1、 公理化方法在近代数学的发展中起着基本公理化方法在近代数学的发展中起着基本的作用，它的思想对各门现代数学理论的系统的作用，它的思想对各门现代数学理论的系统形成有着深刻的影响，而数学结构方法则是全形成有着深刻的影响，而数学结构方法则是全面整理和分析数学的一种十分合理的方法，其面整理和分析数学的一种十分合理的方法，其观点曾导致一场几乎席卷世界的数学教学改革观点曾导致一场几乎席卷世界的数学教学改革运动，即运动，即“新数学新数学”运动。运动。两种方法均是用来构建数学理论体系的，两种方法均是用来构建数学理论体系的，一个是局部，一个是整体。一个是局部，一个是整体。本章将概括介绍这两种思想方法，从中领本章将
2、概括介绍这两种思想方法，从中领略数学理论构建的一般思想方法。略数学理论构建的一般思想方法。公理化方法的基本思想公理化方法的基本思想 数学是撇开现实世界的具体内容来研究数学是撇开现实世界的具体内容来研究其量性特征形式与关系的。其结果只有经过证其量性特征形式与关系的。其结果只有经过证明才可信，而数学证明采用的是逻辑推理方法，明才可信，而数学证明采用的是逻辑推理方法，根据逻辑推理的规则，每步推理都要有个大前根据逻辑推理的规则，每步推理都要有个大前提，我们不难想象到，最初的那个大前提是不提，我们不难想象到，最初的那个大前提是不可能再由另外的大前提导出的，既是说，我们可能再由另外的大前提导出的，既是说，
3、我们的逆推过程总有个的逆推过程总有个“尽头尽头”，同样，概念需要，同样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样的情况最原始的概念无法定义。的情况最原始的概念无法定义。因此，我们要想建立一门科学的严格的因此，我们要想建立一门科学的严格的理论体系，只能采取如下方法：让该门学科的理论体系，只能采取如下方法：让该门学科的某些概念以及与之有关的某些关系作为不加定某些概念以及与之有关的某些关系作为不加定义的原始概念与公设或公理，而以后的全部概义的原始概念与公设或公理，而以后的全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经念及其性质要求均由原始概念与公设或公
4、理经过精确定义与逻辑推理的方法演绎出来，这种过精确定义与逻辑推理的方法演绎出来，这种从尽可能少的一组原始概念和公设或公理出发，从尽可能少的一组原始概念和公设或公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法叫做运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法叫做公理化方法。公理化方法。公理化方法的历史考察公理化方法的历史考察 众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展，特别是哲学家哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展，特别是哲学家和逻辑学家亚里斯多德，总结了前人所发现和创立的逻辑和逻辑学家亚里斯多德，总结了前人所发现和
5、创立的逻辑知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方法创造了条件。法创造了条件。亚里斯多德的思想方法深深地影响了公元前亚里斯多德的思想方法深深地影响了公元前3 3世纪世纪的希腊数学家欧几里德，后者把形式逻辑的公理演绎方的希腊数学家欧几里德，后者把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上重要著作法应用于几何学，从而完成了数学史上
6、重要著作几何几何原本原本。欧几里德欧几里德几何原本几何原本是有史以来用公理是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学，而且化思想方法建立起来的第一门演绎数学，而且成为以后很长时期严格证明的典范。成为以后很长时期严格证明的典范。几何原几何原本本在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑，对数学的发展起了巨大的作用，基本上完善了对数学的发展起了巨大的作用，基本上完善了初等几何体系。当然，现在看来由于受当时整初等几何体系。当然，现在看来由于受当时整个科学水平的限制，这种公理化方法还是很原个科学水平的限制，这种公理化方法还是很原始的，其公理体系还是不完备的。所以，称
