1、考研数学二串讲考研数学二串讲主讲教师主讲教师:杜守旭杜守旭2考好数学的奥秘考好数学的奥秘-陈文灯陈文灯 数学基础树的根，数学基础树的根，技巧演练考题型，技巧演练考题型，勤学苦练强磨砺，勤学苦练强磨砺，功到高分自然成。功到高分自然成。数学基础班数学基础班-陈文灯陈文灯 考研数学基础班，考研数学基础班，任务搬掉任务搬掉“三重山三重山”，基础夯实张开帆，基础夯实张开帆，一路凯歌无难关。一路凯歌无难关。注：注：“三重山三重山”指基指基本概念、基本理论、本概念、基本理论、基本运算。基本运算。3二、极限二、极限 一、函数一、函数 三、连续与间断三、连续与间断 第一章第一章 函数与极限函数与极限 研究对象研
2、究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁41.函数的四种特性函数的四种特性容易证明：容易证明：有界的有界的充分必要条件充分必要条件是既有上界又有下界是既有上界又有下界(1)函数的有界性函数的有界性:()f xI在在 上上有有界界()f xI在在 上上无无界界0().MxIf xM 使使,都都有有000().MxIf xM ,使使得得1()1,2f xx 如如：在在上上有有界界吗吗？11x ，12x 吗吗？说明：说明：(1)界不唯一界不唯一,不要求找最小的界不要求找最小的界.(2)还可定义有上界、有下界和无界还可定义有上界、有下界和无界.11()KxIf xK 数数,使使，都都有有，()f x
3、I称称在在 上上有有上上界界22()KxIKf x 数数,使使，都都有有，(3)函数的有界性是局部概念函数的有界性是局部概念.,xD0,M使使(),f xM 称称 ()f x为为有界函数有界函数.一般的一般的(),.yf xxDID设设函函数数区区间间()f xI称称在在 上上有有下下界界一、函数一、函数5(2)单调性单调性12,xxI12xx 当当时时12()(),f xf x 若若称称()f x为为 I 上的上的 单调单调增增函数函数;xy1x2x12()(),f xf x 若若称称()f x为为 I 上的上的 单调单调减减函数函数;注意注意:(1)这里是严格单调这里是严格单调.(2)单调
4、性是局部概念单调性是局部概念.2(0,)yx 在在内内是是单单调调增增加加的的，(,0)在在内内是是单单调调减减少少.I(),yf xxDID 设设函函数数区区间间，o6设设D关于原点对称，关于原点对称，,xD 对于对于1()()fxf x），有有则称则称f(x)为为偶函数偶函数.2()()fxf x ），有有则称则称f(x)为为奇函数奇函数.注意：注意：(1)定义域关于定义域关于原点原点对称对称,奇偶性是整体概念奇偶性是整体概念.(2)奇函数的图形关于奇函数的图形关于原点原点对称对称,偶函数的图形偶函数的图形 关关于于y 轴对称轴对称.(3)奇偶函数的定义域不一定是奇偶函数的定义域不一定是R
5、.(4)若若()f x在在 x=0 有定义有定义,(0)0.f()f x为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有7(4)周期性周期性,0,xDlxlD 且且()()f xlf x则称则称()f x为为周期函数周期函数,若若称称 l 为为周期周期.例如例如,常量函数常量函数()f xC 狄里克雷函数狄里克雷函数()f x x 为有理数为有理数x 为无理数为无理数1,0,说明：说明：10周期函数的定义域是无限的点集周期函数的定义域是无限的点集.20周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期.都都是是周周期期函函数数但但都都没没有有最最小小的的正正周周期期.结论：结论：()f xT若若以
6、以 为为最最小小正正周周期期，()Tfx 则则以以为为0.最最小小正正周周期期，设函数设函数(),yf xxD82.反函数反函数()(),yf xxy 由由()()xyyf x 则则叫叫的的反反函函数数，.()yf x 叫叫直直接接函函数数11()(,()xfyyfyDxfxxf 习习惯惯上上：sinarcsin,arcsin.yxxyyx 如如：记记作作：(1)定义定义1().xfy 记记作作:(2)性质性质其反函数其反函数(减减)(减减).1)y=f(x)单调递增单调递增1(),yfx 存存在在且也单调递增且也单调递增 2)函数函数()yf x 与其反函数与其反函数1()yfx 的图形关于
