1、-1-6.1 平面向量及其线性运算平面向量及其线性运算6.1.1向量的概念向量的概念人教版高中数学B版必修二课前篇自主预习一二一、向量的概念及表示1.填空.课前篇自主预习一二2.有向线段与向量有什么区别和联系?提示:课前篇自主预习一二二、与向量有关的概念1.填空.课前篇自主预习一二2.做一做:设O是正方形ABCD的中心,则向量 是()A.相等的向量B.平行的向量C.有相同起点的向量D.模相等的向量答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量的有关概念向量的有关概念例例1给出下列命题:两个向量,当且仅当它们的起点相同、终点也相同时才相等;若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则
2、其终点在同一个圆上;若a=b,b=c,则a=c.其中所有正确命题的序号为.答案:解析:两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故不正确.单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故正确.显然正确.故所有正确命题的序号为.课堂篇探究学习(2)用字母表示法表示向量,便于向量的运算.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线其中所有正确命题的序号为.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线向量a与b不共线,则a与b都是非零向量任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的两个顶点向量a与b不共线,则a与b都是非零向量解析:可以写出
3、12个向量,分别是分析:所求向量有以下两个特征:(1)表示此向量的有向线段所在直线与AC平行或重合;(2)长度是边长为2的正方形的对角线.解析:两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故不正确.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线方向相反的两个非零向量不一定共线例2(1)如图1,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出个向量.两种向量表示方法的作用人教版高中数学B版必修二例2(1)如图1,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出个向量.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟反思感悟1.判断一个量是否为向量应从两个方面
4、入手:(1)是否有大小;(2)是否有方向.2.零向量和单位向量(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)单位向量不一定相等,易忽略单位向量的方向.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练变式训练1有下列说法:若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同;若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:A解析:对于,由共线向量的定义,知两向量不平行,方向一定不相同,故正确;对于,因为向量不能比较大小,故错误;对于,由|a|=|b|,只能说明a,b的长度相等,确定
5、不了它们的方向,故错误;对于,因为零向量与任一向量平行,故错误.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量的表示及应用向量的表示及应用例例2(1)如图1,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出个向量.(2)在如图2所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(1)答案:12解析:可以写出12个向量,分别是课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟反思感悟1.向量的两种表示方法(1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最
6、后根据向量的长度确定向量的终点.(2)字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点的字母表示向量,2.两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量,便于用几何方法研究向量运算,为用向量处理几何问题打下基础.(2)用字母表示法表示向量,便于向量的运算.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练变式训练2某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向,向东北方向走了10 米到达C点,到达C点后又改变方向,向西走了10米到达D点.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维
7、辨析当堂检测相等向量与共线向量相等向量与共线向量例例3如图所示,四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取两个交点作为向量的起点和终点,则与 平行且长度为2 的向量有哪些?(在图中标出相关字母,写出这些向量)分析:所求向量有以下两个特征:(1)表示此向量的有向线段所在直线与AC平行或重合;(2)长度是边长为2的正方形的对角线.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习有向线段与向量有什么区别和联系?下列说法正确的是()若a=b,b=c,则a=c.例2(1)如图1,B,C是线段AD的三等分点,分别
8、以图中各点为起点和终点,可以写出个向量.(2)单位向量不一定相等,易忽略单位向量的方向.其中正确说法的个数是()若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;向量a与b不共线,则a与b都是非零向量向量a与b不共线,则a与b都是非零向量向量a与b不共线,则a与b都是非零向量(2)用字母表示法表示向量,便于向量的运算.下列命题正确的是()两种向量表示方法的作用(2)用字母表示法表示向量,便于向量的运算.若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;1 平面向量及其线性运算6.例2(1)如图1,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出个向量.分析:所求向量有以
9、下两个特征:(1)表示此向量的有向线段所在直线与AC平行或重合;(2)长度是边长为2的正方形的对角线.单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故正确.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量在平面图形中的应用数学思想课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛方法点睛利用向量可以证明线段相等,判断图形的形状,证明多点共线以及解决生活中的一些实际问题.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.下列说法错误的是()A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线C.零向量的长度为0D.方向相反的两个非零向量必不相等答
10、案:B2.下列说法正确的是()A.若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.下列命题正确的是()A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的两个顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进100 米,则此人位移的方向是()A.南偏东60 B.南偏东45C.南偏东30 D.南偏东15答案:C课堂篇探究学习向量a与b不共线,则a与b都是非
11、零向量a与b共线,b与c共线,则a与c也共线1 平面向量及其线性运算6.(1)用几何表示法表示向量,便于用几何方法研究向量运算,为用向量处理几何问题打下基础.有相同起点的两个非零向量不平行(2)用字母表示法表示向量,便于向量的运算.1 平面向量及其线性运算6.其中所有正确命题的序号为.解析:两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故不正确.例3如图所示,四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取两个交点作为向量的起点和终点,则与 平行且长度为2 的向量有哪些?(在图中标出相关字母,写出这些向量)(1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向
12、量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点.两个向量,当且仅当它们的起点相同、终点也相同时才相等;(2)在如图2所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:1 平面向量及其线性运算6.单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故正确.解析:两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故不正确.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线分析:所求向量有以下两个特征:(1)表示此向量的有向线段所在直线与AC平行或重合;(2)长度是边长为2的正方形的对角线.(2)用字母表示法表示向量,便于向量的运算.两种向量表示方法
13、的作用任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的两个顶点其中正确说法的个数是()探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习判断一个量是否为向量应从两个方面入手:解析:两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故不正确.若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反解析:对于,由共线向量的定义,知两向量不平行,方向一定不相同,故正确;对于,因为向量不能比较大小,故错误;对于,由|a|=|b|,只能说明a,b的长度相等,确定不了它们的方向,故错误;对于,因为零向量与任一向量平行,故错误.若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上;a与b共
14、线,b与c共线,则a与c也共线有向线段与向量有什么区别和联系?单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故正确.有相同起点的向量D.下列说法正确的是()若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上;单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故正确.两种向量表示方法的作用向量a与b不共线,则a与b都是非零向量故所有正确命题的序号为.某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进100 米,则此人位移的方向是()若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上;(1)用几何表
15、示法表示向量,便于用几何方法研究向量运算,为用向量处理几何问题打下基础.(2)单位向量不一定相等,易忽略单位向量的方向.(2)用字母表示法表示向量,便于向量的运算.解析:两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故不正确.某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进100 米,则此人位移的方向是()两种向量表示方法的作用下列说法错误的是()两个向量,当且仅当它们的起点相同、终点也相同时才相等;任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的两个顶点a与b共线,b与c共线,则a与c也共线例2(1)如图1,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出个
16、向量.1 平面向量及其线性运算6.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进100 米,则此人位移的方向是()下列命题正确的是()(1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点.例2(1)如图1,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出个向量.故所有正确命题的序号为.两种向量表示方法的作用a与b共线,b与c共线,则a与c也共线两个向量,当且仅当它们的起点相同、终点也相同时才相等;若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上;向量a与b不共线,则a与b都是非零向量探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