7、这始的，其公理体系还是不完备的。所以，称这一阶段为公理化方法的初期阶段。一阶段为公理化方法的初期阶段。欧几里德欧几里德几何原本几何原本孕育了一种理性精神，成孕育了一种理性精神，成为展示人类智慧和认识能力的一个光辉典范。为展示人类智慧和认识能力的一个光辉典范。欧几里德的欧几里德的原本原本所表述的数学观是：所表述的数学观是：几何理论是封闭的演绎体系。几何理论是封闭的演绎体系。原本原本成功成功地将零散的数学理论编为一个以基本假设到最复杂结地将零散的数学理论编为一个以基本假设到最复杂结论的整体结构。从逻辑结构来看，论的整体结构。从逻辑结构来看，原本原本是一个最是一个最早形成的演绎体系，除所用的逻辑规则
8、外，具备了其早形成的演绎体系，除所用的逻辑规则外，具备了其理论推导的所有前提，从理论发展形势来看是一个封理论推导的所有前提，从理论发展形势来看是一个封闭的理论演绎体系。闭的理论演绎体系。抽象化的内容。抽象化的内容。原本原本中涉及的都是一般的、中涉及的都是一般的、抽象的概念，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑抽象的概念，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，由一些给定的概念和命题推演出另一些概念和命关系，由一些给定的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑这些概念和命题与社会具体生活的关系，题。它不考虑这些概念和命题与社会具体生活的关系，也不研究这些数学也不研究这些数学“模型模型”所由之
9、产生的那些显示原型。所由之产生的那些显示原型。如在如在原本原本中研究了中研究了“所有的所有的”矩形（即抽象的矩形矩形（即抽象的矩形概念）的性质，但不研究任何一个具体的矩形的实物大概念）的性质，但不研究任何一个具体的矩形的实物大小；小；原本原本中研究了自然数的若干性质，但却一点也中研究了自然数的若干性质，但却一点也不涉及具体的自然数的计算及应用。不涉及具体的自然数的计算及应用。公理化方法。公理化方法。原本原本的基本结构是由少数不的基本结构是由少数不定义的概念（如点、线、面等）和少量不证自明的命题定义的概念（如点、线、面等）和少量不证自明的命题（五个公设和五个公理）出发，定义出该体系中的所有（五个
10、公设和五个公理）出发，定义出该体系中的所有其他概念，推演出所有其他的命题（定理）。其他概念，推演出所有其他的命题（定理）。原本原本就是用这种公理化方法建立起了几何学的逻辑体系，从就是用这种公理化方法建立起了几何学的逻辑体系，从而成为其后所有数学的范本。而成为其后所有数学的范本。在公理化方法的初期阶段，它的在公理化方法的初期阶段，它的“严格性严格性”也只是也只是相对当时的情况而言的。譬如，有些基本概念的定义不相对当时的情况而言的。譬如，有些基本概念的定义不够妥当，有些证明只不过是借助于直观等等。够妥当，有些证明只不过是借助于直观等等。特别是特别是原本原本中第五公设的陈述从字面中第五公设的陈述从字
11、面上看很不自明，所以人们从两个方面对它产生上看很不自明，所以人们从两个方面对它产生了怀疑：第一，第五公设是否正确地反映了空了怀疑：第一，第五公设是否正确地反映了空间的性质；其二、它本身很可能是一个定理。间的性质；其二、它本身很可能是一个定理。对于这两个问题，人们从以下几个方面进对于这两个问题，人们从以下几个方面进行了探讨：一是它能否从其他公理推出；二是行了探讨：一是它能否从其他公理推出；二是换一个与它等价而本身却又是很自明的公设；换一个与它等价而本身却又是很自明的公设；三是换一个与它相反的公设。三是换一个与它相反的公设。通过很多第一流的数学家近两千年的大量工作，第一方案尚未成功。通过很多第一流
12、的数学家近两千年的大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世纪中叶，意大利数学家萨克利吸取了前人正面直接证明而失败到了十八世纪中叶，意大利数学家萨克利吸取了前人正面直接证明而失败的教训，反其道而行之，改用反证法来证明（将第五公设换成它的否定，的教训，反其道而行之，改用反证法来证明（将第五公设换成它的否定，然后推出矛盾，那么就可以证明第五公设就是一个定理，即不独立于其它然后推出矛盾，那么就可以证明第五公设就是一个定理，即不独立于其它公理），并于公理），并于17331733年公布了他的证明，但随后不久数学家们发现他的证明年公布了他的证明，但随后不久数学家们发现他的证明有问题。有问题。萨克利最先使用归谬