7、直线的图形关于直线yx 对称对称.(注意：对单值函数而言的注意：对单值函数而言的)923322211 1,1xx 3.复合函数复合函数 1(),yf uuD(),ug xxD1()g DD 且且则则(),yf g xxD设有函数链设有函数链称为由称为由,确定的确定的复合函数复合函数,u 称为称为中间变量中间变量.注意注意:构成复合函数的条件构成复合函数的条件 1()g DD 不可少不可少.例如例如,函数链函数链:arcsin,yu 221,ux函数函数2arcsin21,yxxD 32 1,32,1 但函数链但函数链2arcsin,2yu ux不能构成复合函数不能构成复合函数.可定义复合可定义
8、复合10(1)基本初等函数基本初等函数:幂函数、幂函数、指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数(2)初等函数初等函数:由由常数及基本初等函数常数及基本初等函数否则称为否则称为非初等函数非初等函数.例如例如,2,yx y ,0 xx ,0 xx并并可用一个式子表示可用一个式子表示的函数的函数,经过经过有限次四则运算有限次四则运算和和复合复合步步骤所构成骤所构成,称为称为初等函数初等函数.可表为可表为故为初等函数故为初等函数.2arcsin21yx，均为初等函数均为初等函数.yx xya sin,cos,tan,cot,sec,cscyx yx yxyx
9、yx yxarcsin,arccos,arctan,arccotyx yxyx yxlogayx xxysin ln:MMe 对对数数恒恒等等式式4.初等函数初等函数11非初等函数举例非初等函数举例:(2)取整函数取整函数:注意：注意：分段函数一般不是初等函数分段函数一般不是初等函数.10001sgn0 xxyxx 当当当当当当1 xyo1 yx 1,nxnnZ当当时时，,yxn-4 -3 -2 -1 1 2 3 41234-1-2-3-4oxy12函数的分类函数的分类:初等函数初等函数非初等函数非初等函数(大部分分段函数大部分分段函数,有无穷多项的函数有无穷多项的函数)代数函数代数函数超越函
10、数超越函数(解析式中含反，对，指，三的函数解析式中含反，对，指，三的函数)有理函数有理函数无理函数无理函数(解析式中含有根式的函数解析式中含有根式的函数)有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分式函数有理分式函数(分式函数分式函数)1110()nnnnP xa xaxa xa 11101110 ()()(,)nnnnmmmma xaxa xaP xQ xb xbxb xbm n 为为正正整整数数函函数数131.定义：定义：(1)数列极限的精确性定义：数列极限的精确性定义：”定义”定义“N ,0 ，0 N使使Nn 时，时，恒有恒有 axnlimnnxa .nxa也也称称数数列列收收敛敛
11、于于.nxa 即即从从某某一一项项开开始始，能能任任意意小小(2),()xf x 当当的的极极限限定定义义定义定义X,0,0 X(),f xAXx 使当使当时，时，恒有恒有lim().xf xA二、极限二、极限0(3)()xxf x当当时时，的的极极限限定定义义 定定义义0,0,00 xx 使当使当时，时，(),f xA恒有恒有0lim().xxf xA(4)左极限左极限,右极限：右极限：,0,0 0()xx 使当使当00 xxx 时，时，.)(Axf恒有恒有0().f xA 00()lim().xxf xf x 即即0()xx,0,0 使当使当00 xxx 时，时，.)(Axf恒有恒有0()
12、.f xA 00()lim().xxf xf x 即即14(5)极限定义的等价形式极限定义的等价形式 0()xx以以为为例例0lim()xxf xA 0lim()0 xxf xA()f xA 即即为为无无穷穷小小00()()f xf xA000lim()lim()lim()xxxxxxf xf xAf xAlim()lim()lim()xxxf xf xAf xA153.无穷小无穷小(1)无穷小的性质无穷小的性质;sin()u x();u xtan()u x();u x1cosu 21;2uarctanu;uarcsinu;uln(1)u;u1ue ;u1ua ln;ua(1)1au;ua(2
