我们既然选择理科，本身就是对自然科学知识的一种自我挑战。静下心来，类比这些年来高考题型，还能发现这类问题的有以下两点是明确的，那就是：【热身演练】ABMyxO1322yx1.定长为定长为12的线段的线段AB的端点在双曲线的端点在双曲线 的右支上，的右支上，则则AB中点中点
3、M的横坐标的最小值为的横坐标的最小值为_.2.已知点已知点 ，F是椭圆是椭圆 的左焦点，一动点的左焦点，一动点M在椭圆上移动，则在椭圆上移动，则|AM|+2|MF|的最小值为的最小值为_.3.若动点若动点P在直线在直线2x+y+10=0上运动，直线上运动，直线PA、PB与圆与圆x2+y2=4分别切于点分别切于点A、B，则四边形，则四边形PAOB面积的最小值为面积的最小值为_.1121622yx32，A27108【典例分析】类型一类型一:两条线段和或差的最值问题两条线段和或差的最值问题xOyPFA【典例分析】xyFAM变式训练变式训练1 xyFAM【典例分析】【典例分析】yPxO求两条线段和或差
4、的最值问题一般求两条线段和或差的最值问题一般“化曲为直化曲为直”，“化折为直化折为直”，转化为三点共线问题，即利用三角形两边之和大于第三边，两边之差转化为三点共线问题，即利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边而解之。小于第三边而解之。方法感悟：方法感悟：在圆锥曲线中涉及到一条焦半径长度的相关问题，往往利用在圆锥曲线中涉及到一条焦半径长度的相关问题，往往利用曲线的第一定义或第二定义进行转化。曲线的第一定义或第二定义进行转化。如：直线上动点到直线外两点距离之和、之差的最值问题 类型二：圆锥曲线上动点到定直线的距离的最值类型二：圆锥曲线上动点到定直线的距离的最值【典例分析】xyP切线法切线
5、法类型二：圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值类型二：圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值【典例分析】xyP2|32)sin(3|26326d三角换元法三角换元法【典例分析】方法感悟：方法感悟：（切线法）（切线法）【典例分析】变式训练变式训练2.解法二：切线法【典例分析】类型三：圆锥曲线上点到类型三：圆锥曲线上点到x轴（轴（Y轴）上某定点的距离的最值轴）上某定点的距离的最值【典例分析】变式训练变式训练3.【典例分析】【典例分析】类型四：通过引入参数，运用函数和方程思想或基本不等式求取值范围类型四：通过引入参数，运用函数和方程思想或基本不等式求取值范围 4mm22S2.【典例分析】)23(2k222
6、2AOB2k132k222k12416kdAB21St4-t22S【典例分析】)23(2k2222AOB2k132k222k12416kdAB21S【典例分析】)23(2k例例2、已知椭圆、已知椭圆 的左焦点为的左焦点为F，O为坐标原点，过点为坐标原点，过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段两点，线段AB的垂直平分线与的垂直平分线与x轴交于点轴交于点G，求，求G横坐标的取值范围横坐标的取值范围.2212xy2200222222212111.2124210,0,2GGkkxxkykkkkkkx 【典例分析】xyOABP【典例分析】22222)14(mk
7、m【典例分析】xyPNAB【典例分析】xyPNAB【典例分析】【典例分析】方法感悟：方法感悟：目标函数法目标函数法1、直接运用图形性质转化求解、直接运用图形性质转化求解;2、建立目标函数转化成求值域问题、建立目标函数转化成求值域问题;3、建立关于目标的不等式转化成解不等式问题、建立关于目标的不等式转化成解不等式问题.222122121212(2012001.)mml xmyxCyFFCmlCA BAF FBF FGHOGHm已知,直线:,椭圆：,、分别为椭圆 的左、右焦点设例：浙江卷直线与椭圆交于,两点,、的重心分别为、若原点在以线段为直径的圆内，求实数 的取值范围1122222222()()