13、法来证明第五公设。他在一本名叫萨克利最先使用归谬法来证明第五公设。他在一本名叫欧几里得欧几里得无懈可击无懈可击（17331733年）的书中，从著名的年）的书中，从著名的“萨克利四边形萨克利四边形”出发来证明平出发来证明平行公设。行公设。ABCD 萨克利四边形是一个等腰双直角四边形，如图，其中萨克利四边形是一个等腰双直角四边形，如图，其中 且为且为直角。直角。,ACBDAB 萨克利指出，顶角具有三种萨克利指出，顶角具有三种可能性并分别将它们命名为：可能性并分别将它们命名为：1、直角假设：、直角假设：和和 是直角；是直角；CD 3、锐角假设：、锐角假设：和和 是锐角；是锐角；CD 2、钝角假设：、
14、钝角假设：和和 是钝角；是钝角；CD可以证明，直角假设与第五公设等价。萨克利的计划是可以证明，直角假设与第五公设等价。萨克利的计划是证明后两个假设可以导致矛盾，根据归谬法就只剩下第证明后两个假设可以导致矛盾，根据归谬法就只剩下第一个假设成立。这样就证明了第五公设。一个假设成立。这样就证明了第五公设。萨克利在假定直线为无限长的情况下，首先由钝萨克利在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形三内角之和他获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形三内角之和小于两直角；过给定直线外
15、一给定点，有无数多条直线小于两直角；过给定直线外一给定点，有无数多条直线不与该直线相交，等等。虽然这些结果实际上并不包含不与该直线相交，等等。虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨克利认为它们太不合情理，便以为自己任何矛盾，但萨克利认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的。导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的。数学家们从萨克利的错误中得到了启发，锐角假设（三角形内角数学家们从萨克利的错误中得到了启发，锐角假设（三角形内角和小于和小于180180）尚未导致矛盾，因而它与其他公理可能是协调的。）尚未导致矛盾，因而它与其他公理可能是协调的。虽然萨克利的证明是错误的，但他提出的
16、反证法及其所得的结虽然萨克利的证明是错误的，但他提出的反证法及其所得的结果却起了他始终所未料到的作用，即两种几何并存的可能性。也就是果却起了他始终所未料到的作用，即两种几何并存的可能性。也就是说，除了欧几里德几何外，还有非欧几何。说，除了欧几里德几何外，还有非欧几何。一直到十九世纪，由高斯、罗巴切夫斯基、一直到十九世纪，由高斯、罗巴切夫斯基、包耶等许多杰出的数学家作了大量的推导工作包耶等许多杰出的数学家作了大量的推导工作都没有发现矛盾，于是采用锐角假设（三角形都没有发现矛盾，于是采用锐角假设（三角形内角和小于内角和小于180180）的罗巴切夫斯基几何系统）的罗巴切夫斯基几何系统就产生了。从此也
17、就冲破了欧几里德几何就产生了。从此也就冲破了欧几里德几何“一一统天下统天下”的旧观念对人们的束缚，使人们意识的旧观念对人们的束缚，使人们意识到逻辑上无矛盾并不只限于一种几何。到逻辑上无矛盾并不只限于一种几何。在在18541854年又发现了钝角假设（三角形内角和年又发现了钝角假设（三角形内角和大于大于180180）也成立的黎曼几何系统，后来人们称）也成立的黎曼几何系统，后来人们称这两种几何为非欧几何。这两种几何为非欧几何。非欧几何产生后，还有两方面的问题有待进非欧几何产生后，还有两方面的问题有待进一步解决。从逻辑方面看，这种逻辑无矛盾性还一步解决。从逻辑方面看，这种逻辑无矛盾性还有待于从理论上得
18、到严格证明；从实践方面看，有待于从理论上得到严格证明；从实践方面看，非欧几何的客观原型是什么？人们还不清楚。也非欧几何的客观原型是什么？人们还不清楚。也就是说，非欧几何到底反映了哪种空间形式也没就是说，非欧几何到底反映了哪种空间形式也没有得到具体的解释。有得到具体的解释。到了十九世纪五十年代，随着微分几何、射到了十九世纪五十年代，随着微分几何、射影几何的进一步发展，为非欧几何寻找模型提供影几何的进一步发展，为非欧几何寻找模型提供了条件。了条件。意大利的贝特拉米于意大利的贝特拉米于18691869年在其论文年在其论文非欧非欧几何的实际解释几何的实际解释中提出了用欧氏球面作为黎曼中提出了用欧氏球面