13、)常用等价无穷小常用等价无穷小:当当 时时()0u x 2.函数极限的性质：函数极限的性质：惟一性；局部有界性；局部保号性惟一性；局部有界性；局部保号性ln1uae ln(1)1aue 16(3)无穷小的比较无穷小的比较:设设 ，是是同一过程同一过程中的两个无穷小，中的两个无穷小，且且.0 高高阶阶就就说说 是是比比较较的的无无穷穷小小；如果如果,0lim 1)(o 记作：记作：低低阶阶就就说说 是是比比较较的的无无穷穷小小；lim,如如果果2 如果如果,0lim C 3特别地特别地,若若C=1时时,.记作：记作：如果如果,0lim Ck 40 同同就就说说 与与是是的的阶阶无无穷穷小小；等等
14、就就说说 与与是是的的价价无无穷穷小小；k就就说说 是是关关于于 的的 阶阶无无穷穷小小.174.两个重要极限两个重要极限:;1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,设设为为某某过过程程中中的的无无穷穷小小5.求极限的法则求极限的法则:(1)极限的四则运算法则极限的四则运算法则定理：定理：,)(limBxg 如果如果,)(limAxf 则则 )()(limxgxf(1)(lim)(limxgxf (2)()(limxgxf)(lim)(limxgxf (3)()(limxgxf)(lim)(limxgxf 其中其中0 BBA AB BA()(2)数列极限的单调有界
15、准则，夹逼准则数列极限的单调有界准则，夹逼准则(3)复合函数的求极限法则（变量代换法）复合函数的求极限法则（变量代换法）0lim()xxf g x)(lim0ufuu()ug x 令令00lim()xxug x 222200011limcoslimlimcosxxxxxxx如如：sinlim1xxx?存在存在+存在存在=存在存在存在存在+不存在不存在=不存在不存在不存在不存在+不存在不存在=不一定存在不一定存在18求极限的方法求极限的方法1.利用四则法则利用四则法则;2.恒等变形法恒等变形法;3.利用无穷小的性质利用无穷小的性质;4.利用两个重要极限利用两个重要极限;5.利用函数的连续性利用函
16、数的连续性;001.型型:型型:2.4.变量替换变量替换约去零因式约去零因式 3.：通分通分 等价无穷小代换等价无穷小代换.分子分母有理化分子分母有理化,6.利用极限存在的充要条件利用极限存在的充要条件;6.求极限的基本方法求极限的基本方法:抓大头抓大头7.利用夹逼准则利用夹逼准则.8、罗必达法则9、泰勒展开式10、定积分的定义1210lim.1nnnnxneeee dxennn20例例1.求下列极限：求下列极限：(1)lim(sin1sin)xxx解解:(1)sin1sinxx112sincos22xxxx 112sincos22(1)xxxx 无穷小无穷小有界有界令令1tx0limt(2)
17、sin(1)t tt 0limt(2)sint tt 0limt(2)t tt 2 211(2)limsinxxx sinsin2cossin22 0 故故原原式式210(3)limx cot11xxx 0limx cot2(1)1xxx e 2cossin10lim()xxxxxe 则有则有 0()lim1()v xxxu x 复习复习:若若0lim()0,xxu x 0lim(),xxv x e 0lim()ln 1()xxv xu x e 0lim()()xxv x u xcos2sin10lim()xxxxx 1 2e 110ln(1)(111,10)lim.xexxx 年年数数分分
18、求求极极限限练练习习：22(4)求求1402sinlim.1xxxexxe 解解:1402sinlim1xxxexxe 34402sinlim1xxxxeexxe 1 1402sinlim1xxxexxe 1402sinlim1xxxexxe 1 原式原式=1(2000考研考研)11,arctan0 xx exx分分析析表表达达式式中中含含时时,若若求求：时时的的.极极限限,需需讨讨论论左左右右极极限限2311000lim1,lim1(0)lim arctan,lim arctan,22limlim,lim0,lim1,lim arccot0,lim arccot,lim.,0nnnnxxxx
