1、1 1、多元函数的极限与连续、多元函数的极限与连续00lim()0,0,0()PPf PAP Pf PA 当时，有当时，有如果如果一、几个基本概念一、几个基本概念22222001limsinxyx yxyxy1.求100lim 1xyxyxy思考：研究的存在性00ln(1)2.limxyxyxy研究的存在性22222001limsinxyx yxyxy1.求解解2222210sin0,(,)(0,0)x yyx yxyxy22222001limsin0 xyx yxyxy0lim0 xx（夹逼定理夹逼定理）222211sin,2xyxyxy又解又解22222001limsin0 xyx yxy
2、xy（有界量与无穷小量乘积仍为无穷小量有界量与无穷小量乘积仍为无穷小量）又解又解 化成极坐标化成极坐标22222001limsinxyx yxyxycossinxy201limcossin sin有界量与无穷小量有界量与无穷小量乘积仍为无穷小量乘积仍为无穷小量0练习练习D2、二元函数偏导数及其几何意义、二元函数偏导数及其几何意义:0000d(,)dx xyyff x yxxxx 0(,)zf x yyy 0 xM T是曲线是曲线0(,)zf x yxx 0yM T在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线yxz0 xyTox
3、T0y0M对对 y 轴的轴的0000d(,)dx xyyff xyxxyy 3、二元函数的微分、二元函数的微分:),),(dz ),),()()()(),(),(z ),),(z 22的微分。在点为记可微分。在点，则称其中，使得、无关的常数、附近有定义，且存在与在点函数yP(xyxfyBxAyP(xyxfyxyBxAyxfyyxxfBAyxyP(xyxf定义定义000000(,)(,)limPf xx yyf xyfl cos,x cosy 4 4、方向导数与梯度、方向导数与梯度000(,)(,)(cos,cos)lzf x yP xye 在点沿方向在点沿方向的方向导数定义为的方向导数定义为定
4、义定义oyxl),(yxP),(000yxPle 0Pyxz0 xo0y0MP ),(),(lim00000000zyxfzzyyxxflfP ,cos x,cos y.cos z方向导数与梯度方向导数与梯度计算计算前提是函数可微前提是函数可微cossinxygradfullff (,),(,)cos,sin uf x yP x yl 在点处沿方向在点处沿方向的方向的方向导数：导数：梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系,Mffgradffxy 二、几个基本概念之间的关系二、几个基本概念之间的关系 函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续 函数可微函数可微方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数
5、存在00lim(,)lim(,)xxyyf x yf x y 及及00lim(,)xxyyf x y 1.二元函数二元函数 f（x，y）在点在点（x，y）处两个偏导数存在处两个偏导数存在是是 f（x，y）在该点连续的在该点连续的（）条件；（）条件；2.二元函数二元函数 f（x，y）在点在点（x，y）处两个偏导数存在处两个偏导数存在是是 f（x，y）在该点可微的（）条件；在该点可微的（）条件；3.二元函数二元函数 f（x，y）在点在点（x，y）处可微是处可微是f（x，y）在该点连续的在该点连续的（）条件；（）条件；4.二元函数二元函数 f（x，y）在点在点（x，y）处两个偏导数连续处两个偏导数连
6、续是是 f（x，y）在该点可微分的在该点可微分的（）条件；）条件；A.充分充分 B.必要必要 C.充要充要 D.非充分，非必要非充分，非必要例：研究以下函数的连续性、偏导数、方向导数例：研究以下函数的连续性、偏导数、方向导数 以及可微性以及可微性222222,0(,)0,0 xyxyxyf x yxy 解解2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 不存在不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续(0,0)0yf 220000(0,0)(0,0)0limlim0 xxxfxfxxx 0(0,0)(0,0(0,0lim)xxfxffx 偏导数存在偏导数存在 连