19、作为黎曼几何的一个解释（欧氏球面的部分大圆被解释成几何的一个解释（欧氏球面的部分大圆被解释成黎曼几何的直线，球面上的点被解释成黎曼几何黎曼几何的直线，球面上的点被解释成黎曼几何的点）。的点）。德国数学家克莱因于德国数学家克莱因于18701870年在欧氏平面上用年在欧氏平面上用不包括圆周的圆内部构造了一个罗氏几何模型，不包括圆周的圆内部构造了一个罗氏几何模型，人们称它为罗氏平面，在此平面上给罗氏几何一人们称它为罗氏平面，在此平面上给罗氏几何一个解释，即把欧氏几何的直线解释成罗氏平面上个解释，即把欧氏几何的直线解释成罗氏平面上的直线，欧氏几何的点解释成罗氏平面上的点。的直线，欧氏几何的点解释成罗氏
20、平面上的点。由于非欧几何在欧氏几何中找到了它的模型，由于非欧几何在欧氏几何中找到了它的模型，因此非欧几何的无矛盾性就转化为欧氏几何的无因此非欧几何的无矛盾性就转化为欧氏几何的无矛盾性，也就是说倘若欧氏几何无矛盾，则非欧矛盾性，也就是说倘若欧氏几何无矛盾，则非欧几何也无矛盾。几何也无矛盾。随后不仅人们找到了非欧几何在天文学与相随后不仅人们找到了非欧几何在天文学与相对论中的解释和应用，而且相继发现欧氏几何的对论中的解释和应用，而且相继发现欧氏几何的每条公理在罗氏空间的极限球上得以全部成立。每条公理在罗氏空间的极限球上得以全部成立。于是，反过来欧氏几何的相容性可借助非欧几何于是，反过来欧氏几何的相容
21、性可借助非欧几何协调性给以保证。从而就证明了两种几何是互相协调性给以保证。从而就证明了两种几何是互相协调的，第五公设的独立性问题得到解决。协调的，第五公设的独立性问题得到解决。非欧几何的确立促进了公理化方法及几何基非欧几何的确立促进了公理化方法及几何基础研究的进展。础研究的进展。在创立非欧几何的过程中，公理化方法得到了如下在创立非欧几何的过程中，公理化方法得到了如下发展：发展：非欧几何诞生的第一步就在于认识到：平行公设非欧几何诞生的第一步就在于认识到：平行公设不能在其他九条公设和公理的基础上证明。它是独立的命不能在其他九条公设和公理的基础上证明。它是独立的命题，所以可以采用一个与之相反的公理并
22、发展成为全新的题，所以可以采用一个与之相反的公理并发展成为全新的几何。这就是说，在一个公理系统中，我们可以把一个具几何。这就是说，在一个公理系统中，我们可以把一个具有独立性的公理换成另外的公理而得到一个全新的公理系有独立性的公理换成另外的公理而得到一个全新的公理系统，这种方法是现代的一个重要的公理化方法。统，这种方法是现代的一个重要的公理化方法。非欧几何的创立深刻地启示人们，可以证明非欧几何的创立深刻地启示人们，可以证明“在在一个给定的公理系统中某些命题不可能证明一个给定的公理系统中某些命题不可能证明”。非欧几何系统已经不是像非欧几何系统已经不是像原本原本那样依赖于感那样依赖于感性直观的实质性
23、公理系统。非欧几何的建立标志着从实质性直观的实质性公理系统。非欧几何的建立标志着从实质性公理化方法向形式公理化方法的过渡，这表明人们的认性公理化方法向形式公理化方法的过渡，这表明人们的认识已从直观空间上升到抽象空间。识已从直观空间上升到抽象空间。非欧几何的创立，为公理化方法可以推广和建立非欧几何的创立，为公理化方法可以推广和建立新的理论提供了依据，大大提高了公理化方法。新的理论提供了依据，大大提高了公理化方法。非欧几何的创立，还产生了如下重大影响：非欧几何的创立，还产生了如下重大影响：非欧几何的诞生标志着欧氏几何统治的终结，欧非欧几何的诞生标志着欧氏几何统治的终结，欧氏几何统治的终结则标志着所
24、有绝对真理的终结。氏几何统治的终结则标志着所有绝对真理的终结。非欧几何的创立，使人们开始认识到数学空非欧几何的创立，使人们开始认识到数学空间与物理空间之间有着本质的区别。数学确实是人的间与物理空间之间有着本质的区别。数学确实是人的思想产物，而不是独立于人的永恒世界的东西。思想产物，而不是独立于人的永恒世界的东西。非欧几何的创立使数学丧失了真理性，但却非欧几何的创立使数学丧失了真理性，但却使数学获得了自由。数学家能够而且应该探索任何可使数学获得了自由。数学家能够而且应该探索任何可能的问题，探索任何可能的公理系统，只要这种研究能的问题，探索任何可能的公理系统，只要这种研究具有一定的意义。具有一定的
25、意义。非欧几何为数学提供了一个不受实用性左右，非欧几何为数学提供了一个不受实用性左右，只受抽象思想和逻辑思维支配的范例，提供了一个理只受抽象思想和逻辑思维支配的范例，提供了一个理性的智慧摒弃感觉经验的范例。性的智慧摒弃感觉经验的范例。当然，非欧几何并非毫无实用性。例如，当然，非欧几何并非毫无实用性。例如，19161916年爱因斯坦发现的广义相对论的研究中，必须用一种年爱因斯坦发现的广义相对论的研究中，必须用一种非欧几何来描述这样的物理空间，这种非欧几何便是非欧几何来描述这样的物理空间，这种非欧几何便是黎曼几何。又如，由黎曼几何。又如，由19471947年对视空间（从正常的有双年对视空间（从正常
