1、讲座主要内容 模型 数学模型 数学模型的价值 数学建模及其价值 几个建模实例 建模选修课与数学建模竞赛模型电源用电器开关CHHC飞机模型电路模型化学模型 什么是模型模型？我们以电路模型为例进行总结。根据这个模型可知：我们不知道实际电路中电线的长度；我们不知道实际电路中电线所用的材料；我们也不知道电源,开关,电阻的具体形状。但但:通过这个模型我们能够非常直观地了解这个电路中有哪些电子元件,以及这些元件间的结构,从而为实际的电路研究提供方便.模型总结 模型模型:是原型(实物)的某一方面的抽象,用某学科的语言符号表示.它比原型能更深刻的揭示该事物在这方面的结构和相互关系.对模型的研究有助于对该事物(
2、原型)的研究.数学模型 数学数学:研究不同事物之间以及一事物内部各部分之间的数量,结构关系和变化规律等的一门学科.数学模型数学模型:用数学语言表示（如表达式，表格，图象等）的对不同事物之间以及一事物内部各部分之间的数量,结构关系和变化规律等的反映.对数学模型的研究有助于对事物(实际问题)的研究.举例 式子 y=x2 不能称为数学模型,因为它没有实际意义.对一块正方形铁皮,用x表示其边长,y表示其面积,则有y=x2.此时y=x2 可以称为数学模型.在此模型中,我们不需要知道铁皮的厚薄,颜色,只研究面积与边长间的数量关系.数学模型的价值 牛顿第二运动定律 m:物体质量,f:物体受到的外力,a:物体
3、的加速度,它们之间的数学模型是 f=ma.这个模型渗透到生活的各个角落，价值无法估量.万有引力定律:M1,M2:两物体的质量,r:两个物体的 距离,G:万有引力常数,f:引力,模型为 .应用:飞机飞行,天体运行,冥王星的发现(获诺贝尔奖)等.至于圆的面积公式,周长公式等都是数学模型,没有这些数学模型,我们的生活将会怎样?!221rMMGf 数学建模及其内容 数学建模从严格来讲并不是数学模型.但它们之间是密不可分的,数学建模主要包含以下两个方面:1.对于给定的问题(与数学有关)通过分析和应用数学理论建立合理的数学模型.2.通过对建立的模型的求解以达到解决实际问题的目的.数学建模的价值 数学建模就
4、是通过数学模型运用数学知识解决实际问题的方法.数学模型方法已成为一个重要的科研方法（科研的主要目的是创新），有若干人因为建立了漂亮的经济、生物等方面的模型而获得了诺贝尔奖。至于每年因为建模而获得的其他奖和发表的论文更不计其数。为此，我举几个与建模有关的问题实例：1.你大学毕业了，有两家单位要你，你如何在两家单位中抉择？2.你手头有十万元钱，在一段时间内不需要用它们，如何在这段时间内让它们为你生更多的钱？3.有若干工人归你管，又有若干工作交给你，你如何安排使他们在一定时间内干最多的活？4.杭州市公交线路要进行重新调整，计划设计500条线路.你如何对500条线路做最合理的规划?5.未来天气的预测，
5、国家人口预测，经济的宏观调控等。从数学建模课中能学到什么？1.运用数学知识解决实际问题的能力。有一句话叫”授人予鱼不如授人予渔”,意思是”送给人几条鱼不如教给这个人打鱼的方法（因为给你的鱼总会吃光。自己学会了打鱼的方法，想吃就打，永远有吃的）.对于现实中的问题,依靠别人给予解决是不够的,必须自己学会解决问题的方法,这就需要建模能力.2.当然,离开具体模型的建立去谈能力培养是空谈，我们还会讲一些常用的模型，这些模型本身就很有价值。.几个建模例子 实例实例1 现今的社会离不开商品.商品是由厂家制造出来的.当厂家制造出某种商品后,就要给商品的销售定价.定价太低,厂家无利可图,不愿意干.但定价也并非越
6、高越好,请用模型解释其中的原因.分析分析:厂家生产商品追求的是什么？追求的是利润(赚钱)最多,因而厂家对商品的定价同样遵守这个原则.相关因素的符号表示 L:利润,p:商品价格,C:一件商品的成本,x:在价格p下的商品销售量.假设：假设：同一种商品的价格相同(不考虑打折)；同一种商品的成本相同(不考虑技术更新等)。于是在价格p下厂家销售商品的获利为 L=(p-C)*x 问题归结为p取何值时L达到最大。式L=(p-C)*x中与利润L有关的有两个变量：p和x。因此无法直接求L的最大值。但商品的价格p与销量x是有关的。一般的，价格越高，购买的人越少，反之则越多，故x为p的减函数。最简单的，令x=a-b
7、p(a,b0为常数)。从而得到模型 L=(p-C)*(a-bp)将该式变形得 由该式易知当p取(Cb+a)/2b时L有最大值，p取的太大或太小，L都取不到最大值。问题解决.bbCaaCbpbLbaCb44)()(222 实例实例2 两个人或者认识，或者不认识。有人通过观察发现，任意6个人中总有3个人或者相互全认识，或者相互全不认识，试判断这个结论是否正确。分析：分析：若这个结论正确须给出严格的证明，若错误举一个反例即可。这个结论是正确的，需要证明。我们不关心6个人的性别、年龄、性格、身高等差异，只关心6 个不同的人和他们之间的两种关系。应该把这个本质提取出来。符号表示：表示人，表示两个人认识，