19、xxxxxxxxxxnaaxxeeeexxx 0000021limarctan,lim,limcolimlimarccot,limsin,11limtan,lims,1limcot,limcosin,limarctas,.nxxxxxxxxxxxxxexxxexxxxxx，1.常常用用的的极极限限：2.极极限限不不存存在在的的例例子子：几个常用极限与几个极限不存在的例子几个常用极限与几个极限不存在的例子24(5)求求1lim(93).xxxx 解解:11ln(93)lim(93)limxxxxxxxxe 由由于于1limln(93)xxxx 11lim ln9ln(1)3xxxx13ln9li
20、mxxxln99e原原式式11limln9(1)3xxxx1ln(1)3limln9xxx 1ln9limln93xxx 1ln(1)3lim ln9limxxxx 1limln(93)xxxxe 0 250lim()ln()xxv xu xe 则有则有0()lim()v xxxu x复习复习:若若0lim()(0),xxu xa a0lim(),xxv xb ba lnbae 则有则有 0()lim1()v xxxu x 复习复习:若若0lim()0,xxu x 0lim(),xxv x e 0lim()()xxv x u x262,0,(6)()0.2,0,xxf xxxx 求求函函数数在
21、在处处的的极极限限解解:00lim()lim(2)xxf xx2)2(lim)(lim00 xxfxx2 0lim().xf x不不存存在在0lim()=xxf xA利利用用00()()f xf xA1lim()?xf x 经验：经验：分段函数分界点处的极限一般应先求左右极限分段函数分界点处的极限一般应先求左右极限,其它点处的极限不需求左右极限其它点处的极限不需求左右极限.201tan1sinlim1sinxxxxxx （7 7）28例例2.确定常数确定常数 a,b,使使33lim(1)0 xxa xb解解:原式原式313lim(1)0 xxbxxa313lim(1)0 xxbxa10a 1,
22、a 33lim(1)xbxx3323231lim(1)1xxxxx 0 lim()()lim()lim()0f x g xaf xg x 存存在在，2233()()ab aabbab 1lim()lim()()()g xf x g xf x00lim()lim()0 xxxxf xAf xA29 3.选选择择以以下下题题中中的的四四个个结结论论中中的的一一个个例例正正确确的的结结论论：()232,0()xxf xx设设则则当当时时,有有()()A f xx与与 是是等等价价无无穷穷小小；()()B f xx与与 是是同同阶阶但但非非等等价价无无穷穷小小；()()C f xx是是比比 高高阶阶的
23、的无无穷穷小小；()()D f xx是是比比 低低阶阶的的无无穷穷小小.解解:0()limxf xx ln2ln3()f xx与与 是是同同阶阶但但非非等等价价无无穷穷小小.().B所所以以选选0232limxxxx 002131limlimxxxxxx 00ln2ln3limlimxxxxxx0,1lnxxaxa 时时1.30例例4.当当0 x 时时,23xx 是是x的几阶无穷小的几阶无穷小?解解:设其为设其为x的的k阶无穷小阶无穷小,则则230limkxxxx 0C因为因为230limkxxxx 2330limkxxxx 3122330lim(1)kxxx 故故16k 00 0lim1 0
24、 0 xx 1332 320limkkxxx 3121,321 ln(1)5.nxxxxx 与与例例当当时时解解：1311 ln1(1)lim(1)nxxxxx 1321(1)1(1)2lim(2lim11)()nnxxxxxxx 213321 lnlim22(1)nxxxxnx 当当时时，非零因子要及时分离出来非零因子要及时分离出来.n为为同同阶阶无无穷穷小小，求求1(31)(1)lnlim(1)nxxxxx 21321 lnlim(1)nxxxxx 3.2n3212 lim(1)nxx 00 0lim1 0 0 xx 320,()3sinsin112,33,()kxf xxxcx练练习习：
25、已已知知当当时时 函函数数与与是是等等价价无无穷穷小小年年数数则则C()1,4,()1,4,()3,4,()3,4.A kcB kcC kcD kc .提提示示：验验证证法法1,k 先先令令=c检检验验？时时3,k 再再令令=c检检验验？时时03sinsin3lim1.xxxcx 303sinsin3lim1.xxxcx 33(12数学二数学二)011(),lim()si(10)n.xxf xaf xxx 已已知知函函数数练练分分记记习习，1;1ak 答答案案：a求求 的的值值；()0()kxf xaxk 若若时时,与与是是同同阶阶无无穷穷小小,求求常常数数 的的值值.()提提示示：()011