26、的有双目视觉的人心理上观察到的空间）所作的研究得出结目视觉的人心理上观察到的空间）所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基非欧几何来描述。论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基非欧几何来描述。这些事实说明：数学对人类文明发展的作用是何等重这些事实说明：数学对人类文明发展的作用是何等重大。大。非欧几何的创立，标志着公理化方法进入到其非欧几何的创立，标志着公理化方法进入到其完善阶段。完善阶段。在非欧几何创立之后，以希尔伯特为代表的在非欧几何创立之后，以希尔伯特为代表的数学家掀起了对几何基础的研究，同时也促进了数学家掀起了对几何基础的研究，同时也促进了康托、维尔斯托拉斯、戴德金等为代表的数学家康托
27、、维尔斯托拉斯、戴德金等为代表的数学家对数学分析基础的实数理论的研究。从而导致了对数学分析基础的实数理论的研究。从而导致了“分析算术化分析算术化”方向的出现，使数学分析基础立方向的出现，使数学分析基础立足于实数理论之上，取代了直观的几何说明。由足于实数理论之上，取代了直观的几何说明。由于对实数理论的研究，又推动了代数的重大变化，于对实数理论的研究，又推动了代数的重大变化，即由代数方程的求解导致了群论的产生，从而使即由代数方程的求解导致了群论的产生，从而使代数的研究对象发生了质的变化，逐渐变成一门代数的研究对象发生了质的变化，逐渐变成一门研究各种代数运算系统形式结构的科学。研究各种代数运算系统形
28、式结构的科学。由于形式公理化方法在分析、代数领域中取由于形式公理化方法在分析、代数领域中取得了成功，反过来又将几何公理化方法的研究推得了成功，反过来又将几何公理化方法的研究推向一个新的阶段，即形式公理化阶段。希尔伯特向一个新的阶段，即形式公理化阶段。希尔伯特在在18991899年出版的名著年出版的名著几何基础几何基础就是这个时期就是这个时期研究成果的突出代表。研究成果的突出代表。所谓形式公理化方法，是指在一个公理系统所谓形式公理化方法，是指在一个公理系统中，基本概念规定为不加定义的原始概念，它的中，基本概念规定为不加定义的原始概念，它的涵义、特征和范围不是先于公理而确定，而是由涵义、特征和范围
29、不是先于公理而确定，而是由公理组隐含确定。公理组隐含确定。希尔伯特在他的希尔伯特在他的几何基础几何基础中，放弃了欧中，放弃了欧几里德几里德几何原本几何原本中公理的直观显然性，把那中公理的直观显然性，把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以拼弃，着眼于对象之间的联系，强调了逻辑加以拼弃，着眼于对象之间的联系，强调了逻辑推理，第一次提出了一个简明、完整、逻辑严谨推理，第一次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式化公理系统。从此公理化方法不仅是数学的形式化公理系统。从此公理化方法不仅是数学中一个重要方法，而且已被其他学科领域所采用。中一个重要方法，而
30、且已被其他学科领域所采用。所以人们称它为公理化方法发展史上的一个里程所以人们称它为公理化方法发展史上的一个里程碑。碑。虽然希尔伯特几何公理系统从本质上讲是一虽然希尔伯特几何公理系统从本质上讲是一个形式化的公理系统，但它毕竟没有完全摆脱几个形式化的公理系统，但它毕竟没有完全摆脱几何所研究的内容范围。为了使形式公理系统更形何所研究的内容范围。为了使形式公理系统更形式化，涵盖的模型更多，就必须使形式化公理系式化，涵盖的模型更多，就必须使形式化公理系统来自具体模型而又要摆脱具体模型过多的条条统来自具体模型而又要摆脱具体模型过多的条条框框的束缚，于是人们需要研究更复杂的逻辑结框框的束缚，于是人们需要研究
31、更复杂的逻辑结构，从而就导致了现代数理逻辑的形成和发展。构，从而就导致了现代数理逻辑的形成和发展。现代数理逻辑出现后，至少在下列两个方面发挥现代数理逻辑出现后，至少在下列两个方面发挥了巨大作用。了巨大作用。其一，本世纪初以希尔伯特、哥德尔为代表其一，本世纪初以希尔伯特、哥德尔为代表的数学家和逻辑学家掀起了以数理逻辑为工具来的数学家和逻辑学家掀起了以数理逻辑为工具来研究整个数学基础的高潮，又因数学基础进一步研究整个数学基础的高潮，又因数学基础进一步发展的需要，反过来又促使现代数理逻辑的发展，发展的需要，反过来又促使现代数理逻辑的发展，从而也就导致了证明论（或元数学）、模型论、从而也就导致了证明论