8、表示两个人不认识，用Xi(i=1,2,6)表示6个不同的人。那么，下面就是6个不同人的某种关系图。而所谓的3个人或者全认识或者全不认识就是在这个结构图中是否存在一个三边同为实线或虚线的三角形（称同色三角形）x1x5x2x4x6x3如何证？如何证？想法1：举出6个人的3，5种可能的结构关系，证明在这些结构中都存在同色三角形。错错误！误！这是典型的不完全归纳法。想法2：举出6个人所有可能的结构关系，证明在这些结构中都存在同色三角形。正确！正确！是完全归纳法。但你必须做以下工作，1）推出6个人有多少种可能的关系（结构），2）证明在这些结构中都有同色三角形。这个工作量也很大，有没有其它方法？我们可以从
9、任意一个人出发来证明，因为这个人的任意性就能代表所有的人，这个人可以认为是x1。对于x1来讲他同其他人的关系只有6种可能。证明这6种可能对结论都成立即可，这仍然是完全归纳法，结构关系如下，对x1他个人至少不认识另外个人认识另外个人认识另外个人认识另外个人至少认识另外个人认识另外个人认识另外个人认识另外30123345 因为题意是证明3个人或者相互认识或者相互不认识，故只用证明x1至少认识另外3个人对结论成立即可。不妨认为x1与x3,x4,x5认识，与x2,x6可以认识，也可以不认识（它们之间不连线），则此时6人关系的结构如图 此时考虑x3,x4,x5三个人，若他们中有两个人认识（比如x3与x4
10、），则同色三角形存在（x1，x3与x4），若都不认识，自身就构成同色三角形。故结论成立。x1x5x2x4x6x3两个建模实例总结 上面两个例子所用的数学知识难吗？一点也不难，在座的人人都会。但你们能解决上述两个问题吗？大部分都不会。为什么？因为大家缺乏解决实际问题的能力。没有这个能力，纵然有这个知识，你也解决不了这个实际问题。实例实例3 让我们动手建立一个关于数学建模自身的数学模型。我们学知识为了什么？学知识归根结底还是为了应用解决实际问题。没有疑问，数学、计算机等知识掌握数学、计算机等知识掌握的多少影响解决实际问题的能力，知识越的多少影响解决实际问题的能力，知识越多，能力越强，多，能力越强，
11、同样，建模能力的高低也建模能力的高低也影响解决实际问题的能力，建模能力越强，影响解决实际问题的能力，建模能力越强，解决实际问题的能力也越强。解决实际问题的能力也越强。符号表示 z:解决实际问题能力，x:建模能力，y:数学、计算机等的知识掌握程度，则有 z=x*y 声明：声明：这个模型是我所建（此前没见到此模型）。版权所有，要记住啊。各位同学，你们认为这个模型简单吗？要知道模型的好坏和价值可不以简单为标准模型的好坏和价值可不以简单为标准（请想想牛顿第二运动定律）。我们用模型来解释一个现象，我们不是常常觉得我们学了那么多数学知识，却发现没什么用处吗？为什么？因为你的x（建模能力）为0，纵然你的y（
12、数学知识）很的大，你的z（解决实际问题能力）依旧是0。所以，各位同学，你们觉得有必要学建模吗？你们觉得学习建模有意义吗？这个问题模型不是很清楚的告诉你了吗？数学建模课与数学建模竞赛 因为数学建模的无可比拟的能力培养价值（想想看，从小学到现在我们学的几乎都是知识，很少进行能力的培养），受到国家和诸多高校的重视，而为了推广和普及数学建模活动就有了数学建模竞赛。数学建模竞赛可以说是高校中含金量最高的比赛。国际上有国际数模竞赛（实际上是美国的数模竞赛），在国内的数模竞赛设有最高的国家一等奖和二等奖（许多竞赛是没有国家奖的）。数学建模课与数学建模竞赛是相辅相成的关系，数学建模课程的普及有助于竞赛中取得好
13、的成绩，而建模竞赛中取得好的成绩又能推动建模活动的普及。建模竞赛中取得好的成绩既是对个人的辛苦和天赋的肯定，还能极大的提高学校的知名度。然而悲哀的是，这么一个好的事情在上学期期末的选课中我们的建模选的只有不多的人，连开课都不够，为什么？当然，造成这个结果的原因是多方面的。为了弥补这个缺憾，也为了在今年的建模比赛中能获得好的成绩（各位同学，学校期待着这个成绩，需要好的奖项。作为我校同学，你们有责任去为学校争光）。学校特许我们再开建模选修课（算学分）。开课时间，下周（第8周）开始，每周二晚上（3节），地点:304.从第10周起，周六下午（地点：504）也上课。开课方法:不用报名,直接上课,考试及格
14、的将名单报给教务处,不及格的当没选这门课.建模教材：数学模型，姜启源等著 联系人：柴中林，王成。电话：81302219，81308210。建模课的上法与考核 因为建模是一个能力培养课，而不是知识传授课，我们的上法是用约2/3的时间通过常用模型和案例讲解基本建模知识，约1/3时间让大家动手去建模型。考核方法，以作业，出勤等为平时成绩（最多可达50%）。考试是实际问题建模，地点不限，可以查阅资料，向人请教，1-3天内做完交卷（已获教务处同意）。因此，只要认真下上课学习，都可以及格。而在建模中学习优异的，就接着进行建模竞赛培训，参加今年的全国建模竞赛。各位同学，曾有多少有抱负的人为某个目标奋斗，却因为没有好的条件和机遇而抱憾终生。而现在对你们，所有的条件都为你们准备好了，还等什么？还不来拼搏吗？希望那些对建模有兴趣同时有天赋的人都来上建模选修课，参加建模竞赛吧。为学校争光的你们将被学校记住的。谢谢！