26、limsinxxaxx 0(1)sinlimsinxxxxxx 1()0()lim(0)kxf xaC Cx 由由已已知知：.k由由这这个个极极限限求求00 0lim1 0 0 xx 34三、三、连续与间断连续与间断00(:)()yf xxf x 其其中中0()yf xx 函函数数在在点点处处连连续续等等价价于于(1)函数函数)(xfy 在点在点0 x的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，0(2)lim()xxf x存存在在；00(3)lim()().xxf xf x 0()f x即即存存在在；函数函数)(xfy 在点在点0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义,则则0000lim()()im0(
27、)lxxxf xf xf xyx 在在 处处连连续续000()()()f xf xf x1.函数在函数在 处连续的定义处连续的定义0 x352.函数的间断点函数的间断点:0(1)xx 在在处处无无定定义义；():f x如如果果函函数数有有下下列列三三种种情情形形之之一一0(2),xx 虽虽在在有有定定义义00(3),lim(),xxxxf x 虽虽在在有有定定义义 且且存存在在0,()f xx则则函函数数在在点点不不连连续续为为.不不连连续续点点或或间间断断点点00lim()().xxf xf x 但但0()xf x而而点点称称为为函函数数的的0lim();xxf x但但不不存存在在间断点的分
28、类与判别间断点的分类与判别:第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点361 第一类间断点第一类间断点:000()()f xf xx都都存存在在与与的的间间断断点点,叫叫第第一一类类间间断断点点.00()(),f xf x 若若0 x可可去去称称为为间间断断点点；00()(),f xf x 若若0 x跳跳跃跃称称为为间间断断点点.000()()f xf xx至至少少有有一一个个不不,叫叫第第二二存存在在的的间间断断点点类类间间断断点点.,若若其其中中有有一一个个极极限限为为0 x无无则则称称为为穷穷间间断断点点；,若
29、若其其中中有有一一个个为为振振荡荡0 x振振则则称称为为荡荡间间断断点点；2 第二类间断点第二类间断点:373.连续函数的运算性质连续函数的运算性质:(1)连连续续函函数数的的和和、差差、积积、商商是是连连续续的的.(2)连连续续函函数数的的复复合合函函数数是是连连续续的的.000()()()uxxf uux 如如:在在连连续续,且且在在处处连连续续0()yfxx 则则在在处处连连续续.(3)()(,)yf xa b 函函数数在在内内单单值值单单调调且且连连续续,则则它它的的反反函函数数1()(,)yfxc d 在在相相应应区区间间上上单单值值单单调调且且连连续续.4.初等函数的连续性初等函数
30、的连续性:(1)一一切切基基本本初初等等函函数数在在其其内内是是定定义义域域连连续续的的.(2)一一切切初初等等函函数数在在其其内内是是定定义义区区间间连连续续的的.cos1yx如如：240-2-4定义域不能构成区间定义域不能构成区间385.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质:定理定理1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值该区间上一定有最大值和最小值.定理定理2(有界性定理有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界间上有界.定理定理3(零点定理零点定理)定理定理4(介值定