32、（或元数学）、模型论、递归函数论的出现。特别是英国大哲学家、数学递归函数论的出现。特别是英国大哲学家、数学家、和逻辑学家罗素于家、和逻辑学家罗素于19021902年发现集合论的悖论，年发现集合论的悖论，震动了整个数学界，从而更促进了公理化集合论震动了整个数学界，从而更促进了公理化集合论的形成和发展。集合论的公理化系统的出现及现的形成和发展。集合论的公理化系统的出现及现代数理逻辑出现，将形式公理化方法推向一个更代数理逻辑出现，将形式公理化方法推向一个更高的阶段高的阶段纯形式公理化阶段。纯形式公理化阶段。希尔伯特建立的元数学是以形式希尔伯特建立的元数学是以形式系统为研究对象的一门新数学，它包括系统
33、为研究对象的一门新数学，它包括对形式系统的描述、定义、也包括对形对形式系统的描述、定义、也包括对形式系统性质的研究。简言之，元数学是式系统性质的研究。简言之，元数学是以整个理论而不是以它的某一部分作为以整个理论而不是以它的某一部分作为数学研究的对象。元数学等的创立把形数学研究的对象。元数学等的创立把形式公理化方法向前推进了一大步。式公理化方法向前推进了一大步。纯形式公理化方法的特征是具有高度的形纯形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系统的基本概念、基本关系用式化和抽象化，系统的基本概念、基本关系用抽象的符号表示，命题由符号组成的公式表示，抽象的符号表示，命题由符号组成的公式表示，命
34、题的证明用一个公式串表达。一个符号化的命题的证明用一个公式串表达。一个符号化的形式系统只有在解释之后才有意义。形式系统只有在解释之后才有意义。公理化方法的具体形态有三种：实体性公公理化方法的具体形态有三种：实体性公理化方法、形式公理化方法和纯形式公理化方理化方法、形式公理化方法和纯形式公理化方法，用它们建构起来的理论体系分别为法，用它们建构起来的理论体系分别为几何几何原本原本、几何基础几何基础和和ZFCZFC公理系统。公理系统。其二，为数学应用于现代科学技术开辟了前其二，为数学应用于现代科学技术开辟了前景。电子计算机的出现就是突出的一例，这是因景。电子计算机的出现就是突出的一例，这是因为电子计
35、算机的设计需要研究如何用基本的逻辑为电子计算机的设计需要研究如何用基本的逻辑运算去表示和构造复杂的逻辑结构和运算，这正运算去表示和构造复杂的逻辑结构和运算，这正是现代数理逻辑研究的一个基本课题。由于电子是现代数理逻辑研究的一个基本课题。由于电子计算机的出现导致了机器证明及数学机械化方向计算机的出现导致了机器证明及数学机械化方向的产生，从而使现代纯形式公理化方法又获得了的产生，从而使现代纯形式公理化方法又获得了一个新的用场。一个新的用场。公理化方法本身及其在数学理论和实践应用公理化方法本身及其在数学理论和实践应用中的巨大作用，随着科学技术的发展还在继续向中的巨大作用，随着科学技术的发展还在继续向
36、前发展。前发展。一、公理化方法的逻辑特征一、公理化方法的逻辑特征 公理化方法的作用在于从一组公理出发，公理化方法的作用在于从一组公理出发，以逻辑推理为工具，把某一范围系统内的真命以逻辑推理为工具，把某一范围系统内的真命题推演出来，从而使系统成为演绎体系题推演出来，从而使系统成为演绎体系.对于所选公理，我们一方面要求能从公理对于所选公理，我们一方面要求能从公理组推出该系统内的全部真命题，另一方面又要组推出该系统内的全部真命题，另一方面又要求从公理组不能推出逻辑矛盾，再就是希望所求从公理组不能推出逻辑矛盾，再就是希望所选公理个数最少选公理个数最少.这三个方面构成了公理化方法的逻辑要求，这三个方面构
37、成了公理化方法的逻辑要求，此也是判别一个公理系统是否科学合理的准则。此也是判别一个公理系统是否科学合理的准则。（1 1）无矛盾性（相容性或协调性）无矛盾性（相容性或协调性）无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之间不能自相矛盾，由公理系推出的结果也不能间不能自相矛盾，由公理系推出的结果也不能矛盾，即不能同时推出命题矛盾，即不能同时推出命题A A与其否定命题与其否定命题 ，显然，这是对公理系统的最基本的要求。显然，这是对公理系统的最基本的要求。如何证明给定的公理系统的无矛盾性呢？如何证明给定的公理系统的无矛盾性呢？若想通过若想通过“由这一公理系作出全部可能的推论由