7、续连续.在在(0,0)处函数不连续处函数不连续;偏导数偏导数存在；不可微存在；不可微偏导数存在偏导数存在 方向导数方向导数.sincoslimsincoslim)0,0()sin0,cos0(lim),(),(lim032000 ffyxfyyxxflf的的方方向向导导数数为为，沿沿方方向向在在cos,cos)0,0(),(lyxf22:yx 其中其中！其其余余方方向向均均不不除除沿沿两两坐坐标标轴轴方方向向外外，在在(0,0)处函处函数不连续数不连续;偏偏导数存在；导数存在；不可微；方不可微；方向导数不存向导数不存在；导函数在；导函数不连续。不连续。注意注意:(1)分段函数在分界点处，求极限
8、，求偏导数，分段函数在分界点处，求极限，求偏导数，用定义做！用定义做！(3)函数不可微时，求方向导数用定义做。函数不可微时，求方向导数用定义做。(2)偏导函数不连续时，求全微分用定义做！偏导函数不连续时，求全微分用定义做！(D)(C)(),()(,),(,)(,)0(,)0 xyzzuuudzdxdydudxdydzxyxyzdzz duz dvzf u t v tdtu dtv dtzzuzvzf u x y v x yxuxvxFdyF x ydxFzF x y zx 全全微微分分：多多元元复复合合函函数数的的求求导导法法：隐隐函函数数的的求求导导公公式式：隐隐函函数数，隐隐函函数数，yx
9、zzFFzFyF ，三、偏导数、全微分的计算三、偏导数、全微分的计算（B）偏导数、全微分的计算偏导数、全微分的计算-1（显式函数）（显式函数）112ln.yxfyxfyy1222.yxffxy2(ln2 1)22()()g vgv()()()yfxyxyyxy1221()yyyffgyxx222222112222()()ggxyfxyfxy22.xy111222321xfyxfffyy231yggxx51a=3.偏导数、全微分的计算偏导数、全微分的计算-2（隐式函数）（隐式函数）（D）(,)ln1xzF x y zxyzye令令0 1 10 112xzxFye z（，）（，）（，）（，）0 1
10、 10 111yzFxy （，）（，）（，）（，）0 1 10 11ln0 xzzFye x（，）（，）（，）=（，）=提示提示:解法解法1 方程两边对方程两边对 x 求导求导,得得ddzx32(0)xf FF ddzx 1F32 xf FF 231 xfFF 21xffxfFF 122xF fxF ffF ddddyzxffxfxx231ddddyzFFFxx f xf d(1)dyx 2ddyFx 3d0dzFx 解法解法2(),(,)0zxf xyF x y z方程两边求微分方程两边求微分,得得化简化简消去消去 即可得即可得d yd.dzx2dFy 3d0Fz dxfy d0zdd(dd
11、)zfxxfxy 123ddd0FxFyFz()dfxfx 1dFx 0022000000(,)(1)(,)grad(2)(2)xyg xyhyxxy解解2222558(,)()(75)xyxyF x yxyxy 令令108(2)0 xFxyyx 令令108(2)0yFyxxy 令令5 3xy 所求点为所求点为2275xyxy ,2.yx yx 5,5;xy 将将 代入第一式得，代入第一式得，2 yx 再代入第三式得，再代入第三式得，(5,5)450g (5 3,5 3)150g(5,5),(5,5)偏导数计算练习偏导数计算练习10,2z偏导数计算练习偏导数计算练习12231cosxyffey
12、 gxx47 四、多元函数的极值四、多元函数的极值多元函数的极值复习内容多元函数的极值复习内容1.极值的定义极值的定义2.函数取得极值的必要条件与充分条件函数取得极值的必要条件与充分条件3.显函数、隐函数求极值的步骤显函数、隐函数求极值的步骤4.闭区域上的函数求最大值最小值闭区域上的函数求最大值最小值5.条件极值条件极值 （1）化为无条件极值计算（降元法）化为无条件极值计算（降元法）（2）拉格朗日乘数法（升元法）拉格朗日乘数法（升元法）多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值小小的的极极大大值值点点为为点点有有极极大大值值在在称称有有若若当当的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义在在设设),()
13、,(),(),(),(),(),(),(),(.),(),(00000000000000yxfyxMyxfyxMyxfzyxfyxfMUyxyxMyxfz 小小(1)定义定义(2)驻点驻点.),(),(0),(0),(的的驻驻点点称称为为的的点点满满足足方方程程组组yxfzyxyxfyxfyx 定义定义对自变量除限制在定义域内对自变量除限制在定义域内,没有其它限制。没有其它限制。(3)判定判定定理定理 .),(,0)3(),(,0)2(0),(,0)1(),(),(),(,),(000000000020000是是否否为为极极值值不不能能确确定定时时当当不不是是极极值值点点时时当当极极大大点点为