8、2210.41A xyB xymxmymxymyxym 设，由,消去,得突破方向三、根据已知条件或隐含条件建立关于目标的不等式。突破方向三、根据已知条件或隐含条件建立关于目标的不等式。22222121211221212221212121222228(1)80418282(),()0.3333()()22111()04.82821012.1,2mmmmmmyyy yxyxyGHx xy ymmx xy ymymyy ymmmmmmm 则由，知,且有,，由所题意可知而，所以，即又因为且以 的取值范围是，所以知识整理：知识整理：与圆锥曲线有关的最值或范围问题常用的两种方法：与圆锥曲线有关的最值或范围
9、问题常用的两种方法：1、代数法：、代数法：(1)不等式不等式(组组)求解法：求解法：依据题意，结合图形，列出依据题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式所讨论的参数适合的不等式(组组)，通过解不等式，通过解不等式(组组)得得出参数的变化范围；出参数的变化范围；(2)函数值域求解法：函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围通过讨论函数的值域来求参数的变化范围 2、几何法：、几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何若题目中的条件和结论能明显体现几何特征的意义，则考虑利用图形性质来解决；特征的意义，则考虑利用图形性质来解决；备
10、用题备用题xyoF2 2F1116922yx右支上一点右支上一点P1)5(4)5x(2222yxyPMN?PNPM 的最大值的最大值M,N?minmaxPNPM?)1()2(21PFPF?3)(21PFPF?3a2?94.椭圆椭圆 且满足且满足 ，若离心率为，若离心率为e，则则 的最小值为的最小值为()(A)2 (B)(C)(D)012222babyaxba3221ee 613313235.设点设点P是椭圆是椭圆 上的动点，上的动点，F1、F2是椭圆的两个是椭圆的两个焦点，则焦点，则sinF1PF2的最大值为的最大值为_12222byax783B【解题回顾】本题若选择【解题回顾】本题若选择PQ
11、为底表示为底表示POQ的面积则运算的面积则运算量较大量较大1.过椭圆过椭圆2x2+y2=2的一个焦点作直线交椭圆于的一个焦点作直线交椭圆于P，Q两点，两点，求求POQ面积面积S的最大值的最大值.【解题回顾】本题是通过建立二次函数求最值，基本手法【解题回顾】本题是通过建立二次函数求最值，基本手法是配方，要注意顶点横坐标是否在此区间内的讨论是配方，要注意顶点横坐标是否在此区间内的讨论.2.已知定点已知定点A(a,0)，其中，其中0a3，它到椭圆，它到椭圆 上上的点的距离的最小值为的点的距离的最小值为1，求，求a的值的值.14922yx【解题回顾】通常函数表达式中若有两个变量，应寻找两【解题回顾】通
12、常函数表达式中若有两个变量，应寻找两变量之间关系，通过代换变为一个变量，由此变量的范围变量之间关系，通过代换变为一个变量，由此变量的范围求得函数的最值求得函数的最值.3.已知抛物线已知抛物线x2=4y和圆和圆x2+y2=32相交于相交于A、B两点，圆与两点，圆与y轴正方向交于点轴正方向交于点C，l是过是过ACB弧上的点且与圆相切的直线，弧上的点且与圆相切的直线，l与抛物线相交于与抛物线相交于M、N两点，两点，d是是M、N两点到抛物线焦点两点到抛物线焦点的距离之和的距离之和.求求(1)A、B、C三点的坐标；三点的坐标；(2)当当d 取最大值时取最大值时l 的方程的方程【解题回顾】要善于将所求问题
13、【解题回顾】要善于将所求问题进行转化比如本题是把进行转化比如本题是把CD长的长的最大值转化为求纵截距最大值转化为求纵截距b的取值范的取值范围问题，结合图形分析则更直观围问题，结合图形分析则更直观.4.已知直线已知直线y=kx+1与双曲线与双曲线x2-y2=1的左支交于的左支交于A、B两点，两点，直线直线l 经过点经过点(-2，0)及及AB中点，中点，CD是是y轴上的一条线段，轴上的一条线段，对任意的直线对任意的直线l 都与线段都与线段CD无公共点，求无公共点，求CD长的最大值长的最大值.5.在直角坐标平面上给定一曲线在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x(1)设点设点A的坐标为的坐标为(2/3，