31、理介值定理)(),(),(),f xC a bf aA f bB AB设设且且则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小与最小值值m之间的任何值之间的任何值.,().mAMa bfA 若若使使即即：(,),().mAMa bfA 若若使使(,),().a bfC 使使(),()()(,),()0.f xC a bf af ba bf且且,异异号号使使39例例1.求求的间断点的间断点,并判别其类型并判别其类型.解解:(1)sin()(1)(1)xxf xx xx 1(1)sinlim(1)(1)x
32、xxx xx 1sin12 x=-1 为第一类可去间断点为第一类可去间断点.1lim()xf x x=1 为第二类无穷间断点为第二类无穷间断点.00(1)sinlim()lim1,(1)(1)xxxxf xx xx 0lim()1,xf x x=0 为第一类跳跃间断点为第一类跳跃间断点.1,0 xx 间断点为：间断点为：4011,0.()()ln(1);102xexf xf xxx 设设求求例例,的的间间断断点点1()xf x 显显然然是是的的解解：一一个个间间断断点点，111lim0,xxe 1.x 是是第第二二类类间间断断点点0 x 又又是是分分段段点点，0(0)limln(1)0,xfx
33、 110(0)limxxfe 0.x 是是跳跳跃跃间间断断点点并并判判断断其其类类型型.1.x 因因为为在在处处函函数数无无定定义义111limxxe 1e()f x讨讨论论函函数数的的连连续续性性.41(1),找找间间断断点点时时 不不可可先先将将函函数数表表达达式式变变形形 否否则则有有可可能能失失去去注意：注意：一一部部分分间间断断点点.(2)找找初初等等函函数数的的间间断断点点的的方方法法：(3)找找分分段段函函数数的的间间断断点点的的方方法法：分分界界点点是是可可疑疑间间断断点点,是是否否为为间间断断点点,须须讨讨论论左左右右极极限限，但但要要慎慎取取函函数数表表达达式式.(4),.
34、讨讨论论函函数数的的连连续续性性 须须指指出出函函数数在在某某些些区区间间内内连连续续初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点.42例例3.设函数设函数()f x 2(1cos),axx 0 x 1,0 x 2ln(),bx 0 x 在在 x=0 连续连续,则则 a=,b=.提示提示:20(1cos)(0)limxaxfx 2a 211cos02xxx20(0)lim ln()xfbx lnb 1ln2ab2e2,abe43()()limlim()0lim()lim()0()()f xf xag xf xg xg xg x存存在在，()()(
35、1)xebf xxax 有无穷间断点有无穷间断点0 x 和可去间断点和可去间断点1,x 解解:为无穷间断点为无穷间断点,0 x 0lim()(1)xxebxax 所以所以0()(1)limxxxaxeb 1ab 0 0,1ab为可去间断点为可去间断点,1x 1lim(1)xxebx x 极限存在极限存在1lim()0 xxeb1limxxbee例例4.设函数设函数试确定常数试确定常数 a 及及 b.44例例5.221()lim,().1nnnxf xf xx 设设指指出出的的间间断断点点解：解：1,1,1xxx 分分别别就就取取极极限限，1,1()0,1,1,1xfxxx 得得：1.x 结结论
36、论：都都是是它它的的跳跳跃跃间间断断点点1,1,1()0,11,11xxf xxx 即即：lim0 (1)nnqq45例例5.1()0,1(0)(1),0,1()().2f xCffff 设设且且证证明明:使使证明证明:1()()(),2F xf xf x 令令1()0,.2F x则则在在上上连连续续1(0)()(0),2Fff11()(1)(),22Fff 讨论讨论:,0)0(F若若0 则则；1(0)(0)2ff 即即，,0)21(F若若12 则则；111()()222ff 即即，定理定理3(零点定理零点定理)(),()()(,),()0.f xC a bf af ba bf且且,异异号号使使则则若若,0)21(,0)0(FF )21()0(FF2)0()21(ff .0 由零点定理知由零点定理知,1(0,),()0,2F 使使1()().2ff即即成成立立综上综上,10,0,1,2 必必有有一一点点.)()21(成立成立使使 ff 46练习：练习：23331.()lim0.2nnnnxf xxx 讨讨论论（）的的连连续续性性2233333()221()2nnnnnxxxxx 提示：提示：到此为止谢谢