14、为极极值值点点且且时时当当记记为为驻驻点点，若若点点yxyxfyxyxfyxfyxfyxxxyyxxxy小小第第一一步步 解解方方程程组组,0),(yxfx0),(yxfy第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C.求函数求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：极值的一般步骤：000000(,),(,),(,)xyxxyyBfxyAfxyCfxy其中：其中：0 0下下的的可可能能极极值值点点)(在在附附加加条条件件求求z z x,yx,yf)(拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：:,xxxyyyF x,yf x,yx,yfx,yx,y
15、fx,yx,yx,y,x,yx,y 构造函数()()(),(是参数)构造函数()()(),(是参数)F()()0F()()0从方程 F()()0解出从方程 F()()0解出()0()0()()就是可能的极值点.就是可能的极值点.多元函数的极值举例多元函数的极值举例(D)考查极值的必要条件考查极值的必要条件(A)考查极值的必要条件考查极值的必要条件!注意整体与局部的关系或注意整体与局部的关系或找一个特殊的例子来加以验证找一个特殊的例子来加以验证!(D)考查：多元函数的条件极值概念考查：多元函数的条件极值概念 (,)(,)(,)F x yf x yx y000,xy0000000000000000
16、(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0 xxxyyyF xyfxyxyF xyfxyxy 0消去，得00000000(,)(,)(,)(,)0 xyyxfxyxyfxyxy00(,)0 xfxy若时，(,)0yx y又0000(,)(,)0yxfxyxy00(,)0yfxy(A)22200(,)lim10()xyf x yxyxy 解解(,)(0,0)x y 22200222222(,)1(,)()lim(,)0,(,)()()xyf x yxyx yxyx yf x yxyxyxy 则有则有其中即其中即 f(0,0)=0,可见当可见当y=x且且 x充分小时，充分小时，(,)(0,0)0f
17、x yf可见当可见当y=-x且且 x充分小时，充分小时，(,)(0,0)0f x yf故点故点(0,0)不是不是f(x,y)的极值点的极值点考查：多元函数的极限、连续和多元函数的极值定义考查：多元函数的极限、连续和多元函数的极值定义 22261021801xxyyyzz（）（）26220zzxyyzxx6202220zzxyzyzyy0,0zzxy令令30 xy3100 xyz3,.xyzy 将其代入（将其代入（1）得）得93（，）（，）9 3（，）（，）驻点驻点：33(,)zz x y 1.解解求二元隐函数的极值问题求二元隐函数的极值问题22222222()20zzzyzxxx2262222
18、0,zzzzzyzxx yyxx y 22222202222()20zzzzzyzyyyyy，0,0zzxy令令93,3（，）（，）9 3,3（，）（，）22(9,3,3)16zAx 2(9,3,3)12zBx y 22(9,3,3)53zCy ，22(9,3,3)16zAx 2(9,3,3)12zBx y 22(9,3,3)53zCy ，21036BAC 106A 21036BAC 106A 9 33z（，）（，）933z （-，-）（-，-）极小值极小值 极大值极大值 2222(35)(2)Fxyzxyzz令令222202023402035xyzFxFyFzzxyzxyz xy(1,1,1
19、)(5,5,5)maxmin51zz222(35)(2)Fxyzxyzz 令令222202013402035xyzFxFyFzxyzxyz xy(1,1,1)(5,5,5)maxmin51zz多元函数极值练习多元函数极值练习0,2aba拉格朗日乘数法练习拉格朗日乘数法练习121621,362720 17(,)777M切线方程切线方程为为法平面方程法平面方程为为(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面:(),(),().xtytzt000000.()()()xxyyzzttt000000()()()()()()0.txxtyytzz000(),(),().ttt ,:(),()xxyy