14、0)，求曲线上距点，求曲线上距点A最近的点最近的点P之之坐标及相应的距离坐标及相应的距离|PA|；(2)设点设点A的坐标为的坐标为(a,0),aR，求曲线上的点到点，求曲线上的点到点A距离之距离之最小值最小值d，并写出，并写出d=f(a)的函数表达式的函数表达式.【解题回顾】一般而言，对抛物线【解题回顾】一般而言，对抛物线y2=2px，则有，则有 paapap-apafd22(1)误以为抛物线上距误以为抛物线上距A最近的点一定为抛物线的顶点是导最近的点一定为抛物线的顶点是导致第二小题出错原因之一致第二小题出错原因之一(2)建立目标函数后，建立目标函数后，d2是关于是关于x的二次函数，要进行分类
15、讨的二次函数，要进行分类讨论求得论求得d2的最小值，否则会出现的最小值，否则会出现 的错误结果的错误结果.12min-ad。时，有最小值当且仅当轴上方，所以不妨设点在轴交点为与故所以得又得：代入方程解：设直线33432894121)(221),0,41(,0)0,2(,2,2,2,2,0,111121121212122yyyyyySSFyxxmyyyyxxOBOAmtyyxymtyxABAFOABO 122212221221212122121(0)|.tan()21231456F PFxyFFabPabBOOPbaPFacacPFPFbaFPFFBFSbFPF 椭圆中的最值，为椭圆的左、右焦点
16、，为椭圆上的任意一点，为短轴的一个端点，为坐标原点，则有：，焦点弦以通径为最短 1222122212121(00)|.|.()ta3n2212F PFxyFFababPOOPaPFcabSFPF 双曲线中的最值，为双曲线，的左、右焦点，为双曲线上的任一点，为坐标原点，则有：22(0)|.234|2.()3|1212Pypx pFpPFABABpA mnPAPFbaab抛物线中的最值点为抛物线上的任一点，为焦点，则有：焦点弦以通径为最值，即，为一定点，则有最小值双曲线的渐近线求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得用法：可得或的值；利用渐近线方程设所求双曲线的方程 222212122212
17、121(0)(,0)(,0)|2.10|0.122xyababFcF cQFQaPF QTF QPT TFTFTCTCMFMFSbFMF 已知椭圆的左、右焦点分别是、是椭圆外的动点，满足点 是线段与该椭圆的交点，点 在线段上，并且满足，求点 的轨迹 的方程；试问：在点 的轨迹 上，是否存在点，使的面【变式训练积？若存在，求】的正切值；若不存在，说明理由 222111222121()0|0|2|2|1|1|2T xyPT TFTFPTTFFQPFPQaPFPFaPQPFTQFOTOTFF QOTQF 设，因为，所以，又，而由椭圆定义，所以，则 为线段的中点，连结，为的中位线，则222.Txyaa
18、点 的轨迹方程为，即 0022220002002222100200()|.122|(2)()MM xyxyabycScybyabaMSbcbaMcbaMFcxyMFcxyc 假设存在点满足题意，设，则，得而，当时，存在点，使；当时，不存在点当时，222222120021212212121212|cos1|sin.2tan.22MF MFxcyacbMFMFFMFbSMFMFFMFbFMFMFFM ，即存在点，又所满足题意，且的正切值为以即 1解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围；函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围2解答存在型探索性问题的方法一般也有两种：先假设某数学对象存在，然后据此推理或计算，直至得到存在的依据或导出矛盾，从而肯定或否定假设；在假设某数学对象存在的前提下，由特例探索可能的对象，作出猜想，然后加以论证