38、这一公理系作出全部可能的推论并指出其中没有矛盾并指出其中没有矛盾”来证明是不可能的。来证明是不可能的。A 为此，人们创造了一种特殊方法即解释法或作模型法。其基本思想如下：为此，人们创造了一种特殊方法即解释法或作模型法。其基本思想如下：将公理系的每一不定义的概念与对象的某一集合相对应，而且要求对应将公理系的每一不定义的概念与对象的某一集合相对应，而且要求对应于不同概念的集合没有公共元素，然后，使公理系于不同概念的集合没有公共元素，然后，使公理系T T的每一关系对应着对应集的每一关系对应着对应集合元素间的某一确定的关系。合元素间的某一确定的关系。AAAAAA 这样所得的集合与关系的全体叫做解释域，
39、公理系这样所得的集合与关系的全体叫做解释域，公理系T的每一命题的每一命题 可以可以用自然的方法对应于解释域中相应的命题用自然的方法对应于解释域中相应的命题 。如果所得的命题。如果所得的命题 为真，那为真，那么就称公理系么就称公理系T的命题的命题 在这个解释下是真的，如果在这个解释下是真的，如果 假，则假，则 在这个解释在这个解释下是假的，如果公理系下是假的，如果公理系T的全部公理在这个解释下均为真，那么这个解释的全部公理在这个解释下均为真，那么这个解释称为所给公理系的模型。称为所给公理系的模型。解释域及其性质常常是另一数学理论解释域及其性质常常是另一数学理论 的研究对象，的研究对象，本身同样可
40、以是本身同样可以是公理化的，所以说，用解释法能证明公理系公理化的，所以说，用解释法能证明公理系 的相对相容性，即能作出的相对相容性，即能作出“如果如果 相容，即么相容，即么 也相容也相容”的判断。的判断。TTTTT 解释法实质上是将一个公理系系统的无矛盾性证明化归为另一个公解释法实质上是将一个公理系系统的无矛盾性证明化归为另一个公理系统的无矛盾性的证明，是一种间接证明。理系统的无矛盾性的证明，是一种间接证明。克莱因就是采用这种方法将罗氏几何的无矛盾性化归为欧氏几何克莱因就是采用这种方法将罗氏几何的无矛盾性化归为欧氏几何的无矛盾性的。的无矛盾性的。正是由于罗氏几何的相容性要由欧氏几何正是由于罗氏
41、几何的相容性要由欧氏几何的相容性来得证，本来并无疑问的欧氏几何相的相容性来得证，本来并无疑问的欧氏几何相容性问题也引起了人们的怀疑，迫使人们再去容性问题也引起了人们的怀疑，迫使人们再去寻找欧氏几何相容性的证明，由于解析几何可寻找欧氏几何相容性的证明，由于解析几何可以看成是实数系统中欧氏几何的一个解释模型，以看成是实数系统中欧氏几何的一个解释模型，于是欧氏几何相容性证明转化为实数系统的无于是欧氏几何相容性证明转化为实数系统的无矛盾性的证明，而实数系统可建立在矛盾性的证明，而实数系统可建立在ZFCZFC公理公理化集合论的基础上，因此，实数系统的无矛盾化集合论的基础上，因此，实数系统的无矛盾性又化归
42、为集合论的无矛盾性证明，而后者经性又化归为集合论的无矛盾性证明，而后者经过几代数学家们的努力，至今尚未得到彻底解过几代数学家们的努力，至今尚未得到彻底解决。决。（2 2）独立性）独立性 独立性要求在一个公理系统中，被选定的公独立性要求在一个公理系统中，被选定的公理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。独立性其实要求的是公理组中公理之间不能独立性其实要求的是公理组中公理之间不能有依从关系，若某一公理被其余公理推出，那它有依从关系，若某一公理被其余公理推出，那它实质上就是一个定理，在公理组中就是多余的，实质上就是一个定理，在公理组中就是多余的，所以，独立性要
43、求公理组中公理数目最少。所以，独立性要求公理组中公理数目最少。利用解释法同样可以证明所给公理系的独立性问题，所谓公理系利用解释法同样可以证明所给公理系的独立性问题，所谓公理系T T中中公理公理A A的独立性无非是指的独立性无非是指A A由其他公理既不能证实，也不能否定。由其他公理既不能证实，也不能否定。AAA 建立一个新的公理系，就是将公理建立一个新的公理系，就是将公理 换成它的否定换成它的否定 ，而其他公理保持不，而其他公理保持不变，只要能证明新的公理系是相容的，就可断言变，只要能证明新的公理系是相容的，就可断言 在公理系在公理系T中独立，从而中独立，从而将独立性问题化归为相容性证明问题，而
44、新公理系相容性证明可用解释法。将独立性问题化归为相容性证明问题，而新公理系相容性证明可用解释法。（3 3）完备性）完备性 完备性要求在一个公理系统中，公理组的选完备性要求在一个公理系统中，公理组的选取能保证由公理组推出该系统的全部真命题，所取能保证由公理组推出该系统的全部真命题，所以，公理不能过少，否则就推不出某些真命题，以，公理不能过少，否则就推不出某些真命题，这是关于完备性的古典定义。这是关于完备性的古典定义。现代数学常借助模型的同构给公理系的完备现代数学常借助模型的同构给公理系的完备性下定义，即如果公理系性下定义，即如果公理系T T的所有模型或解释都彼的所有模型或解释都彼此同构，就称这个