20、 xzz x ():0yf xz?五、微分法的几何应用五、微分法的几何应用微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用(,)0:(,)0?F x y zG x y z (关键关键:抓住切向量抓住切向量)()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线.0),(:zyxF 切平面方程切平面方程为为法线方程法线方程为为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 000000000(,),(,),(,)xyznFxy zFxy zF xy z 000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzFxy zxxFxy zyyF xy zzz:(,)S zf
21、x y?n (关键关键:抓住法向量抓住法向量)微分法的几何应用举例微分法的几何应用举例(C)(B)注意两平面平行注意两平面平行垂直的条件垂直的条件注意直线与平面平行的条件注意直线与平面平行的条件(C)抓住全微分概念抓住全微分概念,曲面的法向量曲面的法向量,曲线的切向量求法曲线的切向量求法24xy122146xyz245xyz1(0,2,3)5解法解法1 过已知直线过已知直线l的平面束方程为的平面束方程为3()0,xayzxyb 1,1.na 其其法法向向量量1(1,2,5)2,4,1.n 又已知曲面在点的法向量又已知曲面在点的法向量111/241ann1,5a (1,2,5)点在平面束上点在平
22、面束上125123()0ab （）（）1,5a 2b 解法解法2：过点过点 处法向量处法向量 过点过点 处切平面方程为处切平面方程为：即即 由由 有有 有有 可知可知 即即22,2,2zzzxyxyxy(1,2,5)2,4,1 n(1,2,5)2(1)4(2)(5)0 xyz 2450 xyz030 xyblxayz()3yxbzxaxb 代入(5)420a xbab50420aaab5,2ab 2222222 2222221lxmynzpxyzabca lb mc np已知平面已知平面与椭球面相切，与椭球面相切，证明：证明：)2(*1000220220220202020pnzmylxczby
23、axnczmbylax 证明：证明：llmmnnx0 x0z0z0y0y01,),(220220220000000 czbyaxpnzmylxzyx则则，设切点设切点2120202021/,nnczbyaxnnmln由由题题意意为为椭椭球球面面的的切切平平面面法法向向量量已已知知平平面面的的法法向向量量为为 )1(*222222222222000202020ncmblapncmblanzmylxnczmbylax 2222222)2)(*1(*pncmbla 得：得：比较比较),(00yxA),(11yxBt的的法法向向量量。在在点点是是曲曲线线证证并并且且不不是是曲曲线线端端点点，试试距距离
24、离最最近近或或最最远远的的点点，上上与与是是曲曲线线上上，若若不不在在点点给给定定一一平平面面光光滑滑闭闭曲曲线线BAByxyxByxAbtatyytxx ),(),(),(),(),(:001100与与切切向向量量垂垂直直。即即，即即即即依依题题设设有有，考考虑虑函函数数对对应应的的参参数数为为设设点点AByxyyxxyyyxxxyyyxxxdtyytytxxtxtdbtaytyxtxtdB0)(),(,0)()()()(,0)()()()(,0)()()(2)()(2)()()()(0101010100002020 证明：证明：?)0,0(),()2(.),(,)1()2)(),(22为为
25、什什么么处处有有无无极极值值在在的的极极值值讨讨论论条条件件下下在在设设yxfyxfkxyxyxyyxf )2)(),(.)1(22xkxxkxyxf 极值极值把条件极值化为无条件把条件极值化为无条件0)892(22令令 xkxkxdxdf处处取取极极大大值值在在处处取取极极小小值值和和在在判判定定得得),(.),(),(:332211yxyxyxkxkxx16179,16179,0321 解解.)0,0(),(0),(0),()0,0(0),(20),(20)0,0()2(2222处处无无极极值值在在由由极极值值的的定定义义知知和和邻邻域域内内总总有有的的在在当当时时，或或当当而而yxfyxfyxfyxfxyxyxfxyxyf