45、公理系是完备的。此同构，就称这个公理系是完备的。所谓模型的同构是指这个公理系的两个模型（所谓模型的同构是指这个公理系的两个模型（X X，R R）与（）与（Y Y，S S）（这是）（这是为简便计，假设给定的公理系中只有一个不定义的概念和一个不定义的关系。为简便计，假设给定的公理系中只有一个不定义的概念和一个不定义的关系。X X与与Y Y是某两个集合，是某两个集合，R R与与S S分别是这两个集合中的关系）间存在一个双射分别是这两个集合中的关系）间存在一个双射时成立。当且仅当使2121,:SyyRxxYX YyyXxxxyxy21212211，其中 在上述公理化方法的三个特征中，无矛盾性在上述公理
46、化方法的三个特征中，无矛盾性是最重要而又是非有不可的。是最重要而又是非有不可的。独立性从理论上讲，从完美简炼上讲，应该独立性从理论上讲，从完美简炼上讲，应该要求，因为公理和定理在整个系统中处的地位不要求，因为公理和定理在整个系统中处的地位不同，公理是出发点，定理是推出的，不能混在一同，公理是出发点，定理是推出的，不能混在一块。但是，独立性要求有时可降低。现行中学几块。但是，独立性要求有时可降低。现行中学几何体系就放弃了这一要求。何体系就放弃了这一要求。至于完备性，要求就大大放宽了；而且至于完备性，要求就大大放宽了；而且“从从研究完备的公理系确定的对象转向研究其公理系研究完备的公理系确定的对象转
47、向研究其公理系不完备的对象不完备的对象”被认为是现代数学的特征之一。被认为是现代数学的特征之一。二、公理化方法的意义和作用二、公理化方法的意义和作用 对于公理化方法的作用和意义，希尔伯特曾评论道：对于公理化方法的作用和意义，希尔伯特曾评论道：“不管不管在哪个领域，对于任何严肃的研究精神来说，公理化方法都是并在哪个领域，对于任何严肃的研究精神来说，公理化方法都是并且始终是一个合适的不可缺少的手段；它在逻辑上是无懈可击的，且始终是一个合适的不可缺少的手段；它在逻辑上是无懈可击的，同时也是富有成果的；因此，它保证了研究的完全自由。在这个同时也是富有成果的；因此，它保证了研究的完全自由。在这个意义上，
48、用公理化方法进行研究就等于用已掌握了的东西进行思意义上，用公理化方法进行研究就等于用已掌握了的东西进行思考。早年没有公理化方法的时候，人们只能朴素地把某些关系作考。早年没有公理化方法的时候，人们只能朴素地把某些关系作为信条来遵守，公理化的研究方法则可以去掉这种朴素性而使信为信条来遵守，公理化的研究方法则可以去掉这种朴素性而使信仰得到利益仰得到利益”。“能够成为数学的思考对象的任何事物，在一个能够成为数学的思考对象的任何事物，在一个理论的建立一旦成熟时，就开始服从于公理化方法，从而进入了理论的建立一旦成熟时，就开始服从于公理化方法，从而进入了数学。通过突进到公理的更深层次数学。通过突进到公理的更
49、深层次我们能够获得科学思维的我们能够获得科学思维的更深入的洞察力，并弄清我们的知识的统一性。特别是，得力于更深入的洞察力，并弄清我们的知识的统一性。特别是，得力于公理化方法，数学似乎就被请来在一切学问中起领导的作用公理化方法，数学似乎就被请来在一切学问中起领导的作用”。公理化方法对数学的发展起到了巨大作用，如在对公理化方法逻辑特公理化方法对数学的发展起到了巨大作用，如在对公理化方法逻辑特征的研究中，产生了许多新的数学分支理论，非欧几何是由研究欧氏几征的研究中，产生了许多新的数学分支理论，非欧几何是由研究欧氏几何公理系统的独立性产生的，元数学理论或证明论是由研究公理系统相何公理系统的独立性产生的
50、，元数学理论或证明论是由研究公理系统相容性产生的，等等。容性产生的，等等。具体地说，公理化方法的意义和作用可以概括为以具体地说，公理化方法的意义和作用可以概括为以下几点：下几点：表述和总结科学理论表述和总结科学理论 公理化方法使有关的理论系统化，把它们按照某种公理化方法使有关的理论系统化，把它们按照某种逻辑顺序构建成一个系统，因而便于人们系统地理解知识逻辑顺序构建成一个系统，因而便于人们系统地理解知识体系，便于掌握理论的本质。它是应用演绎推理的基本方体系，便于掌握理论的本质。它是应用演绎推理的基本方法，它为认识世界提供了演绎推理的模式，提供了一种理法，它为认识世界提供了演绎推理的模式，提供了一
